Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 73
Текст из файла (страница 73)
е. ф (г, 1) = ) (1'), (135) Можно показать, что функция ф(г, 1), определяемая выражением (135), удовлетворяет классическому волновому уравнению (задача 6.28). Очевидно, что любая иедиспергирующая бегущая волна, распространяющаяся в направлении — г, также удовлетворяет этому уравнению. Это видно, если заменить о на — о в производных.
Далее, любая суперпозиция недиспергирующих бегущих волн, распространяющихся в обоих направлениях, также удовлетворяет классическому волновому уравнению, поскольку все члены суперпозпцпи удовлетворяют ему. Гармоническая стоячая волна вида ф (г, 1) =- А соз к(г — г,) соз вз(1 — 1„) также удовлетворяет уравнению (133), что легко показать. Если среда недиспергирующая, то все гармонические стоячие волны удовлетворяют уравнению (134). Это следует из уравнения (135), если оф = о для всех частот. (Для стоячих волн ов означает ы/й, хоти понятие фазовой скорости не будет естественным параметром для описания стоячих волн.) Зто также следует из того факта, что стоячая волна может быть представлена суперпозицией бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Напомним, что впервые с классическим волновым уравнением мы встретились в п.
2.2 при изучении стоячих волн в непрерывной струне. Задачи и домашние опыты 6.1. Покажите, что суперпозиция двух гармонических бегущл!х волн Аг соз(ю( — йг+«рл) и А» соз (ы( — угаси»), распространяющихся в направлении -1-г и имеющих одинаковую частоту ю, представляет собой гармонпческу|о бегу. щую волну того же типа. Покажите, что эта сумма может быть записана в виде А сов(ы( — йг-)-ф).
Найдите, как А н ф связаны с Аг, А„ц»л н ф» (С оъ е т. Удобно воспользоваться комплексныл«и числами или векторной двзграммай.] 6.2. Рассыотрим электромагнитное излучение в среде с диэлектрической по- стоянной з(ю). Положим, чта магнитная проницаемость 9= 1. Тогда о(го)= [е(ы)) ?» Ь соответствии с теорией относительности сигнал не может распоастраняться со скоростью, большей чем с=3,0 10'» см?сек. Какое ограничение накладывает это условие на возможную зависимость е от ы? (Считаем, что е(ю) положительно для всех ы.) О т в е т.
ю(дп?ды)+ (л — 1)а»0. 6.3. Опыт. Определите приблизительно полосу частот в широковегцательном дяапазопе вашего приемника, работающего на ДМ, поворачивая настроечный лил и наблюдая крайние значения шкалы для приема данной станции. Как согласуется полученный вами результат с тем, что для перекрытия обеих боковых полос, необ- ходимого для высококачественного воспроизведения звука, нужна полоса частот йо 40 кгц? 6.4.
Туба (большая басовая труба) может издавать очень вязкие зяукн, на- пример звук Сг с частотой 32,7 гц. (Самое низкое С у рояля обозначается Сг.) На ф »ей«те можно взять очень высокий звук; самая высокая нота у флейты — это ната С, с частотой 2093 гц (это на одну октаву ниже самой высокоп наты оояля). Каждая ~ ага, при равномерной насгройке инструмента, отличается по частоте от преды- , ущей в 1,06 раза (т, е, на 6»А»).
На флейте можно играю очень быстро, на тубе :ельзя. Зависит ли это от того, кто играет на тубе, илн ат свойств саней губы? Можно ли переделать тубу так, чтобы на ней можно было играть так же быстро, хск на флейте? Оцените максимальную скорость, с которой можно играть на тубе а районе паты С32,7 и на флейте в районе ноты С2093? Очевидно, вы должны ана- п«те «запастись» разумным музыкальным критерием, а потом уже решзть задачу.
О т в е т. 2 нотн?ск для губы; 120 иот!сек для флейты. 6.6. Человек приносит свай 7»М-ирке»«них в мастерскую и лкалуется на то, что настройка недостаточно хорошая. Он хочет, чтобы положение дан«юй станина было очень «резко» определено на лимбе. Его просьбу удовлетворяют. Через не- которое время он опять приносит свой приемник. На что он жалуется теперь? 6.6. а) Одним из способов определения скорости звука в воздухе является вз- мерение интервала времени между хлопком и эхом ат нзвестнога отражателя. :!ругай способ — это определение длины картонной трубы, резонирующей пз яз- в«сгной частоте (с учетом краевых эффектов). Какая скорость определяется этнчн способами: фазовая нли групповая? б) Одним иэ способов измерения скорости света является определение времени прохождения прерывающимся лучом известного расстояния от одного пункта д» другого и обратно (после отражения от зеркала).
Другой способ — это нахож- дение длины полости, резонансная частота и мода колебании иаторай известны. Какая скорость определнется этпмн методами: фазовая нлн «руппоззя» 6.7. Покажите, что если показатель предал«ленни света равен и (Л), то Ыи (Л) — = — — Л вЂ”, о , оо с дЛ где Л вЂ” длина волны света в вакууме. 6.6. В таблицах для скорости света в вакууме дано значение с=(2,997925+ 40,00000!) 1О'а см/сек. Предположим, чта вы измеряете скорость сне~а, определяя время прохождения прерывающимся лучом расстояния от одного пункта до дру- гого и обратно (после отражения от зеркала). Вначале вы пренебрегалн тем, что луч распространяется в воздухе, а не в вакууме.
Теперь определите поправку, ко- торую нужно ввести, чтобы из измеренной скорости получить скорость света в вакууме, предполагая, что свет распространяется в воздухе с фазовой скоростью. (Для показателя преломления воздуха возьмите значение и=1+0,3 10-»,) Пов- 284 дйпагер дг 1 1 Еаапае 6.10.
Предпологким, что вы ударили по картонной трубке. В течение короткого времени вы слышите ноту, соответствующую самон первой моде. Предположим, что мы имесаг дело с затухающими гармоническнми колебаниями н можем говорить о некотором времени затухания т. Удвоим длину трубки. Частота моды уменьшится в два раза. Предположим, однако, что вы возбуждаете трубку так, что в ней происходят холебания с первоначальной частотой (эта часгота соответствует теперь второй моде удлиненной трубки). Считаем, что после быстрого возбужденна воздух совершает свободные затухающие колебания.
а) Г!редполоаагм, что все потери энергии определяются излучением с концов трубки. Сравннте новое время затухания со старым. б) Предположим, что диаметр трубки настолько мал, что потеря энергия на концах трубки пренебрежимо мала по сравнению с потерей на трение вдоль стенок трубки н излучением от боковых поверхностей трубки. Сравните новое и старое время затухания. в) Предположим, что, воздействуя на новую и старую трубки одннакозьм: параметром (частота колебаний которого соответствует частоте самой низкой моды первоначальной короткой трубки) и изменяя длину трубки с помощью бумажного етромбонаа, вы измеряете ширину резонансной полосы новой и старой труоок. Сравните полосу длины бА для двух случаев, упомянутых выше. Найдите связь мегкду 6Е и полной полосой частот.
Используйте результаты задачи 6.9. 6.1!. Опыт. Воелозые лопаты ма воде. Лучшим способом уяснения разницы между групповой и фазовой скоростямн является наблюдение волновых пакетов на поверхности воды. Чтобы образовать расходящиеся круговые волновые пакеты с преоблслаюгцей данной волвы 3 — 4 слг нли больше, бросьте в бассейн или пруд большои камень. Чтобы создать прямые волны (двухмерный аначог трехмерных плоских волн), опустите в ванну илн большой таз деревянный прут и резко ударьте по нему несколько раз в вертикальном направлении.
После некоторой практики аы замеюгте, что для эгнх пакетов фазовая скорость больше групповой. (См. табл. 6.1, п. 6.2.) Вы увидите небольшие волны, возникающие на заднем конце пакета, проходящвс через пакет и исчезающие нпередн. (Зто требует небольшой практики, так как волны распространяются достаточно быстро.) Такие волны можно также образоватгч поместив на конце ванны доску и постукивая по ней. Чтобы создать волны миллиметровой длины (волны поверхностного натяжения), используйте глазную пипетку, наполненную водой. Пусть иа поаерхносгь воды в тазу падает капля из пипетки с высоты в несколько миллиметров.
В этом случае будут возникать волны с доминирующей длиной в несколько миллиметров. Чтобы убсдиться в том, что этн волны возникают благодаря поверхностному натяжению, добавьте в воду немного мыла и повторите опыт. Вы заметите уменьшение групповой скорости. Чтобы убедиться в том, что более длинные волны вызваны не поверхностным натяжением, можно повторить этот опыт с длинными волнамн. Лля увеличения длины основной волны в группе капля должна падать с большей высоты. Покажем, как убедиться (без сложных измерений), что миллиметровые волны нмеют ббльшую групповую скорость, чем сантиметровые нли еще более длинные волны.
торите вычисление поправки, предполагая, что свет распространяется в воздухе с групповой скоростью. Чтобы оценить поправку в этом случае, воспользуйтесь 'результатами задачи 6.7 и предположите, что молекула воздуха неотличвма от молекулы стекла. Еслге бы плотность числа молекул в воздухе и стекле была одинаковой, вы могли бы получить значение дл)дй нз табл. 4.2 п. 4.3. В действительности для воздуха плотность ранна йгж2,7 !О" аголекул/сма, а для стекла йгем2,6гс гс 10еэ мо ж еулусм'.
Найдите длЮ для воздуха (для желтого света), используя табл. 4.2 и соответствующую поправку для плотности. Зависит лн результат от того, какуго нз двух поправок вы используете (имея в виду точность определения скорости света)? Какую поправку следует использовать? 6.9. Г!ока>ките, что для затухающего гармонического осцнллятора время затухания т равно Образуйте пакет, содержащий как миллиметровые, так и сантиметровые волны, капнув в круглын таз, до краев наполненный водой, каплю с высоты примерно 30 саь Обратите внимание иа то, что после отражения от края таза группа приходит в фокус, ааходящийся в точне, сопряженной с точкой, в которую упала капля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
