Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Глубинные гравитационные волны имеют дисперсию; фазовая скорость удваивается, если длина волны возрастает в четыре раза. Волны гюоерхноепного натяжения. При выводе дпсперсионного соотношения (72) мы пренебрегли возвращающей силой, возникающей от поверхностного натяжения. Для данного элемента соответствующий вклад в возвращающую силу пропорционален произведению коэффициента поверхностного натяжения Т на кривизну поверхности. Последняя пропорциональна И. Поэтому вклад от сил поверхностного натяжения пропорционален Тя"", Гравитационный вклад жести) на разность высотвточках х н .к+Лх, т.
е. на разность ф„(х+Ак) — ф„(х). Эта разность равна произведению производной дф„/дх на оавновесное значение Лх. Окончательно имеем г"„= — 1. Лу 1р(х.)-Лх) — р(х)) =- — 1. Лурд [ф,(х+Лх) — ф,(хЦ = = — /.ЛуЛхрд — „' .=- — (ЛМ)д ~ — ~, (70) где ЛЛ( =21,ЛуЛх — хшсса волга в обьече рассматрлваекюго элемента.
Сила Г,. создает ускорение, направленное по осн х. 1:,го величина равна д-'~~ь,,/д/2, и так как движение гармоническое, то ~~)1 й'Ли/-(/,Л/ д'-4:,,/д/'-' = — а24ь Второй закон Пьютона дтя ьиссы ду ЛЛ4 Т (Л/к() ~',— ' г д", '. 1 о '.~ — . Р/" ь)х/ даег, е=лп воспользоваться Рьь, э.а Гэьв:.ть оьюньь вазниаю, ьь „я ~:ом вхь ... В:,мь.,ьь~;ь ..- оа-г. (-: Л:И) о ' — '"-'-' ~ -~ алле=, =-= , 'Ъ..1) ы-'1),]х „. (71) Теперь, используя фе и ф из уравнений (од) и (64), получки пропорционален весу Мд, т.
е. ррд Таким образом, следует предположить, что относительный вклад в «о» сил поверхностного натя жения и сил тяжести определяется безразмерным отношением Тиуну. Это предположение справедливо. (См. задачу 7.33.) Бегущие волны в воде. Покажите сами (задача 7.31), что бегущие волны в воде описываются уравнениями «Р, =- А соз («о1 — 'ях) (е'л — е-"ле "-'), «р„= А з1п («о1 — 'ях) (елу+е»»"е 'л). (75) (76) Из этих уравнений сразу следует, что у бегущих волн в глубокой воде данная частица воды движется по кругу в плоскости ху, смещаясь вперед, когда она на гребне волны, и назад, когда она находится во впадине.
В общем случае любой глубины а частицы воды движутся по эллипсу. Движение по эллипсу аналогично круговому движению в глубокой воде, с той лишь разницей, что между поверхностью и дном сосуда (озера, океана) происходит постепенное «сплющивание» окружности. Все это справедливо, если можно пренебречь трением о дно, В противном случае воде будет легче продвигаться вперед на гребнях, чем смещаться назад во впадинах. В результате будет происходить перенос воды, и в этом случае волны «ломаются». Действительно, около берега можно наблюдать, как на волнах образуются буруны, которые опрокидываются вперед по ходу волны.
Именно поэтому в сильное волнение (в случае болыпих длин волн) пловец должен держаться вдали от каменистого берега, в противном случае волна может с большой скоростью выбросить его на берег. 7.4. Электромагнитные волны — = уХВ, дЕ ш эв э = УХЕ, (77а) (77б) (77в) (77г) Классическое уравнение для электромагнитных волн в вакууме Мы получим дифференциальное уравнение в частных производных 318 В этом пункте мы используем уравнения Максвелла, чтобы дать общее описание явлений, с которыми мы познакомплпсь при рассмотрении передающей линии из плоскопараллельных пластин.
Таким образом, мы подготовимся к лучшему пониманию поведения электромагнитных волн в трехмерном пространстве. Уравнение 7«1аксвелла для вакуума. Эти уравнения имеют вид (см. том П, стр. 2б4) для Е, исключая В из уравнений (77). Сначала продифференцпруем уравнение (77а) по времени, а затем используем уравнение (77б). Получим — =с7)( В, дЕ дГ д""Е д — „, =- -„(Ч Х В) = дВ =с7 Ху= = с7 )( ( — сЧ )( Е) = =- — '7 Х (7 Х Е) (77д) Можно показать, что для любого вектора С (см. П. 4, уравнение (39)) 7 Х(7 ХС) — 'Ч (7 С) — (7 ° Ч) С.
(78) Подставляя Е в уравнение (78) и помня, что Ч Е =0 (уравнение (77в)), получаем пз уравнения (77д) ,'., ~' ' - =- с'-Ч"-Е (х, у, г, !). (79а) Это векторное уравнение состоит из трех отдельных дифференциальных уравнений в частных производных: д дх дну, для —.," = с'-'Ч'Е; —.~ = с272Е; — ' = с'Ч'Е . (79б) д~'-' "' дГ1 У' дГ~ Итак, составляющие электрического поля Е„, Е„и Е, в отдельности удовлетворяют классическому волновому уравнению для иедиспергирующнх волн (см. уравнение (18), п. 7.2!.
Исключив Е из уравнений Максвелла, мы получим классическое волновое уравнение для трех компонент В. (Задача 7.12.) Элегапромагнащные плоские волны в вакууме. Электромагнитная плоская волна состоит из электрического Е(х, у, г, !) и магнитного В(х, у, г, !) полей, обладающих следующими свойствами: 1. Существует единственное направление распространения. Мы совместим его с осью г.
(Волны могут быть любой комбинацией бегущих илп стоячих волн.) 2. Ни одна из компонент Е илп В не зависит от поперечных координат х и у. Таким образом, имеем Е = хЕ„(г, 1) -)-уЕ„(г, 1) + гЕ,(г, !), (80) В=- хВ„(г, Г)+ уВ (г, Г)+ гВ,(г, Г). (8! ) То, что мы имеем дело с плоскими волнами (выражения (80) и (81)], накладывает определенные ограничения на источник волн, на то, как они образуются, и т. д.
Однако здесь нас не интересуют источники. Мы просто предполагаем, что волны откуда-то пришли н их форма определяется уравнениями (80) и (81). 319 Электромагнитные плоские волны поперечны. Применим уравнения Максвелла к волнам (80) и (8!). Вначале используем закон Гаусса: д1ТЕ =4пр. В вакууме плотность зарядов р равна нулю. Так как любые компоненты поля Е не зависят от х нли д, то частные производные по х и у равны нулю. Окончательно имеем 7 ° Е= *, ' =О.
(82) Это означает, что Е, не зависит от г. Кроме того, Е. пе зависит и от воемени !. Действительно, рассмотрим уравнение Максвеллз для тока смс'.цеппя дЕ .су ~(В, (83~ Возьмем г-компоненту урагтения (83). В правую часть равнения войдут производные дВс/дх и дВ,дду, равные нулю. Таким образом, дЕ,Уд! равно нулю, и мы получилн, что величина Ег постоянна. Для простоты можем положить эту постоянную составляю'цую равной нулю.
(Сделав так, гиы не нарушим общности расс) ждеиий, а поступим в согласии с принципом суперпозпции, позволяю.цим но рассматривать постоянную составляющую. Ее действие в случае необходимости может быть учтено.) Аналогично, уравнение у В =-О показывает, что состзвляющая В,(г, !) не зависит от г. Независимость В,(г, !) от ! следует пз закона индукции Фарадея — = — су ХЕ. зв дг (84) Таким ооразом, В. можно также положить равным нулю сез потери общности.
Предположение, что В, и Е, равны нулю, зкви злентио тому, что мы ие рассматриваем статические поля, которые ие вли»пег на переменное поле. Таким образом, электромагнитные плоские вслны лв,*чзгнсп попереннььни еслнссии, т. е. у этих ВОлн Векторы э:жктрическпх и магнитных полей псрпепдшсулярны направлеишо распространения г.
Связь Е, и Вв, У нас остались поля Е„, Ев. В,. и В.„а также .;- и у-компоненты уравнений (83) и (84). Для х-комг;оненты уравнения (83) и у-компоненты уравнения (84) пмсе.~ (85) с вг зг ' с зг зг Аналогично, у-компонента уравнения (83) и х-компонента уравнения (84) дадут (8 о) В соответствии с уравнениями (85) составляющие Е„и В, не являются независимыми.
Они ксвязаны» двумя дифференциальными 320 (88) уравнениями в частных производных первого порядка (85). Если ń— известная функция г и (, то В„полностью определено (с точностью до константы). Аналогичная связь существует между Е„и В„(уравнения (86)1. Если Е„известно, то Вх можно определить; если Е, равно нулю, то В„равно нулю (или постоянно), Линейная и эллипкчичеекал поляризация.
Поля Е и Е„пе свя заны уравнениями Максвелла. Они независимы. Это значит, что можно создать электромагнитную плоскую волну с составляющей Е„, отличной от нуля, и составляющей Еес равной нулю для всех г н Е В этом случае говорят, что волны линейно поляризованы по осн х. В случае линейно-поляризованных волн электрическое псле Е„ и магнитное поле В, — единственные ненулевые (или непостоянные) составляющие. Аналогично, можно иметь электромагнитные волны, линейно-поляризованные по у, тогда ненулевыми компонентами будут Е„и В,. Возможна также и любая комбинация Е, и Е„(для данной частоты) с произвольной относительной фазой. В этом случае говорят об эллипгпичеексй поляризации.
Мы будем изучать поляризацию в главе 8. Легко заметить, что уравнения (86) также связывают Ев и Вх, как уравнения (85) связывают Ех и аннус В„. Наличие минуса связано вот с чем. Если вы имеете.линейно-поляризованные волны с Е„и В„положительными, то, повернув оси координат на 90, чтосы совместить новую ось у с электрическим полем, вы обнаружите, что проекция магнитного поля на новую ось х будет отрицательной величиной.
(Задача 7.34.) Поэтому уравнения (86) физически эквивалентны уравнениям (85), и мы ничего не потеряем, если ограничимся рассмотрением уравнении (85). Будем считать, что мы имеем дело с лннейно-поляризованной волной, которой соответствуют отличные от нуля значения Е, и В„ 1уравнепия (85)1. Мы начнем с рассмотрения гармонической бегущей волны, распространяющейся в направлении л-г, и зате", перенесем полученный результат на волны, распространяющиеся в противоположном направлении — г.
Суперпозиция этих волн с произвольными амплитудами и фазовыми константами даст наиболее общее решение (для данной частоты) и как частный случай будет включать стоячие волны. Вегри1ая гаргчсническая волна. Пусть Ех определяется уравнением Е„= А соз (ы) — йг). (87) Используя уравне:1ня (85) и соотношение сэ =-ей, имеем дВ 1 дйх в дЕ„ —.~=- — — — '= — А з1п(ссг — яг) =- — '", дг с дг с дг ддг дЕх дйх — ~= — с — '= — сйА з1п(в1 — Йг) =- д ". дг дг дг (89) В соответствии с уравнениями (88) и (89) величина Вэ зависит отги г, также, как и величина Е„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
