Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 80
Текст из файла (страница 80)
волновые моды, для которых магнптлке п электп:гческое по.тя не зависят от х (для фиксированного у п е и для любого х внутри волповода). Волновое уравнение для этого случая будет двухмерным варпаптэхг уравнения (17). Пусть тр соответствует электрн гескому пощо Е„., мы имеем д"-ф „ д-'$ дз р От дд ' озз Дтн ОПРЕДЕЛЕННОЙ ЧаСтОтЫ бт НМЕЕМ дтзр д",р — ОгттР ==- Сз —., -1- Ез —.', .
(22) Одз де Наличие проводящих боковых пластин означает, что Ек равно нулю в плоскостях у = О и у == Ь. Поэтому волна г(з (у, е, 1) должна быть стоячей волной относительно осн гг с постоянными узламп в точках у=О и у = 0. Такихг образом, электромагнитные волны распространяются по волноводу в направлении +» и относительно оси е мы имеем бегущие волны. (21) 304 В этом уравнении п зависит от частоты, и можно, например, разложить решение в ряд или интеграл Фурье и воспользоваться дисперсионным соотношением для каждой данной частоты.
Классическоеволновоеуравнение (18) отличается от (19) тем, что его вюжно использовать для импульсов нли других негармопнческпх волн, не прибегая к фурье-анализу. П р и м е р 3. Э гектролииниогные волны е ионосфере. Используя дисперсионное соотношение (12) и уравнения (1б), мы получаем трехмерное уравнение Клейна — Гордона: дтз) (20) Приведем несколько примеров двухмерных спнусондальпых гармонических волн. П р н и е р 1. Э гегопроггаенгггпнбге еолны в ггрлдг грев гоном еолгговоде.
Чтобы получить прямоугольный волгговод, достаточно дооавить к передающей линии из плоскопараллельных проводящих пластин две проводящие боковые пластины, как это показано на рпс. 7,1. Внутри волновода — вакуум. Мы рассмотрим лнпгь те оп;ведя дтгееуlшдгт Мы видим, что уравнению (22) удовлетворяет смешанная волна, которая является стоячей по оси у и бегущей по оси г волной: ф(у, г, !) = Л з1пй усов(й,г — ы!), (23) Для этой волны справедливо дисперсионное соотношение а!! = с2й' ~ С2Ь' (24) Множитель з!п Акр в (23) удовлетворяет условшо Е,„.
=-0 в 9=0. Однако нам нужно, чтобы яп й, у = 0 и при р = Ь, т. е. чтосы Ь Ь=Й,.2л, ..., упп, ... (25) Такие волны называются ТЕ-модаки! (попереч,пзе з!Оды зс-,; —;рпче- скОГО пОля). Поскольку к!НГнитное поле Однозна'!ПО связано с электрическим, то рассматривать его отдельно нет необход!К!ос::!. ! ОЙнпчнЙЯ япсупоууУЙ со сну!Орлу!О! низкпх ~!Ос%оп!. расспзтрпы паинизшую моду. Мы получим ее, если в уравнении (25) гюложим ш =-1. Электрическое поле для этой моды показано на рзс,,!.
Подставляя уравнение (25) в уравнение (24), дтя и! =1 п,шз; (26) Таким образом, дисперсионное соотношение между ы и й, (для моды, у которой )), Ь = и) по внешнему виду аналогично дпспегспонному соотношению для плоских волн, распространяющихся в направлении г в ионосфере: са' -—.— ау~ + с'й2, (27) пли дисперспонному соотпошени,'о для связанных маятников (в длпнповолновом пределе): (28) Поэтому следует ожидать, что величина с'п-,Ъ-определяет нижнюю :.
раничную частоту (точнее, квадрат этой частоты) и для вьш;ждаюпгей частоты ы, меныией этой граничной частоты, дисперспопнос соотношение (26) примет вид (29) Эго предположение спраьедлпво. Для частоты ы . псУуу волповос авпеппе (21) имеет решение ф(йн г, !):=ЛЯ!ПУг,усово!.е-".* (30) при условии, что уэ, й и и, связаны уравне;и: з! уэ- "—. с!й' — с'и,', (31) что равенства (25) удовлетворяются и что ы' меньше с-'и'-'(Ь (для уп =-1), так что равенство (29) удовлетворяется прп положительном (Заметим, что в уравнение (30) мы могли бы включить член, пропорциональный ехр (+ и, г).
Однако граничное условие, 305 заключающееся в том, что волновод простирается до г = + оо, обра. щает в нуль коэффициенты при этом члене ) Физическая природа граничной частоты для волновода. Предположим, что частота фиксирована, а ширина Ь волновода меняется. Если Ь бесконечно велико, то уравнение (26) переходит в дисперсионное соотношение для плоских электромагнитных волн в вакууме, распространяющихся в направлении +г. Волнам «кажется», что онн распространяются в передающей линии из плоскопараллельных пластин. Для конечного Ь величина Ьр (которая равна л/Ь) не равна нулю.
Таким образом, если рассматривать волновую функцию как суперпознцию плоских бегущих волн (мы это всегда можем сделать, даже если имеем чисто стоячую волну), то мы видим, что уменьшение Ь от бесконечности до некоторого конечного значения изменяет волну от чисто бегущей волны, распространяющейся вдоль + 2, до суперпозпппи с ненулевой компонентой вектора распространения Ьр вдоль у. В действительности мы должны иметь две бегущие волны, распространяющиеся в направлениях +у и — у, суперпозиция которых дает стоячую волну вдоль у. Величина (с всегда определяется дпсперснонным соотношением для вакуума: (32) Поэтому, если р-я компонента )«увеличилась от нуля до какогото конечного значен, то это должно привести к уменьшению г-й компоненты вектора )«.
При дальнейшем уменьшении Ь компонента по д будет возрастать, а по г уменьшаться дальше. Для любого фиксированного Ь волновая функция может быть представлена суперпозицией плоских волн, бегущих <крест-накрест» вдоль волновода и накладывающихся друг на друга так, чтобы удовлетворить граничному условию на боковых пластвнах, (Мы можем сказать, что токи, генерированные в боковой пластине приходящей волной, создают зеркально отраженную волну, бегущую в обратном направлении осн Ьс) При Ь, достаточно малом, г-я компонента к станет равной нулю и волны не будут распространяться вдоль волновода, а будут лишь отражаться туда и обратно между боковыми пластинами. Периодом Т„, (соответствующим граничной частоте) будет время, необходимое йлоской волне в вакууме, чтобы пройти расстояние от одной боковой полосы до другой н обратно: 2Ь Т гр=с ' Тогда рь = 2лр 2л 2л сл гР ' гР Т, 2Ь~'с Ь (33) Сравнивая уравнения (33) и (26), мы видим, что уравнение (33) действительно определяет граничную частоту.
Для частот, меньших граничной частоты, амплитуда волны с возрастанием г эксповенциально уменьшается, несмотря на то что мы имеем дело с вакуумом. Физический смысл уменьшения элект- рического поля состоит в следующем. Благодаря наличию проводящих боковых пластин заряды на верхней и нижней пластинах могут стекать, нейтрализуя друг друга. В области я=О внешний источник все время «доставляет» новые заряды, поддерживая электрическое поле постоянньы. С ростом г влияние вынуждающей силы уменьшается, и при очень малой частоте заряды успевают нейтрализоваться.
Бегущие «крест-накресьт» волны. Смешанная стоячая и бегущая волна, выражае»шя уравнением (23), эквивалентна суперпозпции пересекающихся плоских волн, бегущих вдоль валновода. Это можно показать (см. задачу 7А) с помощью равенства ф =А з!пи усов(л,г — «л7) =- 1 .' 1 = З Аз!п(й> г — М) — —,Лз!п(й«г — ь>1)> (34) где й>=гй,+уй, й,=зй,— уй . Пересечение бегущих волн объясняется тем, что у-компоненты к, и к» имеют противоположные знаки. Фазовая скорость, групповая скорость и с. Картина пересскающихся бегущих волн весьма наглядна, и с ее помощью легко найти соотношения между фазовой и групповой скоростями. Об- У У ратимся лишь к одной из двух бегущих волн из уравнения (34), как это показано иа рнс.
7.2. Рассмотрим небольшой У» У участок волнового фронта, распространяющегося по диа- ~- — '-' — у— и гонали через волновод на расстояние с( за время 1, На Р««. «.ь Одна и> «>ег>ц ° «волн в»о»> о«од« рис. 7.2 этот волновой фронт перпендикулярен направлению, обозначенному «луч )«>». Нас интересуют фазовая и групповая скорости внаправ,>гнниг. (Мызнаези что только в этом направлении существует бегущая волна. Составляющая й, приведет к уничтожению бегущей волны вдоль у, но внесет тот же вклад, что и к„в направление г.) В то время как луч пробегает расстояние с1, пересечение волнового фронта с любым фиксированным значением у (например, у=(>) переносится иа расстояние, обозначенное офй Это дает нам фазовую скорость вдоль г, которая равна скорости, с которой распространяется вдоль г гребень волны.
Заметим, что, когда О (см. рис. 7.2) становится равным 90', фазовая скорость устремляется к бесконечности. Имеем (35) Групповая скорость определяет скорость переноса энергии в направлении г. Если мы «нанесем метку» на волну, то она будет 307 распространяться с групповой скоростью. Луч, обозначенный й„ будет переносить импульс со скоростью с по диагонали волновода. Волна с вектором к, дает импульс, у-я часть которого уничтожится с у-й частью волны с вектором й,. «Метки» волн й, и й, пройдут за прел:я ( расстояние, показанное на рис.
7.2. Таким образом, мы имеем о„=-ссоз О. (36) Мы мотли бы показать, используя диене)лспонное соотношение, что выражения для ое и о»„определяемые форлгулами (35) и (36;, справедливы. Вместо этого решим обратную задачу, т. е. выведе:~ дпсперс;оииое соотношение нз равенств (35) и (36): ы с "Ь=! = 0 дм г„-=„-,—" — ссоз О Пере:.:пожав м Вм 4 ' » и'а (3, » =-с', т. с. И(ь~-') =-с»д(н»). < ('г/ Интегрпр зшше дает ы» = — сЧс -,— соп51.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
