Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Точки (...) в формуле (8!) соответствуют 272 второй сумме в (73), а именно ~чР~В„соз ив,(. Эту сумму также можно представить в виде интеграла. Окончательно получаем Ю р (1) = ~ А (в) з)п в(йв + ~ В (в) сов в~ йв, (82) о о А (в) = А (ив,) = А„(в„В (в) = В (ив,) = В„>'в,. (83) Заметим, что переменная со имеет нижний предел, равный нулю. Это справедливо потому, что А„и В„равны (примерно) нулю при п, близких к нулю, и поэтому А (в) и В(в) должны равняться нулю при в=-О. Из равенств (83) и (?7) имеем Ног, 2 о А( )=о, ') Р(()э1пв(й(; учитывая, что в,Т,=2п, получим А(в) = — — ) ф (г) з1п в(йг. (84) где коэффициенты А(в) и В(в) равны А (в) = — ) ф(г) з)ив(й(, О В(в) = — ) ф(~) соэв~й(. (85) (86) Рассмотрим несколько интересных применений этих формул.
П р и л о ж е н и е. Прямоугольный частотный спектр. Пусть функция А(в) равна нулю для всех в, а функция В(в) постоянна для в между в, и в, и равна нулю для всех других значений в. Выберем постоянное значение В(в) таким, чтобы площадь под В(в) 2?3 В последнем равенстве мы учли тот факт, что интеграл по периоду от искусственно построенной периодической функции р(Г) равен интегралу по времени от — оо до + оо от непериодического импульса ф(Г). Интеграл Фурье. Мы пришли к выводу, что вместо периодической функции Е(г) можем написать в выражении (82) первоначальную функцию ф(г).
Для этой функции справедливо следующее разложение, которое называется интегралом Фурье: была равна единице, т. е. ! В (о2) = — для о22 ( ь2 ( ы« = со, + Ьь2, ) (87) В(ь2) =0 для остальных ь2. ) (Так как В(ь2) имеет размерность обратной частоты, то функция ф(!) должна быть безразмерной.) Функция Ч2 (1) вычисляется еле.
дующих! образом: Х О «р (1) =- ~ А (ь2) з!и о21 йь2 + ~ В (ь2) соз ь21 йь2 = а о «ь г 1 ! 2(п Ы ! и=«22 = О+ ) — соз в21«(22 = — — ' Лм Лм 1 (22=22, ' 22, т, е. (88) ф(1) =— 2(п 2221 — Яс 2221 2(п 2221 — 9(п «2,1 Л«21 (222 — 222) 1 В этом выражении числитель представляет собой суперпознцию двух колебаний, которая дает модулированное колебание с частотой модуляции (22, — о2,)/2. Знаменатель содержит множитель 1, благодаря которому 212(1) имеет наибольшее значение при 1=0. Представим выражение (88) в виде почти гармонического колебания со средней частотой 222 и с медленно изменяющейся амплитудой: сч« 2~22 2 !2112~2 ы2 ь22 !2йы (89) ~(22 (~,+'1, Лм) 1 — 2(о (~,— '1, Л~) 1 (2(22 '1, Лм1 1 ( ) Таким образом, ф(1) представляет собой «быстрое2 колебание с медленно изменяющейся амплитудой А(1): ф (1) = А (1) соз ь),1, А (1) = "," 1' ~ (91) Результат, представленный равенством (91), аналогичен результату, полученному в п.
6.3 для суперпозиции Л! гармонических колебаний, частоты которых равномерно распределены между границами ИытЕРВаЛа КЧ И Ь2,. ЕСЛИ ПЕРЕйтИ К ПРЕДЕЛУ, УСТРЕМИВ У К оо, МЫ получим разложение (91). (См. формулы (57) и (58), п. 6.3.) Импульс ф(!) и его преобразование Фурье показаны на рис. 6.6. П р и л о ж е н и е. «Прямоугольнь2йь временной импульс. Пусть функция 212(1) равна нулю всюду, кроме промежутка М, центрированного относительно 1, и простирающегося от 1, до 1,.
В этом промежутке функция имеет постоянное значение, которое выбрано таким, чтобы интеграл от ф(!) по 1 был равен единице: ф(1) = — ',, 1,<1< 1, =1,—, Л1. (92) Найдем коэффициенты Фурье А(«о) и В(о2) для функции 2Р (1). 274 Если /О=О, то ф (1) — четная функция времени, и поэтому А(ы) должно равняться нулю (так как з)п ыг — нечетная функция).
Если 1,~ О, то мы должны вычислять как А(ы), так и В(ьь). Мы всегда можем облегчить вычисление, сместив ось времени, т. е. заменив 1 на 1 — 1,. Так как ф(1) — четная функция от 1 — 1„то мы имеем ! 'ф(1) =-. 1 В (ы) совы(1 — 1,)йо, о (93) где )ГГ)Г В(м/~ а/ РНО. 6. )а пгяь!О)ГОльныь ныинльО !Г )о и ОГО фниьО ЯОььеиьнОНГ а (ы). как интервал, простирающийся от минимальной частоты (которая равна нулю) до частоты, соотвегствуюшей первому пулю в коэффициенте В(ы), то имеем Лы /(1=-2а, Лы И =--1. (96) Фурье-анализ хлопка с помощью рояля. Предположим, что мы хотим оценить длительность звука от хлопка рукаьш.
У нас нет ни микрофона, ни усилителя звуковых частот, ни осциллографа, но в нашем распоряжении находится рояль. Нажав на демпфпруюшую педаль (освободив тем самым все струны), расположим руки под поднятой крышкой рояля и хлопнем в ладоши. Рояль будет играть роль частотного анализатора. Оцените наивысший тон, для которого интенсивность звука достаточно велика. Можно сказать, что для этой частоты справедливо приближенное равенство нж1/Л(.
Этот пример, как следует из дальнейших рассуждений, дает иам дополнительное представление о смысле анализа Фурье. С некоторым приближением мы можем считать, что воздушная волна давления длительностью ьнт воздействует на нее струны в одно 27О В(ы) = — ~ ф(1) соз ы(1 — 1,)Г(1. Произведя это несложное интегрирование (задача 6.20), мы получим В(„) ' ъ!и'/илм (95) в Ь/на) О) Прямоугольный импульс (функция (92)) и его фурье-коэффициент В(ы) показаны на рнс. 6.10. Зах)етих), что если мы определяем Лы и то же время и в одном направлении. Струны начинают колебаться с собственными частотами. Те струны, частоты которых малы по сравнению с 1/Лг, совершат только часть полного колебания за время действия силы. Эти струны испытывают ускорение в течение всего времени Лг действия силы.
Струны с периодом, точно равным Лг, ускоряются волной давления в течение первой полуволны длительностью Л//2 и тормозятся в течение следующей полуволны. Замедление и ускорение, получаемыеструной за время Л//2, равны по величине, п поэтому после прекращения действия силы струна не колеолется.
Таким образом, струны с собственными частотами от нуля до значения несколько меньшего, чем 1/Л/, возбуждаются с положительной амплитудой. Струпа с частотой 1/Л/ имеет нулевую а.п»лнтуду: эта частота определяет первый нуль для коэффициента В(ь») в выражении (95). Струны с частотами между 1/Лг и 2/Л/ сделают от одного до двух полных колебаний за время Лг. Струна с частотой 2/Л/ совершит за это время два полных колебания и успокоится. Эта частота соответствует второму нул:-о В(ы). Струна с часто~ой 1,5/Л/ будет вести себя следующим образом: после окончащш гервого цикла колебаний на эту струну в течение первой по ловппы второго цикла будет действовать сила того же направления.
Эта струна получит '/, часть импульса силы, так как она совершает три полуцикла собственных колебаний, причем вклады от двух пз них взаимно уничтожаются. Струна с частотой собственных колебаний '/,(1/Л/) за ЛГ совершит лишь полцпкла колебаний, а амплитуда ее должна быть в три раза больше, чем для струны с частотой колебаний т — ---1,5 (1/Л/). Из равенства (95) следует, что коэффициент В(ы) для ы Л/=и действительно в три раза больше, чем для а» Л»=Зп. Этот пример показывает, что рояль или аналогичный музыкальпьш инструмент можно использовать в качестве частотного анализатора. (Мы пренебрегаем тем фактом, что связь воздуха со струнами з ожет и не быть столь совершенной.) Заметим, что из пианино, используемого в качестве анализатора, очень трудно получить информацию о фазе колебаний.
Однако для нашего уха фаза не представляет интереса. Это общая ситуация; часто нас пе интересуют коэффициенты А (о») и В(в») по отдельности, так что мы можем ограничиться нннсенсивноекчью /(ы) фурье-разложения, которая определяется следующим образом: / (в») = А' (о») +В'(ы). (97) Дельта-функция времени. Если продолжительность Лг прямоугольного импульса значительно короче периода колебания наиболыпей частоты, который мы можем обнаружить, то коэффициен~ В(ы) постоянен для регистрируемого нами диапазона частот.
Это утверждение можно пояснить при помощи рис. 6.10. Если устремить Л/ к нулю, то первый нуль функции В(о») устремится к + оо и для любой частоты функция В(о») будет равна 1/и. Импульс, определяемый функцией (92), называется дельта-функцией времени, если Л/ 276 (Мы полагаем постояннуго амплитуду равной единице, чтобы со- кратить вычисления.) Коэффициент затухания обратно пропорцио- нален среднему времени жизни атома: Г = 1!т. (99) Пусть частота колебаний нашей модели атома в отсутствие затухания равна а,. Мы знаем (см.
главу 3), что частота затухающих колебаний а, следующим образом связана с а, н Г: (100) Выразим равенство (98) с помощью интеграла Фурье: » » ч!г (!) = ~ Л (а) з!и а1да + ~ В (а) соа а! йа. (101) Имеем » =- ) е-и "' 2 сова,! з!иго(й! = о 2лЛ(а) =-2 ~ ф(!) з!па!йт ОР О )г е-гс~гс [зги (а -!- а ) 1-1- з!п (со — со ) !1 й(, (102) о Ю Ю 2лВ(со) =2 ) г(г(Г) спасо!Ж = ) е-'с*гс2созас!сова!сУ= » о » — ~ е-гсГс [соз (а+ со ) 1+ соз (а — а ) !!г й!. (103) о достаточно мало.
Например, наивысшая частота ноты рояля гсж ж5000 гц, и поэтому любой звуковой импульс длительностью меньше десятой миллисекунды будет возбуждать колебания всех струн. Нужно заметить, что с помощью рояля мы не сможем отличить этот звуковой импульс от звукового импульса, в десять раз большего по величине, длительность которого на порядок меньше. В обоих случаях конечный результат движения струн будет одинаков. П р и л о ж е н и е. Затухающий гармонический осциллятор; естественная ширина линии. Нас интересует частотный спектр, т.
е. «форма линии» видимого света, испускаемого атомом, среднее время жизни которого порядка «=10-' сек. Если бы нас интересовала лишь ширина спектральной линии, то ее легко определить, и мы знаем, что она порядка 1сст, т. е. !О' гц. Нас однако интересует большее, а именно детальная форма линии. Будем считать, что моделью атома является затухающий гармонический осциллятор.
Зто значит, что функция г!г(!) равна нулю для всех !(1=-О, а при с=О действует скачкообразное возмущение и функция имеет вид ф (!) = е-'с»щ соз а,1, (98) (104) (105) (109) А (в) Ро (во — в') (во — в) тГв А„(в) =- —" (соо — в ) т ) ов (А Г == 1А. ( )1о+ (А.(в)1'= ~', о '„, (113) (во — во)'" —; — Гоооо ' ~о Гсоо Р(со) = — — ' 2 Я (во во)о, ) ово о 7о(в в) '(")= 2 М (в„—.) +Гв .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
