Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Модуляционные частоты для передачи звука должны лежать в слышимом звуковом диапазоне, т. е. от 20 гц до 20 кец. Суперпозиция двух синусоидальных бегущих волн образует амплитудно-модулированную бегущую волну. Рассмотрим бегущие волны, испускаемые передатчиком. Пусть временная зависимость «смещения» на выходе передатчика определяется выражением (1) или равносильным ему выражением (2). Среда, в которую испускаются волны, связана с передатчиком так, что при г=О ф(г, Г) равно »р(0, 1) =0(() =А созь»,1+ А созь»»1. (5) Таким образом, на выходе передатчика генерируются две бегущие волны и для любого г в направлении распространения этих волн результирующую волну можно представить как их суперпозицию, т. е, справедливо выражение »р (г, ») = А соз(ь»,1 — й,г)+Асов(а»г — я»г).
(6) Выражение (6) получается нз (5) заменой ь»,г на (ь»,( — й,г) и ь»,1 на (ь»»« — й,г). Производя такую замену в выражениях (2), (3) и (4), мы получим выражение для почти синусоидальной амплитудно- модулированной бегущей волны: 1Р (г, () =- А „,„(г, 1) соз (со,»1 — й, г), к нахождению скорости распространения максимума модулированной волны (т. е. точки, где А„,„(г, 1)=2А).
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим уравнение (8). Очевидно, что для постоянства амплитуды А„„(г, /), например, для сохранения ее максимального значения, необходимо, чтобы аргумент а„„( — я„„г оставался постоянным. Таким образом, изменение в этом аргументе, вызываемое приращениями Ш и е(г, должно равняться нулю, т, е. а„„Ж вЂ” й„„йг = О. (11) Это условие удовлетворяется, если скорость перемещения модулированного колебания равна (12) Теперь вспомним, что в н я связаны дисперсионным соотношением а=в(/«). (13) Это соотношение однозначно определяет а, если выбрано я, т.
е. а,=а(/»,), а,=а(/»»). (14) Поэтому скорость распространения модуляции, определяемая уравнением (12), может быть представлена (с помощью разложения «ь (/«1 в ряд Тейлора в точке /«=/«,! в таком виде: а (ь,) — а (ь«) йо (15) мод ь и (и ' ° ю где производные берутся в точке я=я,р, Групповая скорость. Для большинства интересующих нас случаев а, и а, в уравнении (12) отличаются ненамного. Поэтому в выражении (15) для скорости мы можем пренебречь всеми членами, кроме первого. Величина да/оя, вычисленная для некоторого среднего /«, называется группоеой скоростью: (16) Таким образом, скорость распространения «сигнала», образованного максимальной амплитудой (т. е.
гребнем волны), равна не фазовой скорости о, =в, //«,р, а групповой скорости о„р йо/ей. На рис. 6.1 показано распространение бегущей волны «р(г, (), определяемой выражениями (7) или (6). Эта волна имеет следующие параметры: а, =8в„„, и групповая скорость е(а/пя (оцененная для средней частоты) равна половине фазовой скорости а„//«,». Приведем менее длинный вывод для скорости распространения модуляции, Разность фаз волн 1 и 2, входящих в суперпозицию 2»0 пуз г Рис. блм Групповая скорость. СтРелками показаны места биений, распростраияюпгихся с групповой скоростью и .
Чер- т р' ными кружками показаны отдельные военовые гребни, которые распространяются со сред- ней фазовой скоростью о ср' (6), равна р, (г, 1) — рр (г, 1) = (ыр( — й г+ р,) — (ы«1 — й,г+ М = ( 1 р) ~ ('~1 '~2) г+ (%1 Чр)' При некоторых значениях ~р,(г, 1) и ~рр(г, 1) обе волны находятся в фазе и их интерференция дает максимум, при других значениях рр, (г, 1) и рр, (г, 1) волны будут в противофазе и амплитуда модулированного колебания будет равна нулю. Очевидно, что если мы будем двигаться со скоростью, при которой разность фаз рр, (г, 1)— — ~рр(г, 1) остается постоянной, то эта скорость и будет скоростью распространения модулированного колебания, т.
е. групповой скоростью. Поэтому, приравняв нулю полный дифференциал приведенного выше выражения, получим (ор,— ро,) Ш вЂ” (й,— й,) йг = О. Определяемая из этого выражения скорость йгИ совпадает с уравнением (12). П р и м е р 1. Радиоволны с амплитудной модуляцией (АМ- радиоволны), Рассмотрим простой пример бегущей волны, которую можно считать либо почти гармонической амплитудно-модулированной бегущей волной с медленно изменяющейся амплитудой А„,„(г, 1) и большой несущей частотой вр,р, либо суперпозицией двух гармонических бегущих волн с двумя различными частотами ы, и ы,. Амплитуда модуляции А„„(г, 1) может считаться «почти постояннойр в пределах одного перйода колебаний высокой частоты. Величина А„„(г, 1) изменяется синусоидально во времени (для заданного г) с частотой модуляции в„„и синусоидально в пространстве (для фиксированного г), имея модуляционное волновое число я„„.
Мы нашли, что суперпозиция двух гармонических бегущих волн эквивалентна амплитудно-модулированной бегущей волне с частотой модуляции ор„,„. Мы могли бы начать с рассмотрения бегущей волны, определяемой выражением (2), и пришли бы к выводу, что она состоит из суперпозиции двух гармонических колебаний. Чтобы описать амплитудно-модулированные колебания, посылаемые радиопередатчиком, следует учесть, что здесь мы имеем дело не с единственной частотой модуляции, а с целым диапазоном таких частот. Ток в антенне представляет собой почти гармоническое колебание со средней частотой рр,р, которая, как уже отмечалось, называется несуи1ей частотой. (У широковещательных радиостанций с АМ каждой станции соответствует своя несущая частота, лежащая в диапазоне от 500 до 1600 «гч.) Амплитуда напряжения на выходных зажимах передатчика не постоянна. Она является амплитудой модуляции, которая может быть выражена с помощью ряда А„,„(1) =Ар-)- ~ч', А(ы,„)соз [ы,г+~р(а„„)~, (17) мод Величина А„„(1) — А, пропорциональна давлению в звуковой волне и представляет собой передаваемую информацию.
(Микрофон преобразует мгновенные значения звукового давления воздуха в электрическое напряжение.) Величина А, дает некоторый вклад в выражение (!7), который существует постоянно, независимо от того, говорят ли в микрофон. Остальные члены разложения (17) соответствуют звуковым волнам, регистрируемым микрофоном. Частоты модуляции представляют собой, таким образом, частоты звуковых волн, лежащие в слышимом диапазоне от 20 до 20 000 гц. Они малы по сравнению с несущей частотой.
Приложенное к антенне напряжение р" (г) будет поэтому почти гармоническим колебанием с частотой а„: 'р'(о) =-Ам,д(1) сов во, 1= =А,созоо„1+ ~~, ЗА(ы„,)соз [ов„,д1+ф(ы„„)]совы,р1. (18) мод Это выражение может быть записано как суперпозиция строго гармонических колебаний: 'р'(г) =А,совы, г-1-~~~' —,А (ср„„) сов [(ср, -1-ы„„) 1+ф(оя„„)]+ + ~Ч''.—, '1 (Ымод) СОЗ [(мор — Шмод) 1 — ф (Ымод)] (10) Боковые полосы.
Таким образом, модулированное по амплитуде напряжение р'(1) является суперпозицией гармонических колебаний, состоящих из колебания с частотой ы, (несущая частота) и многих гармонических колебаний с частотами ы, +ы„„(верхняя полоса частот) и а, — а„„д (нижняя полоса частот). Для того чтобы излучаемые бегущие волны передавали информацию о звуке в области частот от 0 до 20 кгц, необходимо, чтобы напряжение 'р'(г) было представлено суперпозицией гармонических компонент с угловыми частотами чо в частотном диапазоне от самой низкой частоты, присутствующей в нижней боковой полосе, до самой верхней частоты в верхней боковой полосе.
Таким образом, излучаемые чистоты занимают диа озон (20) оо,р — ю„„(макс) д 'ы(рд„+ы„,д(макс), т„— ч„,„(макс) ( т ( т„+ тм,д (макс). т. е. (21) Ширина полосы чатпот. Шириной полосы частот называется разность между максимальной и минимальной частотами: Полоса частот.= Лр == т (макс) — т (мин) =2тм„(макс). (22) Таким образом, для передачи несущей н двух боковых полос, занимающих весь звуковой частотный диапазон, необходима ширина полосы вдвое большая, чем 20 кгц, т.
е. 40 кгц. (Коммерческим Радиостанциям, работающим с амплитудной модуляцией, предоставляется диапазон частот шириной 10 кгц. Этого диапазона вполне хватает для передачи речи и музыки. Вспомним, что частота самой высокой ноты рояля близка к 4,2 кгц.) «Музыка» распространяется с групповой скоростью. Вынуждающая сила )г(г), представленная выражениями (18) или (19), приводит к испусканию электромагнитных бегущих волн, которые можно считать суперпозицией гармонических компонент, занимающих полосу частот Лго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
