Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Так как частота 258 Пусть частота стробоскопа равна ! бус 1йср о (рйт+ б»а)' ® стробоскопа равна бу,р, то мы не увидим быстрых колебаний, а увидим только изменение А (т). В результате получим серию мгновенных «снимков», показанных на рнс. 6.3. г. ,Ф Ф с Ф у ® 4б=-сч Ю=4'У,Мт Рнс. биь Биение в суперпозицын тнт)=л езр ты,т юд скроен стробоскопя ~есина «снимки» производится с частотоп ы =ы и покрывают цевын сервод бисеиб Гб.
с ср В зтом примере ч1стота биении ранна Ч, среднее частоты: оте — зе,=-зыет си' Рис. бс стуобаскаптз |вские «сниикпв и ковсбзвпо бт -- ох уавпаме~ ио рсспр тем пикк в иатенвавс частот Вез=о,— ыи Стробаскопнческая частота Паина ы . Вектор колебании от=-и кемется иепопвпывым. ср' ср В момент ~=-0 полная амплитуда А (4) суперпозпции ф(() равна МА.
Через время ~, немного меньшее, чем время 2птзЛбу (равное периоду биений между крайними частотами со, н бтз), полная амплитуда А (~) равна нулю, так как векторы, соответствующие разньга ЧаСтОтаМ, раВНОМЕрНО раСПрЕдЕЛЕНЫ ПО ОКружНОСтИ. (КОГда Л4 — ~ со, этот первый нуль в А (~) возникает точно прн 1=-2лтзйцу.) В течение долгого времени после 1=2п/Лтб векторы будут иметь все еще достаточно широкое распределение по фазе (однако уже не совершенно Равномерное), так что в сумме дадут небольшое значение Л (4). Векторы снова окажутся в фазе и амплитуда А (~) снова достигнет максимума, равного Л4А, лишь когда биения между соседними по частоте колебаниями опять достигнут максимума. Так как соседние колебания отличаются по частоте на Лоб/(Лт — 1), то период биений между ними равен произведению (М вЂ” !) на период биений, соответствую9а 269 Образовпнае иеипугьса.
Теперь рассмотрим случай, когда волновая Функция ф(1) является суперпозициеи очень большого числа колебании равной амплитуды Л, с пулевыми начальными фазами и частотами, котоРые РавномеРно РаспРеделены в диапазоне от бзз до пт,. Соответствующая стробоскопическая векторная диаграмма показана на рис.
6А. щий разности крайних частот. Если У- ьо, то общая амплитуда остается малой практически «навсегда», никогда не возвращаясь к начальному значению. В этом случае мы имеем то, что называют ил~пульсам, т. е. функцию времени, которая отлична от нуля только в течение ограниченного интервала времени. Длительность импульса. Обозначим длительность импульса, т. е. интервал времени, в течение которого функция»р (1) «достаточио велика», через ЛЛ Этот интервал простирается от момента 1=0, когда все компоненты между о, и о, находятся в фазе, до момента »о когда все компоненты равномерно распределены по фазе (по кругу в комплексной плоскости), т.
е. Л1 (о (38) где (о,— о,)1,=2п. Ло Л( 2п, (йо Имеем (40) пли Лт ЛГ 1. (4! ) Соотношение (41) является частным случаем общего и очень важного соотнои|ення между продолжительностью Л( импульса ф (1) и полосой в частотном спектре гармонических компонент, суперпозиция которых образует импульс. Оно имеет необычайно широкое применение во всех областях физики, независимо от того, будет лп явление, протекающее в виде импульса, функцией времени или какой- либо другой переменной. Соотношение (41) пе зависит от деталей формы импульса ф (»).
Важно лишь, чтобы функция»1~ (С) действительно представляла собой импульс, т. е. была отлична от нуля втечение конечного интервала длительностью ЛЛ Произведение частотноео интервала на временной интервал. Оби)се соотношение между интервалом частот Лт и длительностью импульса Л( имеет вид Лч Л() 1. (42) Знак неравенства отражает тот факт, что в результате спуперпозпцип М гармонических колебаний, занимающих диапазон частот Лч, мы получим импульс длительностью Л» 1!Л~ только прн определенном выборе фаз складываемых колебаний. В примере рис. б.4 все компоненты имеют одинаковую фазу.
Если бы их фазовые постояш|ые не были равны (они равны в момент времени 1=0 в нашем примере), то суперпозиция ф (1) никогда бы не достигла максимального значения. В этом случае интервал времени, соответствующий импульсу»р(1), будет более длительным. В пределе, когда фазы имеют случайные значения, продолжительность Лс может стать произвольно большой. В этом предельном случае не существует сколько- нибудь различимого импульса, 260 Пример с роялем.
Предположим, что мы ударплн по всем клавишам рояля одновременно. Результирующий звук занимает диапазон частот около 4000 ги. Если все струны были возбуждены точно в фазе, мы услышали бы очень громкий звук, продолжителыюстью около Л/ж 1/4000 ж 0,2 мсек. Если мы ударяем по клавишам рукамп пли каким-либо протяженным предметом (чтобы захватить сразу все клавиши), то неизбежно получим разницу в начальных фазах, которая, очевидно, как минимум имеет порядок 10-' сек. В этом случае фазы распределены существенно случайно и звук будет иметь характер продолжительного шума, а не импульса.. Гармоническое колебание ограниченной длительности. Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий соотношение (41). Предположим, что мы включили генератор, установившийся режим которого достигается за несколько периодов. Генератор выдает несколько циклов колебаний А созе>ег с амплитудой А и частотой ш ее/е/ л-> и > г з 1 еаелнлэе Рнс.
бои Герионнчесние 1сонебенне нонечнои продопжитсннностес и выключается, также быстро успокаиваясь (рис. 6.5). Кслеоания длятся конечное время и поэтому не являются чисспылш гарлпттшескими колебаниями с частотой еве. Конечно, частота а>=в>, преобладает, но это не единственная частота, которая присутствует в о5- разовавшемся импульсе. Нашему импульсу илп пугу колебаний должна соответствовать полоса частот с центром в ы — е>о. Покажем, как грубо оценить ширину Лео этой полосы.
Используя определение частоты как числа колебаний в секунду, вычислим полное число циклов работы осциллятора в течение интервала времени Лб Если это число равно и, мы получаем, что доминирующее знайение (43) В пределе эта частота, в соответствии с рис. 6.5, должна быть равна Ро=-1/Т,. Однако из рис. 6.5 следует, что и певозз>о>кно определить точно„так как на обоих концах импульса существует неопределенность порядка ~т/, цикла и мы не можем решить, следует ли прибавить еще одно колебание или импульс уже затух. Вы можете ~казать, что если п достаточно велико, то ошибка, связанная с неопределенностью в одно колебание, мала. Это верно, но мы ищем именно эту ошибку. Из выражения (43) следует, что неопределенность в и, равная одному колебанию, приводит к ширине полосы 26! частот, равной Лу дп ! (44) Перемножая уравнения !43) и (44), получим Лтж!/Лй П р п м е р 6.
Телевизионный диапазон частот. Изображение на экране телевизора представляет собой прямоугольную сетку, состоящую пз белых и черных точек. Данная точка буде! «белой», если это место фосфоресцирующего телевизионного экрана было облучено (в течение 1/50 сек) электронным пучком. Точки разделены расстоянием около 1 жм. Размеры обычного экрана близки к 50х х 50 сл!«. Таким образом, экран имеет 500 линий, а в каждой линии 500 точек.
Соответственно на всем экране можно разместить 25х х10' «белых» точек. Каждая точка вновь «ощупывается» электронным лучом через 1/25 сгк. (При одном пробеге по экрану пучок просматривает горизонтальную линию. При следующем пробеге просматривается соседняя линия. Таким образом, данная область экрана, включающая много горизонтальных линий, имеет частоту мерцаний, равную 50 гц.) Итак, число команд электронному пучку, содержащих приказание «выключиться» или «включиться», составляет 25 25 10' или 6,25 10' в 1 сек. Из выполненного расчета следует, что напряжение в передающей и приемной антеннах должно иметь порядок 10' всплесков в секунду. Длительность каждого всплеска (импульса) не должна быть больше Л1-10-' сек для избежания перекрытия.
Поэтому необходимый диапазон частот равен Лчж!/Л! 10' гц 1О Мгц. Несущая частота для телевизионного канала лежит в диапазоне от 50 до 210 Мгц. В соответствии с тем, что было сказано о радиопередаче с амплитудной модуляцией, можно думать, что полоса в 1О Мгц должна быть расположена симметрично относительно несущей частоты. На самом же деле несущая частота и одна боковая полоса «подавляются». Они отфильтровываются и ие поступают к передающей антенне. (Однако они генерируются в приемнике, будучи восстановленными по информации, получаемой из оставшейся боковой полосы.) Такой способ передачи называется передачей одной боковой полосы. Он требует полосы частот в два раза меньшей, т.
е. всего 5 Мгц. Таким образом, между 55 и 210 Мгц можно уместить 30 телевизионных каналов, каждый из которых занимает полосу в 5 Мгц, П р и м е р 7. использование видимого света для радиовещания. В этом примере мы рассмотрим передачу информации с помощью лазера. Использование лазеров открывает широкие возможности для передачи информации электромагнитным излучением на частоте видимого света. Сейчас многие исследователи заняты поиском методов, которые позволили бы модулировать выходной свет лазера, аналогично тому как в радио или телепередатчике модулируется несущая частота. Предположим, что такая техника модуляпии све- 2б2 — пн бы ==.-.— = м — ! д — ! (46) Формула (45) представляет ф(Г) в виде линейной срперпозиции большого числа строго гармонических ко;тснент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
