Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Таким образом, в бегущей 11 ф. к„аз~ сл 321 гармонической плоской волне, распространяющейся в направлении +г, компоненты поля В„и Е„равны с точностью до констант, которые мы положили равными нулю. Для гармонической бегущей волны, распространяющейся в направлении — г, В„равно — Е„, что легко можно получить, заменив й на — й в приведенных выше уравнениях.
Напишем уравнения, справедливые для обоих направлений распространения бегущей волны: ! Е (г, 1) ( =- ) В (г, () !, Бегущая волна: Е В=О, Е Х В = ч. (90) Стоячая гармоническая волна. Предположим, что составляющая Е„равна Е„(г, 1) =Асозв(созда. (91) Из уравнений (91) и (92) следует, что в электромагнитной стоячей плоской волне в вакууме Е и В перпендикулярны друг другу и х, имеют одинаковую амплитуду и сдвинуты на 90' по фазе как в пространстве, так и во времени.
(Аналогично ведут себя давление и скорость в стоячей звуковой волне пли поперечное натяжение и скорость для стоячей волны в струне.) Поток энергии в плоской волне. Плотность энергии электромагнитного поля в вакууме равна з (Е'+ В'). (93) (Это выражение дано в томе П, стр.
116 и 258, для статических полей, по можно показать, что оно справедливо в общем случае.) Нас интересует энергия любой линейной суперпозицпи бегущих и стоячих плоских волн. В частности, нас интересует поток энергии. Найдем выражение для энергии в бесконечно малом элементе объема с площадью А, перпендикулярной оси г, и бесконечно малой толщиной Лг вдоль этой оси. (Затем мы найдем, как меняется эта энергия со временем.) Энергия В'(г, () в элементе объема равна плотности энергии, умноженной на объем А Аг: (з' ~) ач (Ел г Ф' (94) Дифференцируя ()г(г, 4 по времени, получим (95) Покажите (задача 7.36), что в этом случае В,(г, 1) = А гйпо( з1плг=Е„(г — — Х, т — 4 Т) .
(92)- 1 1 4 ' 4 Чтобы исключить дЕ,/д/ и дВв/д/, используем уравнения Максвелла (85): дВ' (г, ~) Ас Лг / дВ~ дЕ„'~ Ас Ьг д (Е„В„) дг 4к ~ л дг ' У дг / 4п дг Ас Дг Г(д.д,)„,ь, †(Н.д.).) (96) 4я Лг Последнее преобразование в уравнении (96) эквивалентно вычисленшо частной производной произведения Е„В, по г (для фиксированного времени), и мы находим, что скорость изменения энергии в объеме А Лг равна )= — Е„(г, /)В (г, г) — ь Е„(г+Лг, /)В (г+Лг, /) = =5,(г, /) — 5,(г-)-бг, /), (97) где 5.(' г)= — 4, Е (' г)Вг(~, г)=4 (ЕХВ),. (98) Таким образом, скорость изменения энергии в элементе объема А Лг равна значению А5,(г, /), вычисленному в точке г, минус значение этой величины в точке г+ Лг.
Поэтому величина 5,(г, /) должна соответствовать мгновенному значению потока энергии через единичную площадь в направлении +г. Увеличение энергии в элементе объема определяется разностью величин втекающего (слева) и вытекающего (справа) потоков; г-компонента 5,(г, 1) вектора потока 8 определяется как поток энергии в направлении +г через единичную площадь (в эре см 'сек ') с коордннатамнг, Е (В нашей задаче это единственное направление потока энергии, так как ось г совпадает с направлением распространения волны.) Вектор Пойнтинга.
В общем случае вектор потока энергии имеет внд (99) Он не зависит от выбора координат. Вектор потока энергии называется вектором Пойнтинга. Плотность энергии и ее попюк в бегун(ей волне. Для линейно- поляризованной бегущей волны, распространяющейся в направлении +г, можно положить Е=хЕ„и В=уВюпричем В„=Е для всех г, Е Таким образом, мы имеем (Е измерейо в ед. СГСЗ,/сл0 Е = Е„соз (Ы вЂ” йг), В„= Е, соз (ы( — йг), (100) Плотность энергии = — (Е„'+ В„') = — Е, 'соз' (ьз1 — йг), (101) Поток энергии=5, = — Е„В = — Е;соз'(а1 — йг).
(102) Заметим, что поток энергии 5, (в эрг см * сек-') для бегущей волны равен плотности энергии (в эуг/см'), умноженной на скорость света (в см/сек). Средний во времени поток энергии (при фиксированном г) равен среднему в пространстве потоку энергии (при фиксированном (). Обе эти величины не зависят нн от г, ни от 1 и получаются из уравнения (102) заменой соз'(ы| — йг) средним значением '/,. Плотность энергии и ее поток в стоячей волне.Для стоячей волны имеем Е, = Е„соз ы/ соз /гг, В„= Е, з)п ~ь/ з1п lгг. (103) Максимумы для плотности электрической энергии и плотности магниткой энергии сдвинуты во времени на '/, периода и в пространстве па '/4 длины волны.
Покажите сами (задача 7.86), что в любой области длиной "/,Х полная энергия постоянна. Эпеогия электрического поля совершает гармонические колебания относительно среднего значения с частотой 2ы, достигая предельных зпачений— пуля и двойного среднего значения. То же происходит с энергией магнитного поля, Таким образом, энергия колеблется от чисто электрической, имеющей максимум плотности в одном месте, до чисто магнитной с максимумом плотности энергии, смещенным на Это напоминает поведение гармонического осциллятора (колебательного контура).
Полная энергия осциллятора постоянна, по колеблется, переходя из чисто потенциальной энергии в одном положении массы в чисто кинетическую энергию в другом положении массы. Как потенциальная, так и кинетическая энергии гармонически колеблются относительно их среднего значения с частотой 2ьь Двойка появляется потому, что потенциальная энергия дважды (за период) положительна и дважды достигает максимального значения (то же справедливо и для кинетической энергии).
Электрическое поле Еь в стоячей волне аналогично смещению массы гармонического осциллятора от положения равновесия, в то время как магнитное поле В, аналогично скорости этой массы. Поток импульса в бегущей волне; давление электромагнгипного излучения. Когда электромагнитное излучение поглощается без отражения веществом, последнему передается энергия Ю', а также импульс (вдоль направления распространения). Мы покажем, что величина передаваемого импульса равна )р/с. Если пучок отражается на 180' от зеркала (без какого-либо поглощения), то зеркалу передается удвоенное значение иь(пульса, равное 2%/с.
Таким образом, излучение оказывает давление на предметы, которые поглощают илн отражают его. Это давление называется давлением излучения. Бегущей электромагнитной плоской волне с энергией Тг' соответствует и.лпульс Р, равный (104) где 2 совпадает с направлением распространения, з24 Уравнение (104) легко получить, если принять, что свет в бегущей волне состоит из частиц, называемых фотонами. Фотоны подобны частипам, но их масса покоя равна нулю. Релятивистская частица с массой покоя М и импульсом Р имеет энергию В', равную Я7 = ((сР)'+ (Мс»)») Ч», (105) Положив массу М равной нулю, получим уравнение (104). Этот краткий вывод может внести в заблуждение. Известно, что электромагнитное излучение кваитовано в том смысле, что оно переносит эиергщо порциями, величина которых равна Йы. Однако это еще ничего не говорит о давлении излучения, т. е.
об уравнении (104). Поэтому мы приведем чисто классический вывод уравпения (104), ие связанный с корпускулярным представлением о свете. (В томе 1Ч вы познакомитесь с квантовыми идеями о свете.) Рассмотрим частицу с зарядом д, на которую действует бегущая плоская волна. Будем считать, что заряд д положителен, и предположим, что частица приходит в движение в момент 1=-0. Сила г, действующая на частицу, — это сила Лоренца: (106) Е =-дЕ+4 — Х В.
Сначала (например, в течение первых нескольких колебаний) величина скорости ч мала. Поэтому движеиие заряда в основном определяется вектором Е. Таким образом, ч направлено по Е и изменяет направление вместе с изменением направления Е. Но всю ий раз при изменении направления Е меняет направление В. Г!о»гому вектор ч)(В всегда имеет один и тот же знак. Сила, действую цая на заряд 4 благодаря В, всегда совпадает с иаправлением распространения, определяемым вектором Е;»(В. Таким образом, заряд совершает движение, являницееся суперпозпцией поперечных ко ебзнпй с частотой поля, плюс движение с медленно возрастающей скоростью вдоль ваправления распространения поля.
Г)ока>кем теперь, что средняя по времени скорость, с которой заряд приобретает импульс вдоль г, равна произведению 1/с па среднюю по времени скорость, с которой заряд поглощает энергию из бегущей волны. (Заряд не «удерживает» поглощенную им энергию. Если заряд связан с веществом, то ои постоянно преобразует полученную энергию в тепло благодаря наличию сил сопротивления, действующих на заряд при его движении. Если заряд находится в свободном простраистве, то энергия, поглощенная им, испускается во всех направлениях. Величина энергии, излученной в направлении падения бегущей волны, пренебрежимо мала, так что обратно в бегущую волну возвращается ничтожная часть поглощенной энергии.) Теперь рассмотрим вывод.
Имеем обычвую бегущую волну Е = = х Е„, В = у В«и В„= Е „. Скорость ч заряженной частицы равна ч= хх+ уу+ хг. Подставляя эти значения поля и скорости в уравнение (106) и имея в виду, что хну =я, у)(у=О и я,»(у = — х, 325 мы получаем Р = хе)Е„+. ~~ хВ х — ч гВ х. (107) Далее, усредним уравнение (107) за один цикл. Первый член хс7Е, при таком усреднении даст нуль. То же справедливо и для последнего члена гВю поскольку мы предполагаем, что приращение скорости вдоль г в течение одного цикла пренебрежимо мало, т.
е. считаем скорость г постоянной в течение одного цикла, а среднее по времени за один цикл от поля Вс дает нуль. Среднее от оставшегося члена — хВ х не будет равно нулю, так как поперечная скорость х с У колеблется с такой же частотой, что и Вю Вспоминая, что сила раппа скорости изменения импульса, мы получаем для усредненных по времени значений (обозначаемых скобками (;») (Г> = ( — „) = г — '" (хВ„>. (108) Беря среднее за один цикл, имеем ( — „~= 7(хЕ„). (109) Сравнивая уравнения (!08) и (109) и имея в виду, что В, = Е„ (для бегущей волны), получаем (110) Итак, за интервал времени, в течение которого электрону передается от бегущей волны энергия 1Г, он также приобретает импульс, равный х ()Руе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
