Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 89
Текст из файла (страница 89)
В кзчесгве примера возьмите частоту колебаний плазмы т ==25 Мгц и найдите критический угол для микроволн с частотой т =100 Мгц. О т в е т. Для фиксированнага Ог, а»гр=г» 'соя ба Для фиксированной частоты ы, большей ыр, соз Огр —— ырйш 7,9. Опыт. Каким видят надводный мир рыбы? Этот опыт можно сделать либо в тихом пруду, либо в плавательном бассейне. В бассейне зы должны быть одним из первых, чтобы иметь гладкую поверхность воды. Наденьте маску для подводного плавания, нырните, перевернитесь на спину и посмотрите вверх.
Попытайтесь предсказать, что вы увидите, 7.10. Зависимость фазовой скорости волн в воде от глубины. Предположим, что вы наполнили водой прямоугольный аквариум (или выкрашенную изнутри картонную коробку, илн что.либо подобное) длиной (по х) 25 см и возбуждаете самую низкую сииусоидальную моду (рис. 7.5), а) Чему равна фазовая скорость (в см!ггк) волн в глубокой воде? (Напомниль что фазовую скорость можно определить и для стоячих волн.) б) Постройте график зависимости фазовой скорости (в см!сгк) от глубины воды Л (в см) для данной моды н данвого аквариума, используя точное днсперспонное соотношение (72) из п.7.3 для волн малой амплитуды. Г1окажитс на графике «глубоководный предел».
На том же графике постройте зависимость фазовой скорости от глубины для волн в мелкой воде, рисуя эту зависимость так, как если бы она была справедлива для всех Л, независимо от длины волны. В результате ваш точный график покажет «переход» между фазовыми скоростями для волн в глубокой и мелкой воде. 7.11. Опыт.
Закон дисперсии для волн в юдг. Возьчитс прямоугольньш сосуд, размер которого по оси х лежит в пределах 20 — 60 см, Высота сосуда догпкна быть не меньше»/з длины (чтобы можно было достичь глубоководного предела). Лучше всего испольэовать аквариум. Самым дешевым сосудом может быть картонная коробка (например, коробка из-под ботинок, шляпы нли нз-под продуктов), внутренняя поверхность которой покрыта водостойким клеем илн краской. Однако в этом случае вследствие изгибания картонных стенок существует затухание, которое уменьшает время жизни мод. Поэтому для опыта лучше использовать стеклянный (нли другой жесткий) сосуд. Аквариум удобен также и потому, что через его прозрачные стенки можно наблюдать за иолебаниями воды. а) Самая низкая мода.
Этот случай показан на рнс. 7.5. Вычислите величины ?ч и б этой моды. Постройте теоретический график зависимосгн фазовой скорости ць=?м (для этой моды и для данного сосуда) аг глубины воды Л (см, задачу 7.!О). (Йспользуйте точный закон дисперсии (72) из п.7.3.) Теперь при некотором произвольном уровне Л воды в сосуде добавьте немного кофейной гущи, чтобы можно было наблюдать смещение па всей толще воды.
Толкая (не очень сильно) сосуд вперед и назад, возбудите самую низкую моду и измерьте частоту колебание. (Для атой цели можно использовать обычные часы.) Получите эксперил~ентальное значение скорости оп и отложите его на теоретическом графике для фазовой скорости. Повторите опыт для различных значений Л. Вы должны иметь, по крайней мере, одну «мелководную» и одну «глубоководную» экспериментальные точки н одну точку в переходной области, где Люб.
343 б) Слгдуюауш долге высокая мода, В картонном аквариуме можно возбудить моду с пучностью в центре аквариума (координата х=О, рис. 7.5) и длиной волны, равной длине аквариума. Как возбудить такую моду? Если стенки аквариума твердые, ее возбудить нельзя (во всяком случае это нелегко сделать). Почему? В этом случае следующая легко возбуждаемая мода имеет длину волны Х='1»Е и узел в точке х=б (рнс.
7.5). Вычислите б для данного аквариуыа и этой модй. Вьшнслнте ожидаемую частоту. Теперь попробуйте потрясти аквариум с такой частотой и возбудить эту моду. Измсрьте частоту свободных колебаний для этой моды. в) И<установившиеся биения. Для этого опыта нужен»<етроно»с Если его иет, воспользуйтесь мгятником, гиря которого в одном из крайних положений ударяет по листку бумаги. Теперь плавно качайте аквариум в такт с метрономом.
Изменяйте небольшимн порциями длину маятника (или па<поту метронома) так, чтобы пройти через резонансную частоту для второй моды в случае б). Вы будете наблюдшь нсустаповившисся биения, происходящие с частотой, лежащей между частотой вынуждающей силы и собстненной частотой колебании. Вы убе;а<тесн в этом, достпп<уз резонансной частоты. (В этом опыте вы сможете также наблюдать много явлений, необъяснимых в рамках теории малых колебаний.) Постарайтесь оценить ширину резонанса Лы. Это можно сделать, грубо измерив среднее время затухания »юды н воспользовавшись зна»<сняты»< соотношением между полосой частот и временем затухания: 7.!2. Выведите классическое волновос уравнение для В, как предлагается в пояснении к уравнению (79б), п.7.4.
7.!3. Давление излучения ат Солнца. Солнечная постояннзя (вне земной атмосферы) равна 1,94 кал на 1 смз в 1 мин (или 1,35 1О" эрг!(смг сгк)). Вычислите (в дин?слр) давление излучения на Земле(при нор»<альве»< падении) а двух случаях— а) и б). Сравните результат с давлением атмосферы на уровне моря. а) Земля «черная» и поглощает весь свет. б) Земля — идеальное зеркало, которое отражает весь свет. О т в е т. а) Около 5. 10 г' атм (1 амму!О«дин1<м»). 7.14. Давление излучения. (Предварительно решпте задачу 7.13.) Давлсяпе излучения Солнца на Землю приводит к появлению эффективной отталкивающей силы между Солнцем и Землей.
а) Покажите, чта эта сила удовлетворяет «закону обратного квадрата расстояния». Таи, если бы расстояние от Земли до Солнца было в два раза больше, то сила вследствие давления излучения стала бы в четыре раза меньше. Такая зависимость от расстояния характерна и для гравитационной гиви. б) Вспомните закон Кеплера. Покажите, что для круговых орбит он может быть записан в виде ы»)?»=М6, где ю — углоная часюта обращения планеты вокруг Солнца, )? — расстояние от Солнца до планеты, М вЂ” масса Солнца и 6— гравитационная постоянная. в) Покажите, что для сферического черного предмета с плотностью массы р п радиусом г, движущегося по круговой орбите вокруг Солнца, закон Кеплера имеет внд ызл?»=М6 — (Ру(йпг)) (3/(4рг)), где Р— полная электромагнитная выходная мощность Солнца, г) Зная солнечную постоянную(задача 7.13) и расстояние от Земли до Солнца (149 млн.
км), вычислите Р (в эрг!<ех). д) Рассмотрим «пылинку» с плотностью массы 1 г!гм», движущуюся по круговой орбите вокруг Солнца. Для кахого значения радиуса г сила, возникающая от давления излучения, равна силе гравитационного притяжения? Что случится с такими (и с более мелкими) «пылинками»? е) Рассмотрим <комету», состоящую из небольших сферических частиц пыли или льда нли еще каких-либо частиц, имеющих одинаковую плотность и диаметр. Будет ли такая «комета» менять свою форму, проходя мимо Солнца? (Мы имеем в виду не круговые, а эллиптические орбиты.) ж) Известно, что длинный хвост у кометы возникает в основном вследствие давлении излучения Солнца. Рассмотрим комету (облако пылевых частиц), движущуюся по круговой равновесной орбите. Комета имеет угловую частоту (часто.
344 ту обращения вокруг Солнца), одинаковую для всех частиц, однако радиусы равновесных орбит не одинаковы для всех частиц. Комета простирается от Пл до А», где )7> — ближайший радиус, а )7» — самый далекий. Предположим, что вы можете йзл«ерить Пл и А> (например, наблюдая за кометой в телескоп). Покажите, как можно использовать эту и другую легко добываемую ипформацяю для определения распределения частиц с различными радиусами г в комете. Считаем, что все частицы «черные» и имеют плотность воды. Коне шо, все это еще не доказывает, что давление излучения дает бояьший вклад в силу, действуюплую на частицы пыли и хвосты комет, чел«, например, «солнечныи ветер», состоящий из протонов, испущенных Солнцем.
7. !5. Плавание в а»лна«ных лучах. Вы хотите изобрести солнечный парус, который мог бы «парнты в космосе, где гравитгционная сила притяжения к Солнцу точно уравновешивалась бы давлением солнечного излучения. Предположим, что парус сделан из алюминизнрованного пластика. Пусть средняя плотность вещества паруса равна 2,0. (Плотность алюминия 2,7 г)слл»; плотность пластика около 1.) Парус не несет никакой полезной нагрузки — он должен поддерживать лишь свой собственный вес. Далее считаем, что солнечный свет полностью отражается от паруса. Покажите, что для того, чтобы парус «парил>, оставаясь в покое (в инерциал.
ной системе координат), его толщина д должна быть равна 2Р)4гщ рд= —" >)46 (все обозначения из задачи 7. !4). Покажите (задача 7. !4), что Р=-3,8. 10'» зрг'огк. Покажите(используйте закон Кеплера для Земли; радиус обращения вокругСолнца Р»-.--149 млн. км, и т равно одной единяце за год), что Мб=!,3 1О»' см»!ггк'. Покажите, что для р=2 необходнмая толщина д должна равняться 10-«сл«, т. е.
1 мкм, что в !О или даже в !00 раз меньше величины, которую хотелось бы иметь. Хотелось бы также, чтобы парус мог нести какую-либо иолезцую нагрузку. Повидимому, «тобы не упасть на Солнце, парус должен двигаться по орбите вокруг Солнца. Покажите, что результат этой задачи дает размеры «блестящей кубической частицы пыли> плотностью 2,0, которая будет «парить» над Солнцем, если одной стороной она ориентирована по направлению к Солнцу. 1 7. !6.
Рузяучение от точечного источника. Ис. пользуйте интегрирование по поверхности «ко- /внвратор робочкп» для получения уравнения (125), п. 7.5, которое имеет вид .г' Е )Ер — — о Псбй Рае. к задаче 1.!1 уравнением См, рассуждения, следующие эа (!27), п. 7.5. 7. П, Электрическое дипояьног излучение, образованное радиоантенноод Рассмотрим радиопередатчик и антенну, показанные на рисунке. Будем считать, что ток ) посгоянен по всей длине ! антенны.
Пронода, идущие от генератора к антенне, находятся очень близко друг к другу или жс скручены, так что излучением от подводящих проводов по сравнению с излучением антенны можно пренебречь. Маленькие шарики на концах антенны служат емкостью для накопления зарядов от тол а Е Эти шарики могут и отсутствовать — заряд накапливается иа концах проводни. ков, что приводит к нарушению однородности тока,— однахо мы лложел«этим пре. иебречь. Длина антенны ! очень мала по сравнению с д,линой оомш Лзяектромигнитного излучения. а) Покажите, что в удалешюй точке поле излучении равно Пз(! ), г в»л(Г !)=, !'=! — —.
гс» ' с Здесь ! — вектор тока в антенне, а !л †проекц ! на направление, перпендикулярное направлению радиуса г, проведенного от антенны к точке наблюдения. (У к а з а н и е. Чтобы получить эту формулу, рассмотрите «эквивалентный 345 точечный заряд д, движущийся с эквивалентной скоростью ч (!')», пале излучения которого равно полю ст тока !.) б) Покажите, что для волнового числа й характеристический нмпеданс (т, е. активная нагрузка, которую «чувствует» генератор) равен Л=(й()» 20 ом. (Мы воспользовались равенством с-х ед.
СГСЭ=ЗО ам.) 7.19. Опыт. Рассеяние света молекулами молока. Налейте в стеклянный сосуд воду и направьте сбону на сосуд луч света от карманного фонаря. Посмотрите на свет, рассеянный под угла»«90", и иа фонарь через сосуд с водой. Размешайте в воде несколько капель молока и продолжайте смотрет«ъ постепенно добавляя молоко. Обратите внимание на голубой оттенок рассеянного света и на желтоватый или красноватый оттенок проходящего света, Объясните это явление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
