Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Нельзя передать энергию )Р' и не передать при этом импульс х(1Г(е). Это равносильно утверждению, что излучение обладает импульсом, определяемым из уравнения (104). В задачах 7.13, 7.14 и 7.15 рассматривается давление излучения от Солнца.
Мол~енот иломульса в бегущей л~овкой волне. Покажем, что бегущая плоская волна может передавать заряду д не только энергию или импульс, но и момент импульса. Для этого нужно показать, что заряд участвует в крутовом движении. Очевидно, это невозможно в случае линейно-поляризованного поля. Круговое движение заряда может происходить в поле с «круговой поляризацией». Рассмотрим бегущую волну, распространяющуюся в направлении +й. Пусть вектор электрического поля Е имеет постоянную величину и вращается (при фиксированном г) с угловой скоростью го вокруг оси г, образуя с ней правый винт. Таким образом, Е„и ń— гармони- 326 Теперь рассмотрим работу, которую бегущая волна совершает пад зарядом д.
)йгновенное значение этой работы, совершаемой за единицу времени, равно Д1à — „, =ч ° г =ч ~оЕ+ о — Х В ) = дч Б-,'-0 = охЕ„. ч ческие функции времени (при фиксированном г) и Е„опережает Е„по фазе на 90'. Магнитное поле В (как всегда в бегущей волне) В = х7< Е. Так как электрическое поле ускоряет электрон в своем направлении (а магнитное искривляет его траекторшо), мы можем предположить, что в установившемся состоянии заряд д совершает движение по окружности с угловой скоростью еу.
(Заряд также медленно движется в направлении +г благодаря воздействию на него давления излучения. Однако этим движением мы можем пренебречь.) На рис. 7.7 показана конфигурация полей, положение заряда г и скорость заряда». Заметим, что ыг имеет ту же величину, что и». Взаимное расположение векторов» гез и гйг указано на рис, 7.7. Момент вращения т, действующий на заряд д, равен г)(Г. Умножая на гй, получим аут = йуг )( Г =- гйг 7( а(Е + Ы +~"~ Х, (» Х В) (111) по кругу, вызываех двн(яенве заряда О по круговой зраекгоНайдем среднее за одни цикл. Из рнс.
7.7 мы видим, что вектор» )гяВ сукка. направлен вдоль х, поэтому вектор г К (» )( В) направлен вдоль — ». Так как среднее за один цикл от каждой компоненты» дает нуль, то магнитное поле ие внесет никакого вклада в средшою во времени величину момента вращения. Из рис. 7.7 мы также видим, что оуг)( Е направлен вдоль х и имеет ту же величину, что и» ° Е. Поэтому можем записать йуг ~Е=-х» Е.
(1 19) Таким образом, среднее значение (за один цикл)момента вращения, действующего на заряд д, равно <т> =( —,) = — * <»».Е> = — (— " ) (113) Мы учли тот факт, что момент вращения представляет собой скорость изменения момента импульса Л и что 4чг Е представляет собой скорость, с которой совершается работа над зарядом д. В соответствии с уравнением (113) заряд д, поглощающий энергию 1р" от поляризованной по кругу бегущей волны, в которой вращение поля происходит вокруг оси +х, поглощает также и момент ямпульса Я, равный ву 3=х —. Введя единичный вектор эу для направления вращения, мы можем представить наш результат в виде (114) 327 т.
е. поляризованная по кругу плоская бегущая волна переносит момент импульса, определяемый уравнением (114), где в> либо совпадает, либо противоположно направлению распространения. В главе 8 буде~ показано, что линейно-поляризованная бегущая плоская волна с амплитудой А может быть представлена суперпозицией двух поляризованных по кругу бегущих плоских волн, каждая с амплитудой А/2, но с противоположным направлением вращения. Поэтому в сумме для такой суперпозиция момент импульса отсутствует.
Как вы узнаете в томе 1'ч', электромагнитные плоские бегущие волны переносят энергию порциями, или квантами, равными Л(Р = =-й«о. В соответствии с уравнением (114) такая волна при поглощении должна передавать квантованпое значение момента импульса Л/ =-о. Важно понимать, что уравнение (114) справедливо только для плоских бегущих волн. Поэтому оно справедливо на достаточно больших расстояниях от излучающего точечного источника. Оказывается, что если поляризованный по кругу и образующий правый винт с направлением распространения свет проходит через прозрачную «полуволновую задерживающую пластинку> (пластинку, обеспечивающую задержку в полдлпны волпь>), то направление винта изменится на обратное, т.
е. изменится направление вращения поля. При этом пластинке будет передан момент импульса в два раза больше того, который следует из (1!4). Подробно этот вопрос рассьютрен в задаче 8.19. Электромагнитные волны в однородной среде. Мы использовали уравнения Максвелла для изучения электромагнитных плоских волн в вакууме. В Д. 9 мы рассмотрим элсктромагянтные волны в однородной среде, которая не является вакуумом. Мы получим, что в такой среде ь> (115) с> где е — диэлектрическая постоянная н р — магнитная проницаемость.
Этот результат аналогичен тому, который мы получили в п. 4.3 для электромагнитных волн в передающей линии из параллельных пластин (уравнение (4.66)1. 7.5. Излучение точечного заряда В этом пункте мы будем рассматривать электрические и магнитные поли в сферической бегущей волне, образованной колеблющимся точечным зарядом. Полученные результаты помогут нам понять свойства электромагнитного излучения, испускаемого атомами, радиостанциями, звездами, и ответить на вопрос о причине голубого цвета неба. уравнения Максвелла в присутствии источников.
В этом случае мы должны воспользоваться уравнениями Максвелла с членами, 328 соответствующими наличию источников: т Е=4пр, 7)~Е= — — —. 1 В.=О, (116) (117) (118) (119) — +т 3 =0. др д! (120) Уравнение (120) легко проверить, если воспользоваться уравнениями (116) п (119) и тем фактом, что 17 'т,м,т =0 1см. том 11, уравнение (4.9)). Рассматривая движение точечного заряда в, мы автоматически пользуемся фактом сохранения заряда и поэтому можем не иметь дела с током Я в явной форме, а сконцентрировать наше внимание на уравнении (116) с источником в виде заряда.
Закон Гаусса и сохранение потока Е. Уравнение (!16) эквивалентно закону Гаусса (см. том !1, пп. 1.!О и 2.10). Для заряда, находящегося в покое, закон Гаусса или (1!6) дают обычное поле, обратно пропорциональное квадрату расстояния (том 11, п. 1.11): Е =- д —,, (121) Здесь г =гг — вектор, соединяющий точку наблюдения с зарядом. Для движущегося заряда мы можем использовать понятие силовых линий и закон сохранении потока Е (что эквивалентно закону сохранения заряда). (См. том 11, пп'. 5.3 и 5.4.) Движение заряда. Используем закон Гаусса, чтобы найти поле, излучаемое положительным точечным зарядом д, совершающим следующее движение: заряд находится в покое в начале инерционной системы координат в интервале времени от Г =- — оо до 1= 0; в момент 1=0 он начинает двигаться в направлении +х с постоянным ускорением а, и по истечении короткого интервала времени М ускорение прекращается и заряд движется с постоянной скоростью Выше мы работали с этими четырьмя уравнениями в случае вакуума (когда плотности заряда р н тока Л равнялись нулю).
Мы нашли (в и. 7.4), что в этих условиях Е н В подчиняются классическому волновому уравнению для недиспергирующих волн, распространяющихся со скоростью с. Далее, мы нашли соотношение между Е и В для больших расстояний от источника, полагая, что при достаточном удалении волны можно считать плоскими. Чтобы найти, как излучение зависит от движения источника, нужно рассмотреть уравнения Максвелла с членами, определяющими наличие источника. В уравнениях Максвелла имеются два источника.
Один из них— это плотность заряда р и второй — плотность тока 3. Эти источники зависят друг от друга, и связь между ними выражается законом сохранения заряда: и = а 1)г. До момента 1= 0 электрическое поле в инерциальной системе определяется уравнением (121); магнитное поле всюду равно нулю; силовые линии Е направлены по радиусам от той точки, где находится заряд.
Неожиданное ускорение в момент / =0 создает перегибы или изломы («Ып)сзв) в силовых линиях поля Е и приводит к появлению магнитного поля В, Эти поля распространяются от источника со скоростью с. (В этих утверждениях уже использованы уравнения Максвелла!) Мы хотим найти поля на большом расстоянии от источника; поэтому достаточно найти только Е. (Используя наши результаты для плоских волн, мы сможем, зная Е, найти В.) Рассмотриы время /, которое значительно болыце, чем М.
В точки пространства, расстояние г которых до начального положения заряда больше, чем с/, «новость» (информация) о том, что заряд получил ускорение, еще не прибыла. Точки, для которых г меньше с(/— — гт/), получат информацию о перемене состояния заряда, т. е. до нпх дойдут «перегибы> в силовых линиях, вызванные неожиданным ускорением заряда. Электрическое поле в этих точках будет определяться электрическим полем заряда, движущегося с постоянной скоростью о. Это поле направлено от мгновенного положения заряда д. Электрическое поле в фиксированной точке наблюдения, находящейся на расстоянии г' от мгновенного положения заряда, движущегося со скоростью и, выведено в томе 11, п. 5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
