Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 86
Текст из файла (страница 86)
В точке наблюдения это поле направлено вдоль линии, соединяющей точку мгновенного положения заряда с точкой наблюдения, и его величина равна 1 — () Е=-— я г" (1 — Р'«1п'0) М (122) где () =-и/с и Π— угол между направлением скорости ч и направлением на точку наблюдения из точки мгновенного положения заряда. Нас будет интересовать случай, когда и мало по сравнению с с. (Этому соответствует, например, непускание видимого света атомами; в этих случаях и/с порядка 1/137.) Тогда с достаточной степенью точности мы можем положить в уравнении (122) Р=О е). Таким образом, для заряда, движущегося с постоянной скоростью и <~ с, электрическое поле в удаленной точке наблюдения равно Е'= с/ —,, (123) гдег'=- г'г' — радиус-вектор, проведенный от мгновенного положения заряда до точки наблюдения.
Это очень простой результат. Нас интересует электрическое поле в перегибах, распространяющееся со скоростью света. Чтобы найти это поле, используем закон Гаусса для данного момента времени, соединив поле перед перегибом (это поле определится по уравнению (121)) с полем послеперегиба *) Общий случай произвольного е(о«~с) рассмотрен в статье: ). К. Т ее з гп а и, Л, Т. Р 1 и и е 1 1, )г., Ат.,). Рьуз. За, 523 (1967). (оно определится по уравнению (123)) таким образом, чтобы поток Е (поверхностный интеграл от Е) сохранялся. (См. том П, п. 5.7.) Рассмотрим время !, много большее, чем время Л( ускорения.
Можно пренебречь расстоянием в/за(свг)в, которое заряд проходит за время ускорения свз, по сравнению с много большим расстоянием ог, которое ои проходит с постоянной скоростью. Мы рассматриваем точку наблюдения, для которой вектор г, проведенный из первоначального положения заряда, составляет угол О с направлением скорости ч. Время ! выбрано так, что перегиб начинает проходи гь через точку наблюдения в ьюмент Е Таким образом, г = сб Теперь рассмотрим вектор г', он- и ределяющий «хвост» или задний фронт перегиба. Так как в фс, то расстояние иг, которое прошел заряд, очень мало по сравнению с г = с Е Поэтому можно считать, что направление г' почти параллельно направлению г.
Тогда расстояние г' равно л! г' = г — о/ соз О = =г) ! — — СозО) г, с так как о)с (( 1. (124) Рнс. 7.». Излучение ускоренного точечного зерчзз. Рассз)атриэасу)ая ГСОВ)Ет- Излом силовых линн« поля В рзспрострсьяетс. со скоростью с. Рисунок сдолзн для случая »'» йг в рИя ИОКЗЗЗПЗ На рИС. 7.8 з)=а б)) -з'с. состзвляющие скорости ч, пзрззлсль- Обозначим через Еь ныен перпендикулярные нзпрзвлюппо г от з до И ЕВ КОМПО)юитЫ ЭЛЕКтри.
точки ньблюдсния, обознвчены ос и оп соотгетстческого поля В в пространстве, занятом перегибом, соответственно перпендикулярную н параллельную направлению распространения "г. Сохранение потока Е подразумевает непрерывность силовых линий. Поэтому отношение компоненты Е> к компоненте Е,) получается из простого рассмотрения рпс.
7.8. Прямоугольный треугольник с гипотеиузой, соответствующей полю в перегибе, катеты которого равны Ех к ЕВ, подобен прямоугольному треугольнику с катетами длиной 7), ! и с М. Таким образом, из рис. 7.8 имеем Ен с сй» (125) или, так как ол равно альт« и г = г/с, Е (а а)) (г/с) =а„—, Е сгз» с' 1) где ал — величина поперечной компоненты ускорения а.
(126) 331 Нам нужно определить Е > — параллельную компоненту В в перегибе. Мы найдем ее, применяя закон Гаусса к малому объему, подобному «коробочке» на рис. 7.9, Внутри объема зарядов нет, поэтому входящий в него электрический поток должен равняться выходящему потоку. Мы выбрали объем таким образом, чтовходящий поток равен Ев, умноженному г на площадь входной поверхности «коробочки», а выходящий поток равен (радиальному) полю сразу за перегибом, умноженному на равную площадь.
Из рис. 7,9 можно заключить, что Е~~ и Е, равны. Однако Е, определяется уравнением (121). Таким образом, Рнс. 7.9. Элеатринесаое поле Е в ИМЕЕМ лясте излома снловзал линий. Штрнзов О лннисп поиазана воо«ра- Е~1 =-Е, =+, (127) Если бы «коробочка» была расположена сзади перегиба, то мы получплп бы, что Е~ должно равняться Е;, определяемому из уравнения (123). Но Е; равно Е„так как г' и г практически равшз> в соответствии с уравнением (124). Таким образом, получим уравнение (127). Уравнение (125) также может быть получено из рассмотрения «коробочки». Наш упрощенный метод, который заключается в рассмотрен>.н направления В в перегибе, эквивалентен, как легко показать (задача 7.16), рассмотрению такого элементарного объема. 7)оле излучения.
Из уравнений (126) и (127) можно найти величину поперечного поля в перегибе: да„ Ех = ~ах —.1Е~1 =--п, —,—.= —, са,! ' оа та тс (128) (129) Заметим, что поскольку радиальная компонента Е в перегибе такая же, как и радиальное поле перед перегибом и после перегиба, то она ие несет никакой информации; это поле не излучается н не является частью бегущей волны. Если у нас есть детектор, который реагирует только на радиальную составляющую, то по ией он не определит наличие перегиба (т. е.
он не обнаружит движения за- Учтем в этом выра>кении для поля его направление. Вектор Е, (см. рпс. 7.8) в точке г в момент 1 напрпплси вдоль отрнцателыюго напраглсипя а> в момент г', где г' ==1 — (г)с). Будем называть Е, полин излучения Внз,: ряда). Вот почему в поле излучения мы включили только поперечную составляющую.
Такого результата можно было ожидать по аналогии с результатом, полученным в п. 7А для продольных компонент Е и В в плоской волне. Как вы помните, эти компоненты оказались 'постоянными в пространстве и времени и поэтому не включались в волну. (В настоящем примере излучения точечного заряда можно ожидать, что поля в ограниченной области на расстоянии г от заряда будут подобны полям в плоской волне, поперечным к г.) Мы возьмем на себя смелость предположить, что к нашему случаю можно отнести и другие результаты, полученные для бегущих плоских волн, а именно то, что В и Е взаимно перпендикулярны и перпендикулярпы направлению распространения г и что величины В и Е равны в пространстве и во времени. Обобшение для произвольного (нерелятивистского) движения точечного заряда.
Предположим, что мы имеем точечный заряд о, который совершает некоторое сложное трехмерное движение. Мы будем называть это движение произвольным, однако оно должно удовлетворять условию о (( с. Далее, мы предполагаем для простоты, что заряд д совершает перемещение в некоторой окрестности своего начального положения. Так, например, зарядом о может быть один из электронов в удаленной радиоантенне или в удаленном атоме.
Мы считаем, что между понятиямн «окрестность» и «удаленный» существуют следуюише соотношения. Вектор смещения г от мгновенного положения заряда д до фиксированной точки наблюдения должен быть практически постоянен по величине и направлению для всех возможных положений заряда в «окрестности». Таким образом, «удаленный» атом может находиться на расстоянии 10 ' см от точки наблюдения, так как «окрестность», занимаемая атомом, имеет радиус порядка 10 ' см. Для десятиметровой антенны «удаленная» точка наблюдения в смысле, определенном выше, находится, например, на расстоянии 1О 000 м. Что представляет собой Поле излучения в удаленной точке, вызванное «произвольно» движущимся зарядом? Уравнение (129) было выведено для специального случая простого движения, состоящего из ускорения в течение короткого интервала времени Лг и последующего движения с постоянной скоростью, Мы нашли, что результирующее поле излучения в точке наблюдения в момент времени г полностью определяется поперечной составляющей ускорения аь(1') в более ранний момент времени Е =- г' — (г/с).
В случае произвольного движения, при котором а(г') все время и непрерывно меняет свою величину, мы можем считать ускорение а(р) постоянным по величине и направлению в течение достаточно малого интервала времени с»г'. Поэтому можно считать, что ускорение а(('), действующее в течение интервала времени с»г', создает в точке наблюдения поле, которое определяется выражением (129) и которое проходит через точку наблюдения за интервал И.
Теперь мы столкнулись с некоторыми трудностями. Ранний момент времени г', в который возникает ускорение, определяющее поле, равен с (139) Излучение, испущенное зарядом д в течение интервала Ж', проходит точку наблюдения за интервал а(, равный йг= ь ( г'+ — ') =лр+ — ", (131) с с где Лг' — изменение расстояния между положением заряда и точкой наблюдений за время ЛР. Очевидно, что в общем случае Лг не равно аг'. Поэтому в данный момент времени ( в точке наблюдения будет «наложение» вкладов в поле излучения, испущеппых в различные «ранние» моменты >(ак избежать <налсжения». Мы не будем рассматривать общий случай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
