Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 67
Текст из файла (страница 67)
В центре полосы находится частота н,, Эти волны могут быть также представлены как почти гармоническая бегущая волна, имеющая частоту «быстрых» колебаний госм равную несущей частоте, и <почтн постоянную> медленно меняющуюся амплитуду А„(г, г), представляющую собой суперпозицию членов типа (8). (В примере, к которому относится выражение (8), присутствуют только два гармонических колебания и верхняя боковая полоса состоит всего лишь из одной частоты от,=о!с„+е>„„а, а нижняя боковая полоса — также из единственной частоты го,= =-о>, — о>„,х.) Модуляция распространяется в среде (воздух, ионосфера, ...) с определенной скоростью.
В случае радиостанции с амплитудной модуляцией, работающей, например, на несущей частоте 1000 кгц и с шириной полосы 10 кгц, частотный диапазон простираегся от 995 до 1005 кгц. Так как ширина этой полосы частот мала по сравнению с несущей частотой (средней частотой), то мож!ю пренебречь членами высокого порядка в разложении в ряд Тейлора (уравнение (15)!. В этом случае групповая скорость, определяемая уравнением (16), будет равна скорости распространения модулированных колебаний. Частотная и фазовая модуляции и другие близкие проблемы рассмотрены в задачах 6.27 — 6.32.
(Существует еще один важный вид модуляции — импульсно-кодовая модуляция *).) Рассмотрим несколько физических примеров групповой скорости. В случае бегущих электромагнитных волн мы не ограничимся частотами радиостанций с АМ (т — 10' гц), а рассмотрим также видимый свет (т-10" гц), микроволны ( 10" гц) и другие частоты. П р и м е р 2. Электромагнитное излучение в вакууме. Дисперсионное соотнопгенпе в этом случае имеет вид о> = ск.
(23) Фазовая и групповая скорости равны (24) Таким образом, для электромагнитного излучения в вакууме фазовая и групповая скорости равны скорости света с. П р и м е р 3. Другие недиспергирующие волны. Волны света в вакууме не испытывают дисперсии: их фазовая скорость не зависит от частоты (или волнового числа). В таких случаях групповая ') Ю. 8. М а у о, Рп!зе.Сове Моги!аиои, Яс!еп!!пс Агпег!сап, р. !02 (Матей !968).
См. также А. А. Х а р и е в и ч, Теоретические основы радиосвязи, Гостехиздат., !957, стр. 56. (27) Ро а так же поперечные волны в непрерывной струне, у которых соотношение между ы и й имеет вид (28) г Ра П р и м е р 4. Электромагнитные волны в аоносфере *). Для синусоидальной волны имеем следующее дисперсионное соотношение: а' = оРр + сЧг' (29) для частот, превышающих граничную частоту тр ж 20 й4г1(. Дифференцирование уравнения (29) по й дает 2ы — = 2с2й, (30) т. е.
( — ) ( — ) =о с„и=с'. (31) Фазовая и групповая скорости в этом случае равны Ор /с~ (, иэ,) Мы видим, что хотя фазовая скорость всегда больше с, групповая скорость всегда меньше с. Поэтому сигнал не может быть передан со скоростью„превышающей скорость с. П р и м е р б. Поверхностные волны в воде. В состоянии равновесия поверхность воды горизонтальна. При наличии волн на поверхность воды действует сила, которая стремится сгладить гребни волн и сделать поверхность воды плоской.
Эта восстанавливающая сила складывается из силы тяжести и силы поверхностного натяжения. Можно считать, что при длинах волн, больших нескольких см, преобладает сила тяжести. Для миллиметровых волн преобладает сила поверхностного натяжения. Из-за очень малой сжимаемости воды избыток воды в гребне волны перемещается в соседние области. Поэтому отдельные водяные капли совершают движение, являющееся комбинацией продольного движения (взад и вперед) и поперечного движения (вверх и *) Вернитесь к главе 3, и.
3.5, пример 10. 355 скорость равна фазовой скорости. В общем случае имеем гв = Оэй, (26) Если производная сЬФ/ай равна нулю, то групповая скорость равна фазовой. Другими примерами недиспергирукицих волн могут служить слышимые звуковые волны, для которых справедливо соотно- шение вниз). Если длина волны мала по сравнению с глубиной слоя воды в равновесном состоянии, мы имеем так называемые волны в глубокой воде, когда траектория отдельных водяных капель в бегущей волне представляет собой окружность. Плавающая на поверхности утка или просто капля воды будет совершать равномерные круговые движения с радиусом, равным амплитуде гармонической волны, и периодом, равным периоду волны.
На гребне волны утка будет иметь максимальную скорость в прямом направлении, во впадине — максимальную скорость в обратном направлении. Капли воды под поверхностью совершают движение по окружности меньших радиусов. Оказываетси, что радиус окружностей экспоненциально убывает с глубиной, и поэтому движение практически полностью затухает иа глубине порядка нескольких длин волн. Дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде приближенно имеет следующий вид: „в ь) ьв (ЗЗ) Р где р = 1,0 г/смв и Тж 72 дин/ги (коэффициент поверхностного натяжения воды на границе с воздухом), г/=980 см/слив.
Покажите сами, что когда вклады в гов от силы поверхностного натяжения и от силы тяжести равны, фазовая и групповая скорости также равны. Докажите, что это условие осуществляется для длины волны Х=-1,70 сл!. Фазовая и групповая скорости при этом равны примерно 23 сн/сел. Для длин волн, много меньших 1,7 см, поверхностное натяжение преобладает, и в этом случае групповая скорость Таблица 6.1 Волны в глубокой воде М см ргр, см/сгк ргг 'й ре, см/сгк у, гц О,!О 0,25 0,50 1,0 1,7 2 4 8 16 32 100 200 400 800 1600 3200 6400 675 !72 62,5 24,7 13,6 11,6 6,80 4,52 3,!4 2,22 1,25 0,884 0,625 0,442 0,313 0,221 О,!56 67,5 43,0 31,2 24,7 23,1 23,2 27,2 36,2 50,3 71 !25 !77 250 354 500 708 1000 !01,4 63,7 44,4 30,7 23,1 21,4 17,8 19,6 25,8 35,8 62,5 88,5 126 177 250 500 1,50 1,48 1,42 1,24 1,00 0,92 0,65 0 54 0,51 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 в 1,5 раза больше фазовой.
Для длин волн, много больших 1,7 слы преобладает сила тяжести и групповая скорость равна почовине фазовой (см. задачу 6.19). В табл. 6.1 приведены некоторые параметры для волн в воде при длине волн от 1 ил~ до 64.м. П р и л о ж е н и е. Рассмотрим пример, в котором использованы данные табл. 6.1. Предположим, что вы находитесь на морском берегу и хотите знать длину волны в открытом океане на расстоянии порядка 20 — 30 миль от берега.
Засекая время по часам, вы находите, что в среднем о берег разбивается !2 волн в минуту, т. е. ч — -0,2 ги. Предполагаи, что погода не менялась в течение нескольких дней, можно считать, что волны соответствуют установившемуся процессу. Поэтому в открытом море т также будет равно 0,2 гц. (Нужно заметить, что длины волн у берега и в открытом море будут различны, поскольку длина волны зависит от глубины.
Однако в установиаиихся выну»«денных колебаниях частота не будет зависеть от глубины.) Из табл. 6. ! мы находим, что этой частоте соответствует длина волны порядка 40 щ. Теперь нас интересует путь, пройденный гребнем, который сейчас разбивается о берег, в течение предыдущего часа. Будем считать, что большая часть пути была пройдена по глубокой воде. По табл. 6, ! находим, что фазовая скорость равна 8 м/сек, илп около 29 000 л«/час, т. е.
за час гребень прошел около 30 км. 6.3. Импульсы Будем рассматривать случай, когда в точке г=О возмущение, создаваемое передатчиком, является суперпозпцпей большого числа гармонических колебаний равной амплитуды, частоты которых мало отличаются друг от друга и заключены в узком диапазоне частот от самой низкой м, до самой высокой ы«Мы рассмотрелп более простую задачу с двумя частотами и показали, что в этом случае возникает модулированное колебание, которое распространяется с групповой скоростью.
векторная диаграмма. Прежде чем перейтп к рассмотрению более сложной задачи с многими гармоническими компонентами, близкими по частоте, разберем случай двух частот, используя метод векторных диаграл~л~ (см. том 1, стр. 125). Гармоническое колебание ф(!) =Асозы! (34) является вещественной частью комплексного гармонического колебания (!) =.4евм (35) Здесь индекс «к» показывает, что функция комплексная.
Графически Ф,(Г) можно представить на комплексной плоскости вектором длиной А, вращающимся против часовой стрелки с угловой частотой в». (Проекция этого вектора на горизонтальную ось (т. е. ось вещественных значений) дает гармоническую функцию (34).) Будем Ф. Кр»уворд 257 делать мгновенные стробоскопические «снимки» этого вектора. Если частота стробоскопа совпадает с частотой вращения вектора, то на каждом мгновенном снимке вектор будет в одной и той же позиции (рис.
6.2, а). Если угловая частота вращения вектора «у чуть- чуть больше частоты стробоскопа ет„то ва последовательности снимков вектор будет вращаться вперед (против часовой стрелки) с угловой частотой бу — й», (рис. 6.2, б). Если ет — бу, (О, мы увидим Фи-«мвг'гл =В 7бу йгптгс Хггх ву ргв гвв'«= ~'В Рис. биь Стробоскопические моментальные «сннмки» вращающегося комплексного вектора ехр гмт.б Нааиаченне спиралей — помочь сосчитать число оборотов вектора.
Интервал времени мекку снимками» 7' =-»пгм . с 'с' вектор вращающимся по часовой стрелке (рис. 6.2, в). Индекс «с» указывает иа принадлежность данной величины (йу или Т) к стробоскопу. Теперь рассмотрим суперпозицию двух гармонических волн с одинаковой амплитудой, но немного разными частотами: чр (1) = А соз йу,~ + А соз йта 7. (36) (37) Таким обРазом (считаем, что е»в — б»1~0), б»в — «У„)О и со,— в йу, (О. Напомним, что ар(1) может быть записано (уравнение (2), п. 6.2)) как произведение медленно меняющейся амплитуды А (() на быстрые колебания, происходящие с частотой рб, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
