Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Постараемся теперь выразить ф(Г) в виде псчпш гар ионического кояебаьиьч с одной «бьь строй» частстои ь»,», равной «ьср = 7» (ь»«+ «ьг) (47) н почти постоянной (относительно временнбго « асштаба быстрых колебаний) амплитудой А (1). На основании имеющегося у нас опыта по нахождению суперпозиции двух гармонических колебании (п. 5.2) мы ожидаем, что выражение для ф(!) будет иметь внд ф(г) = А (()созе»,»г. (48) Мы будем искать ф(!) именно в таком виде и покажем, что если полоса Л«ь мала по сравнению с «ь,р, то А (!) медленно изменяется в масштабе времени быстрых колебаний.
(Наш ответ будет точным независимо от этого условия.) Таким образом, мы сможем представить »р(1) как амплитудно-модулированное почтя гармоническое колебание. Мы увидим, что ф (!) имеет форму импульса. Этот результат подтвердит наши качественные рассуждения, иллюстрируемые Рис, 6.4. Точное выражение для ф (г) позволит понять, что мы имеем 263 тового пучка лазера уже разработана в широком диапазоне частот видимого света, Нас интересует, как много телевизионных каналов можно былобыуместитьвчастотномдиапазоневидимогосвета.
Пусть в качестве несущей частоты используется видимой свет лазера. На один телевпзионный канал нужна полоса в 10 Л4гц. Длины волн видимого света занимают диапазон от 6500 Л (красный) до 4500 Л (голубой), т. е. частоты от ч=-с)Л=-3 1О"/6,5 10-' ж4,6 10" гц= ==4,6 10'Мгц до ч=-3 10"(4 5.10-' 6,6 10'" гц =6,6 10' Мгц. Таким образом, доступный частотный диапазон заключен в пределах от 4,6.10' Мгц до 6,6 10' Мгц, т. е. занимает полосу шириной в 2 10' Мгц. Такая полоса позволила бы создать 2 10' неперекрывающихся телевизионных каналов, каждый с полосой в 10 Мгц. Форма импйь«ьса ф(1), образованного «прямоугольным» частотньья спектром.
Найдем точное выражение для импульса ф(Г), образованного суперпозицией У различных гармонических компонент, имеющих равную амплитуду А, одинаковую начальную фазу (равную нулю) и частоты, равномерно распределенные между самой низкой частотой ьь, и самой высокой частотой ь»,. На рис. 6А представлены мгновенные стробоскопические «снимки» для такой супер- позиции, состоящей из 9 компонент. В общем случае мы имеем «р (() =- А соз «ь,(+ А соз (ь», + 6«ь)! + +Асов(ь»,+26ь»)(+... + Асозь»,1, (45) где бш — частота, на которую отличаются две соседние компоненты: в виду, утверждая, что произведение ширины частотного спектра импульса на его длительность близко к единице.
Для упрощения вычислений будем делать их в комплексной форме. Выражение (45) представляет собой произведение константы А на вещественну<о часть комплексной функции !'(<): Г (!) =ее"' '+еп" 'о"'!'-'-е <" "ро"<<-)-... +ее<" +а"<' =ее"' 'о, (49) ! где Я (обозначим еео"'=а и <я<о=(Л< — 1)б<п) — сумма геометрической прогрессии: о =-1+а+по+... +ам '. Тогда ао = а+ ае дг ..+ал <+ал', (а — 1)Я=пл" — 1, е" '- " . "- < е*'"' и «м,<о, е<п',~елбом и <<,„,<ош<<еХбо<! мп '/е 6<о! мп </р бо« е — ! еа ' — ! и м<п< а — ! емео< Таким образом, 1 (() = е'"' <о = е< !"' "1 ап! < —.' —, = е "'ер< < о<п < о ~Ив~ о<п '/о 6<6<о! Мп «р ,6<о! о<п '<р бм! Наконец, имея в виду, что ф(!) есть произведение константы А иа вещественную часть )(!), имеем мп << л'6<о! ф(!)=Асов<о,„<м'.
'; с„, т. е, <р (!) — А (<) соя <пер< (50) А (<)=А (51) о!и '<об<о< ' Выражение (51) для А (Г) является точным. Посмотрим, следует ли из него простая формула для случая биений с двумя компонентами. Полагая У=2 в (51) и пользуясь равенством я1п 2х= =2 соя ха!и х, где х — '/об<а, имеем: для У = 2 <Р (!) = !2А соя 'У,Ь<п!')соя <о,„(=.
=- 2А соя ",,(<и, — м,)( соя м,р<, т. е. выражение, полученное для биений в и. 1.5. Уравнение (5!) можно представить в более удобной форме, выразив постоянную А через А (0) в момент <=0. Чтобы найти значение А (О), нужно найти, к чему стремится предел выражения яйп Л'О/я!и 0 при О, стремя<цемся к нулю. Используя разложение в ряд Тейлора в точке <=0 и имея в виду, что О='/об<о<, получим л о — — (ло!е+ (52) В- — Во+ 6 Для достаточно малых 0 можно пренебречь всеми членами в разложении, кроме первого (это относится как к числителю, так и к знаменателю). Тогда получим 1нп 1 —.~ = М. 1 5ш л'О ) (53) Из (51) следует: А(0) =Л'А, А = —, (54) т.
е А(г) = А (О)",",~",д, (55) Теперь рассмотрим случай, когда У очень велико. При достаточно большом Ж расстояние бо> между соседниэш гармоническими компонентами станет настолько малым, что его невозможно будет обнаружить с помощью имеющихся физических приборов. В этом случае можно считать, что мы имеем непрерывное распределение гармонических компонент по частоте. Такое У, при котором все вышесказанное справедливо, условно можно называть бесконечно болыпим.
Для бесконечно большого йГ можно пренебречь разницей между У и У вЂ” 1. Тогда имеем: для У бесконечно большого Убыж(У вЂ” 1)бы=-Ле. (56) Таким образом, ыы устремляем У к бесконечности, а бгэ к нулю, но при этом их произведение остается равным ширине полосы Лы. В знаменателе (55), равном з!и '/,дыГ, положим, что бы стремится к нулю (но г не стремится к бесконечности, так как импульс обладает определенной длительностью). Тогда н разложении ебп '/,Ьы1 в ряд Тейлора можно пренебречь всеми членами, кроме первого.
В результате имеем ф(1) =- А (1) совы,рГ. (58) Вернемся теперь к выражению (45) для ф (~) как суперпозиции гармонических колебаний и перепишем его, имея в виду, что Ьо- О. Используя выражения (54) и (56), можем записать (59) Суперпозиция (45) может быть записана в виде 1)) (() = — 1ба соз о~+ бсо соз (в, + бы) г +... + бы соз ы,1) . (60) А (О) При бв — ~0 выражение в квадратных скобках представляет собой интеграл от соз вг бьэ, взятый в пределах от ы, до ы,. Поэтому уравнение (60) примет вид $(г) = — ) созв1дгэ.
л(о) г' (61) 265 Интеграл Фурье. Выражение (61) является примером непрерывной суперпозиции гармонических колебаний. Его называют также интегралом Фурье. Оказывается, что любая («разумная») непериодическая функция ф(1) может быть представлена (в общем случае) интегралом Фурье: Ф О ф (1) = ) А (ог) з1п ог(йог ,'— ) В (ог) соз го| йог. (62) о о Непрерывные функции А (со) и В(ы) называются коэффициентами Фурье по аналогии с коэффициентами разложения в ряд Фчрье. Сравнивая формулы (61) и (62), мы видим, что функция ф(1), определяемая выражениями (57) и (58), имеет следующие коэффициенты Фурье: Л(ы)=-О для всех о, для го впе интервала (гоп«о,) В(ы) =О (63) В(ог)=- для о»ге гое-.ы» А го) Лы Частотный спектр Фурье. График зависимости коэффициентов Фурье от частоты назыьается частотнылг сггекгггрогг «)г(г). Спектр, определяемый выражением (63), является простейшим частотным спектром.
Он постоянен в пределах всего диапазона частот Лог и равен нулю вне его. Такой спектр иногда называет «прямоугольным» в соответствии с его формой. (Заметим, что в общем случае мы должны рассматривать два графика: один для Л (ы) и другой для В (ог).] На рпс. 6.6 показана наша функция ф (1) и ее коэффициенты Фурье В(ы). Заметим, что огибающая А (г) первый раз обращается в нуль в 1,=-2л/Лог. Это — время, необходимое для равномерного распределения по фазе всех гармонических компонент в интервале 2л (см, мгновенные стробоскопические снимки на рпс.
6.4). Интервал времени Лг, когда амплитуда Л (1) относительно велика, можно было бы определить как интервал между значениями г=- — 1, и г=+г,. Однако этот интервал слишком. велик и более разумно за Лг принять интервал, вне которого амплитуда А (1) никогда не достигает своего значения в интервале. Для рассматривае»гого случая это означает, что за Лг' можно взять половину интервала между двумя нулями в 1 — -~1«. Таким образом, мы можем определить длительность импульса как Л1=1,= —, 1 л аткуда Ло Л(=1. (64) В уравнении (64) стоит знак равенства вместо знака приближенного равенства, так как мы точно определили, что подразумевается под длительностью импульса Лб В соответствии с нашим определением А (О на концах интервала Л1 равна А ( — ') = А (О) ("~ 1 = — А(О).
', 2/ лг2 л (65) Таким образом, в начале и в конце интервала М амплитуда А (() равна 2)н от своего максимального значения. Энергия колебаний «почти гармонического осциллятора>, смешение которого равно (Р(()=А(()созе)„(, пропорциональна Ав(С). Рис. 6.6. Фурье.аналнэ непериодической функции. «) Импульс ф ((), форма которого выражается равевствамн (57) и (58); б) непрерывный частотный спектр фурье-коэффициентов, определяемый равенствамн (63). [Так как ф о) — чегна» функцнв времеви (, фурье-коэффициент д(ы) равен 6 для всехыд Поэтому энергия максимальна в центре импульса (г'=О) и уменьшается на концах интервала Л( в (2/п)э=0,406 раза. Таким образом, с энергетической точки зрения М соответствует интервалу, в течение которого осциллятором выдается около 60% запасенной в нем энергии.
В п. 6.4 мы рассмотрим другие примеры импульсов и соответствующие им интегралы Фурье. Пакет бегущих волн. Предположим, что в точке г=О «двнгкениел передатчика похоже на импульс, показанный на рис. 6.6. Так как время, в течение которого передатчик излучает волны в среду, ограничено и волны распространяются от передатчика, то они будут представлять собой импульсы конечной протяженности в пространстве.
Такой импульс называется волновы и пакетоги или волновой группой. Волновая группа распространяется с групповой скоростью. Поскольку й и <о связаны дисперсионным соотношением й(ог), то существование полосы частот Л<о приводит к появлению соответствующей полосы волновых чисел Лн (и соответственно длин волн) в волновом пакете. В соответствии с основной частотой <о, будет существовать н основное волновое число 7<«= — )г(ог,) (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
