Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 70
Текст из файла (страница 70)
А, получается подстановкой ог=ог, в днсперсионное соотношение 7<=-и (ы)). Полоса Лй центрирована относительно в,. Ее ширина получается дифференцированием дисперсионного соотношения в точке <о — ого ° (66) 1 Индекс нуль означает, что производная вычисляется в центре полосы. Мы пренебрегаем членами более высокого порядка, чем первый, в разложении дисперснонного соотношения в ряд Тейлора.
Уравнение (66) является первым членом этого разложения.! Лроизведение длины лакеи<а на ширину полосы волновых чисел. Пакет длиной Лг, распространяющийся с групповой скоростью <уо, проходит мимо данной точки г за время Л<. В этом случае имеем Лг и«о Л~' (67) Перемножая правые и левые части уравнений (66) и (67), получим Л)г Лг = Л<о ЛЕ (68) Так как Л<оЛ()2п, то и Л)«Лг)2п. Используя волновое число о= — в(2гп= — Х-', имеем (69) Ло Лг~ 1. Это соотношение полностью аналогично имеющему общий характер состношению ЛчМ)1, но относится к импульсу в пространстве, а не во времени.
Другой вывод уравнения (69) заключается в рассмотрении неопределенности в числе циклов колебаний, укладывающихся в Лг. Величина о (в циклах на единицу длины) равна никли ~ <Л (70) Л7 О-сюда следует, что неопределенность в ширине полосы близка к 1/Лг. Этот вывод для координаты аналогичен сделанному выше выводу (44) соотношения ЛчМ=-1 для времени. 288 «Расползание» волнового пакета со врелченем. Следует обратить внимание на то, что если пакет распространяется в диспергирующей среде, то его длина не остается постоянной. Пакет растягивается по мере распространения. Л Причина такого располза- в ния в том, что групповая скорость в„р =-с(рт/ан зависит от й (или то).
Поэтому полоса Лн определяет соответствующую полосу групповых скоростей Лог: Л;„, =( —,' ? Лй= Волновой пакет в момент 7=0 имел длину (Лг)о, в момент времени !' будет иметь длину (Лг)о приблизительно равную (Лг)! (Лг?о Г ('!Огр) !' (72) Соответственно увеличится время Лг, необходимое па- Э кету для прохождения точки г. (Уравнение (68) справедливо для любого момеята времени, так как Лй и Лы — постоянные величины.! Из-за размывания пакета соотношения Ла Лгж 1 и Лр Л(ж 1 выполняются только в начальный момент е времени 7=-0. Для того чтобы соотношение ЛтЛ!ж1 г)г было справедливо, необхо- ДИМО, ЧтОбЫ ВСЕ ГарМОНИЧЕ- Рис.
6.7. Волновой пакет, для ноторого фззоваи скорость в два раза больще групповой. Стрелки перемещаются с фазовой скоростью, следуя правильной фазе. Это имеет аа точной постоянной фазы в колебании с домвна- рующсй частотой. Кресты перемещаются с группо- МЕСто Дтя ь 0. ОдиаКО КВК вой скоростью, Оии следуют ва пакетом. только пакет начал распространяться в среде и прошел некоторое расстояние, то из-за дисперсии среды различные части пакета будут иметь разные скорости и все составляющие в диапазоне Лй (или Лв) не останутся в фазе (в какойто точке г). Таким образом, фазы различных частотных компонент наз будут отличаться друг от друга, и мы получим, что ЛоАгж ж Лч Ь1) 1 для 1Ф О. Если же мы имеем дело со средой без дисперсии, то растяжения пакета не происходит и соотношение Ло Л аж ж Лу М ж 1 сохраняется.
Волновые пакеты в воде. Волновые пакеты, распространяющиеся по кругам на поверхности воды, можно образовать, бросая в пруд гальку. При некотором опыте удается следить за распространением групп и наблюдать, как отдельные-гребни возникают позади группы, проходят через нее и рассасываются. (Это явление связано с тем, что для длин волн с Х) 1,7 см, возбуждаемых камнем средней величины, фазовая скорость больше групповой. )с,артина распространения волновой группы, для которой фазовая скорость в два раза болыпе групповой, показана на рис.
6.7.) Мы настоятельно рекомендуем понаблюдать за распространением волновых групп. Вначале возникнут некоторые трудности, связанные с довольно большой скоростью распространения группы, однако усилия будут оправданы. (См. домашние опыты.) 6.4. Фурье-анализ импульсов В п. 6.3 мы впервые встретились с представлением функции времени ())(1) в виде интеграла Фурье. Здесь мы покажем, как найти непрерывный частотный спектр для любого «разумного» импульса, а также приведем несколько примеров, представляккцих большой интерес для различных областей физики. Импульса ограниченной длительности. Предположим, что функппя ф(1) имеет форму импульса ограниченной длительности (рис.
6.8): опа равна нулю до момента времени ге и после момента времени (Р(в71 Рис. б В. Импульс т((). Дли времен белее ранних, ием см и белес псалиих, ием Ь-,' Гм $ункции Ч(п=.б. 1,+Т,, Таким образом, мы предполагаем, что существует конечный интервал времени Т„внутри которого происходят колебания вида )()()) (см. рис. 6.8). Величина интервала Т„в общем, произвольна, однако в дальнейшем мы будем считать ее очень большой (но не бесконечно большой). (Величина та=1/Т, будет нашей «единицей частоты», которую мы сможем выбрать сколь угодно малой.) В п.
2.3 мы применили фурье-анализ для разложения периодической функции г" (г), определенной для всех Г и имеющей период л70 йуу Ркс. 6.9. Периодическая функдия Ров с периодом 'уп полученная повторением» импульса Ч!О в последоватю~ьныс витервалы времени протюненпастью Разложение функции В(1) в ряд Фурье определяется выражениями (2.49) — (2.52) из п. 2.3.
Приведем заново результаты, которые нам понадобятся: ю Ю Р (1) = В, + ~ Л„з!п пы,( + ~, В„соз вру,(, (73) л=! л=! где 2п пут= 2я 91= — ' 7, (74) Тогда 1„+ У, В т ) Р(()("' 1 1 1„ Вв у ~ В (1) соз по!1( Лт 2 1 т,а'У, А„= — ~ Е (1) 1~ ~~,1 у(!', (77) 1 где л=-), 2, 3,...
Постараемся применить формулы (73) — (77) к нашей задаче о представлении функции ф(1) в виде суперпозиции гар- монических колебаний. Заметим, что коэффициент В, в разложении (73) равен нулю. Действительно, функция ф(1) равна нулю вне своего интервала Т„ а в пределах этого интервала осциллирует. С физической точки зрения равенство Вв=-О означает, что в системе нет «постоянного смещения» или «постоянного напряжения», т. е. в общем случае у процесса, заданного функцией тр(!), нет постоянной составляющей. (Зто не означает, конечно, отсутствия таких процессов, для которых функция т)т(1) имела бы вне Т, не нулевое, а какое-либо конечное (76) 271 Т„так что Г(1+Т,)=В(1).
Мы умеем также применять фурье-анализ к функции, определенной в ограниченном интервале времени у. В этом случае мы строили новую периодическую функцию, определенную для всех 1 и совпадающую с исходной функцией на временнбм интервале, равном периоду. Продолжив таким образом исходную функцию и сделав ее периодической, можно применить формулы, выведенные для периодических функций. Здесь мы поступим точно так же.
Образуем периодпческую функцию В(Г) с периодом Т,; на каждом периоде Г(1) является копией импульса т)т (1) (рис. 6.9). значение. Мы просто не рассматриваем сейчас такие случаи, Сила принципа суперпозицни заключается в том, что ои дает возможность не рассматривать не интересующие нас члены суперпознцип, с той оговоркой, что «мы уже рассматривалп их и позже добавим эти члены в результат».) Переход от еулысы Фурье к интегралу Фурье.
Рассмотрим несколько первых членов в бесконечных суммах разложения (73). Зтсс члены имеют вид Л, яп в,«+В, соз всй А«яп 2в,«+В» соэ 2со,~ и т. д. Покажем, что ьтли первые члены пренебрежимо лсаоьс. Из рис. 8.8 мы видим, что у функции ф(() нет компонент с периодом большим, чем Т,. Искусственно построенная функция Е(!) будет иметь компоненту с периодом Т,. Но так как выбор Т, произволен (за исключением особых случаев), то мы можем сделать этот интервал очень большим, так что соответствующая угловая частота в,= =-2л7Тс будет очень малой. Константы А„А„В„В, и т.
д, при соответствующем выборе Т, могут быть сделаны очень малыми, и имн можно пренебречь. В частности, мы можем сделать Т, таким, что первыми несколькими константами А„и В„можно пренебречь. Под «первыми несколькими А„и В„» мы подразумеваем, например, первые десять тысяч членов. Теперь рассмотрим такие и, для котосых уже нельзя пренебречь членами А„и В„. Рассмотрим два последовательных члена в уравнении (73), и и лса1: р(1) =...
+А„э!пив,!+А„„.,з!п(ив,-, 'в,)1+... (78) Вели Т, достаточно велико, мы можем предположить, что в, столь мало, а и столь велико, что Л„„, отличается от А„на бесконечно малую величину. В этом случае мы можем заменить ив, на непрерывную пере«сенную в и рассматривать А, как непрерывную функцию частоты в: в = — ивс, (79) Пусть бв — приращение в при увеличении и на би: бв = со, бп, би = бсо/со». (80) Лалее, пусть бп настолько мало, что коэффициенты А„в диапазоне от п до и+бп можно считать практически равными.
В этом случае мы можем сгруппировать члены, соответствующие диапазону бп в уравнении (78), считая, что все они имеют одинаковую частоту в (среднее значение в в диапазоне бв). Перепишем разложение (78) следующим образом !используя равенства (79) и (80)): и" (1)=... +ЬпА„з!ппв,1+... =... +бв — "э!псоу+... = А„ вс О =... +бвА(в) з!пв(-,'-... =~ А(со) э!пв(с(в+... (8!) О Чтобы получить последнее из равенств (81), мы заменилн сумму по последовательности полос с шириной бв интегралом, а бв— на более общий символ с(в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
