Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 72
Текст из файла (страница 72)
(115) Сравнивая этн выражения с формулами (108) и (109), мы видим, что коэффициент В(в) для затухающих колебаний пропорционален запасенной знергии Е(в) вынужденных колебаний. Коэффициент А(в) для затухающих колебаний состоит из двух слагаемых: одно из них пропорционально вА„(в), а второе пропорционально 273 (111) (112) В лсобой таблице определенных интегралов мы найдем е- з!пЬ Нх Ь+ао' о о е "'соз(охс(х=— (со- ао Равенства (102) и (103) дают ч (в) =,„,,' Р. Г.,, +,, „,',,, (105) (сотсас) т( ДГ) ' (в — вс) +('(оГ)" Воспользуемся равенством (100) для замены в,' на в,'.
После ряда преобразований получим 2в (во — во) ~ вГ (108) (в,'— соо) тГ'в' 2лВ (со) Г (со во) (в; —.о)-'„Гово ' 1 (оэ) = =12пА (в)) о+ [2пВ (в))о =-, + . (110) (в', — во) т Гово Сравнение свободно затрхасои(его колебания о вьснужденньслс колебаниехк Интересно сравнить полученные результаты частотного фурье-анализа колебаний свободно затухающего гармонического осциллятора с результатами частотного анализа установившихся вынужденных колебаний, Приведем результаты, которые были получены для такой системы в п.
3.2 (равенства (3.17) н (3.32)— (3.35)): А„(ь2). При достаточно слабом затухании слагаемое, пропорциональное А„, пренебрежимо мало, за исключением значений рь, очень близких к резонансу рь,; поэтому А(ь2) в этом случае практически пропорционально ь2А2(ь2). Интенсивность 1(ч2), определяемая как А*(рь)+В'(ь2), состоит из двух частей: одна часть пропорциональна поглощаемой мощности Р(ь2), а вторая часть, при достаточно слабом затухании, т. е. при Г'(( ь22, пренебрежимо мала. Поэтому можно считать, что интенсивность 1(рь) для свободного затухания практически пропорциональна поглощаемой мощпостц Р(ь2) для вынужденных колебаний. ,)7оренр(евскин форма линии; связь с резонансной кривой. В случае слабого затухания для 22, близких к ш„коэффициент В(ь2) и интенсивность 1(ь2) пропорциональны функции 1(ь2): (1! Г)2 ( ) (м 12)2+ (1! (')2 (116) Эта функция называется лорен2(евской формой линии.
Коэффициент затухания Г равен величине интервала частот, внутри которого Ць2):='1,1.(рвр). Этот интервал частот называется шириной линии 1221 частотного спектра, описывающего затухающие колебания: (Лв), „=Г. (117) Лоренцевская форма линии (116) совпадает с брейт-вигнеровской резонансной кривой 1((ь2), которая дает (для слабого затухания) частотную зависимость величин А„(ы), )А1'-', Е(со) и Р(1ь) при вынужденных колебаниях (равенство (3.36), и. 3.2)1: ( ~,Г)1 ( ' — )'+(')2Г)' ' (118) Полная ширина резонанса на уровне половины макснмалыюго значения равна ("(ь') 222 (119) Таким образом, мы пришли к замечательному выводу, что для слабо затухающего гармонического осциллятора (который мы взяли в качестве модели излучающего атома) преобразование Фурье дает ту же частотную зависимость, что и резонансные характеристики вынужденных колебаний: (120) Измерение собственной частоты и полосы частот.
Тот факт, что фурье-преобразование для затухающих свободных колебаний совпадает с резонансной кривой для установившихся вынужденных колебаний, имеет важные экспериментальные следствия. Допустим, что мы хотим определить а) первую моду рояльной струны и б) энергию первого возбужденного состояния атома. Рассмотрим три способа, которыми это можно сделать: 1. Временная зависимость свободных колебаний.
В зависимости от того, с какой из двух систем мы имеем дело, мы можем воспользоваться либо молоточком рояля, либо столкновением атома с другим атомом для внезапного возбуждения системы в момент «=0, Произведя скоростные фотоснимки движения затухающего осциллятора, мы можем построить график смещения в зависимости от времени. Зто возможно для рояльной струны, но для атома невозможно, даже в принципе. (В томе «Квантовая физика> будет показано, почему зто невозможно.) 2.
Резонансная характеристика вынужденного колебания. Пусть в установившемся режиме на систему воздействует гармоническая сила Ро соз а)й Будем менять частоту внешней силы и измерять поглощаемую мощность Р((а) как функцию частоты.
Зто можно «;-лагг Рнс. 6.11. Слабо засуха~сына гармонический осциллнтор, о) импульс т (о=-ехр( — о«ни сов ы( прн ге,—.рлг, т. е. т=«тк б) еурьенсом(хрнциенты лла непРеРывной суперпозанин гармоннеесквх нленов. )(Л(ы) а1п и1+В(ы) соз мг) гы. а сделать не только для струны рояля, но н для некоторых возбугкденных состояний атомов, если на них действует установившееся электромагнитное излучение, Снимая зависимость Р от е), можно найти «)в и Г. 3.
Фурье-анализ испускаемого спектра. Выполним фурье-анализ излучения для системы, внезапно приведенной в возбужден- 2зо ное состояние. Это возможно как для струны рояля, так и для некоторых возбужденных состояний атома, если измерять частоты испускаемого атохюм света. Легче всего измерить интенсивность излучения в зависимости от частоты. Эта величина пропорциональна интенсивности!(«о), получаемой из фурье-анализа. Зная функцию 1(в), мы можем получить частоту в, и ширину полосы Г. На рис. 6.11 показаны затухающие колебания гармонического осцил.
лятора и коэффициенты Фурье А(а) и В(в). Для того чтобы в произведении ширины полосы на интервал времени Лв Л1) 2л получить точное равенство, мы должны определить длительность Лг как произведение 2л на среднее время жизни т. Тогда равенство (120) примет вид Лв Лг'=-2п. 6.5. Фурье-анализ бегущих волновых пакетов Предположим, что передатчик в точке г=О воздействует нз непрерывную, однородную, одномерную открытую систему таким образом, что волновая функция ф(г, 1) бегущих волн в точке г=-0 имеет известную зависимость от времени )(1): ф (О, г) = 1' (г) . (121) Любая «разумная» функция 1(1) может быть представлена суперпозицией гармонических колебаний.
Если Д1) не периодическая функция времени, то суперпозиция непрерывна (по частоте) и выражается через интеграл Фурье: 1" (1) = — ) [А (в) з1пв1+В(«о) сова() дв. (122) о Бегущие солим в однородной диспергирующей среде. Каждая гармоническая составляющая суперпозиции (122) определяет свою собственную гармошгческую бегущ)чо волну с волновым числом я, значение которого следует из дисперсионного соотношения й =- й ( «о) . (123) Каждая частотная составляющая бегущей волны распространяется со своей собственной фазовой скоростью о ь(а) (124) Вся бе1 ущая волна ф(г, Г) 'является суперпозицкей этих гармонических бегущих волн.
Это значит, что мы получим Щ(г, г) и ф(0, Г) заменой аг на вà — йг=вà — й(в)г в каждой гармонической составляющей суперпозиции (122): » «у (О, 1) = — ~ [А(в) з(пв1-,'-В(о~) созв1[йв, (126) а=о 2 «р(г, 1) = ) [А (а) зйп [а1 — й(в) г)+В(в)соз [в1 — й(в) г))пв. (126) 281 В общем случае диспергирующих сред фазовая скорость о„, зависит от частоты в.
Поэтому форма ф(г, г) не остается постоянной с течением времени. Недиспереирующие волны (специальный случай). Для особого случая, когда фазовая скорость иэ не зависит от частоты, волновая функцияф(г, Г) имеетодну и тужеформудля всех(. Этот результат можно получить из общего выражения (12б) следующим образом. Пусть о — фазовая скорость, одинаковая.для всех гармоник: о= —, т. е. п(ы)= —. (127) Тогда уравнение (126) примет внд ф(г, ()=) [А(ы) з1па(1 — — ~~+В(в)созе (! — — у)~ йы, (128) о где и постоянна (по предположению), т. е, не зависит от частоты.
Мы видим, что каждый член суперпозиции (128) получается из суперпозцции (125), соответствующей ф(0, г), простой заменой Г в ф(0, )) на à — (г/о). Таким образом, для недиспергирующих волн имеем ф(г, ))=ф(0, Р), (129) Заметим, что в этом случае нет необходимости иметь дело с преобразованием Фурье. Зная ф(0, г), мы всегда сможем получить ф (г, )), используя равенство (129). Смысл этого равенства заключается в том, что бегущая волна в недиспергирующей среде не изменяет свою форму. Это значит, что смещение (нли электрическое поле, или какой-нибудь другой параметр) в какой-то точке имеет то же значение во время Г, что и смещение в г = О во время г' — (г/и). Примером недиспергирующих волн являются, например, слышимые звуковые волны или волны света в вакууме.
Пусть в точке г=О смещение равно ф (О, г) = Ае-0/ ~ п1". (130) Выражение (130) представляет собой импульс в форме гауссовской кривой. Он имеет максимум при 1 = 0 и очень быстро уменьшается для Г(0 и г)0 (уменьшение практически до нуля происходит в пределах нескольких значений т). Мы мотли бы применить преобразование Фурье к уравнению (130), однако в этом нет необходньюстп, поскольку, по предположению, среда недиспергируюшая, и мы можем сразу же написать выражение для бегущей волны: ф(г, ()=ф(0„(')=Ае-игигииг"=-Ае и)дп-и~ь))'н'. (131) Недиспергирующие волны и классическое волновое уравнение.
Любая гармоническая бегущая волна вида ф(г, г) =Асов [ш) — к(гв) г~ (132) удовлетворяет (покажите это) дифференциальному уравнению дьр (г, )) оР дЬр (г, )) а ~ , дь) (г, Г) (133) 282 Для специального случая (недиспергирующих волн) имеем оф — — о, т. е. скорость постоянна и не зависит от частоты. В этом случае каждый член в суперпозиции бегущих гармонических волн 1см., например, разложение (128)! удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению: (13-1) где через ф(г, 1) ооозначена любая из гармонических бегущих волн суперпозиции (128).
Так как каждый член суперпозиции (128) удовлетворяет уравнению (134), то оно справедливо и для всей суперпозиции, т. е. общая волновая функция ф(г, 1) удовлетворяет уравнению (134). Это уравнение в частных производных называется классическим волновым уравнением для недисиергирующих волн илн просто классическим волновым уравнением. Волны, сохраняющие свою 4орму, удовлетворяют классическому волновому уравнению. Любая бегущая волна, сохраняющая свою форму по мере распространения, должна удовлетворять уравнению (134). Предположим, что задано ф(0, г) =1(г) и мы знаем, что волна распространяется, сохраняя свою форму, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
