Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Это следует из закона сохранения момента импульса: на закрепленном илн снободном конце «пружины» не может возникнуть момент скручпианяя (сам по себе), и поэтому при отражении момент импульса относительно фпксироэанного направления + х сохраняется. Конечно, спиральность отраженной полны меняется на прогнаополоигную так как после отражения меняется награаленне распространения. Электромагнитное излучение ведет себя так же, как «пружина».
Под этим мы подразумеваем, что напраалепие вращения относительно фнксироэанного напраэления х поляризованного по кругу света или микроэолн (нли любого другого электромагнитного излучения) не меняется при отражении на 180', но спнральность,т.
с. напранленне вращения относительно напраэлепия распространения, меняется ца обратную. Общий случай поперечной по,тлризацгггц элли>т>пи«лакая поляризация. В общем случае для фиксированного е поперечно-поляризованное колебание имеет вид тр(1) = хА„соз (о>1+ >р,) + уА, соз (щг'-~- гр,). (20) 359 Если тР, Равно бРт или бРт =Е и, то мы имеем линейно-полЯРизованное колебание.
Если зрв равно Чзт и/2 и А, равно А„то имеем колебаниес круговой поляризацией по +2. Если тр, равно цзт+ и/2 и А, равно А„то имеем колебание с круговой поляризацией по — 2. В общем случае, когда А, не равно А, и фазы тр, и тр, произвольны, конец вектора смещения ф описывает эллипс. Действительно, обозначим тр„и ц)р через х и у, тогда х равно А, соз (М+ар,), а у равно А, соз (тбг+ тр,). Разложим каждый из этих косинусов так, чтобы смещение х было некоторой линейной комбинацией соз бур' и яп ббт', а у, соответственно, другой линейной комбинацией этих же функций.
Теперь разрешим эти два линейных уравнения относительно з1п бу| и соз бу1. Мы найдем две различные линейные комбинации х и у, соответствующие з)п Ы и соз пзг, Возведем выра>кения для з(п бу1 и соз пуз в квадрат и сложим. В результате получим выражение (равное единице), состоящее из членов х', у' и ху. Это так называемое уравнение конического сечения. Если возможные значения х и у ограничены по величине (как в нашем случае), то коническое сечение представляет собой эллипс, л ех лг ууг г Рис. 8.Х Поляризации в общем случае. Амплвтуда нслебаниб по оси р в два разо больше аыплитуды иолсбании по к.
Колебания по р опережают нолебания по к на фазовую постоянную ф,— ср,. (См. задачу 8.1.) На рис. 8.3 показаны различные случаи поляризации волны в зависимости от величины разности фаз тр, — тр, в уравнении (20). (С помощью прозрачной целлофановой ленты вы можете продемонстрировать влияние разности фаз тр, — рр, на состояние поляризации.
См. домашний опыт 8.17.) Комплекенббе обозначения. Если в суперпозиции волн присутствуют волны с различными фазовыми константами, суперпозицню иногда удобно записать в комплексном виде. В качестве примера рассмотрим бегущую гармоническую волну, распространяющуюся в направлении +г: Е(г, 1) =хЕ„(г, г)+уЕ (г, 1) = = хЕ, соз (йг — бзг — ~Рт) + УЕ, соз (йг — М вЂ” брз). (21) Легко видеть, что электрическое поле, определяемое выражением (2!), является реальной частью следующей комплексной волновой функции: (22) Е,(г, г) =ер1"' юб (хЕ,е-бч +уЕ,е-бр*). Возможность вынести за скобки член ехр 1(йг — ы/) иногда помогает вычислять выражения, являющиеся суперпозицней различных волн.
Если мы хотим применить выражение (22) (или подобную ему волновую функцию в комплексной форме) к конкретному случаю, то в конечном результате расчета мы должны рассматривать реальную часть получаемого выражения. (В уравнениях Максвелла нет )~ — 1; из них нельзя получить, например, что электрическое поле равно г' — 1 в/см.) Комплексныг волновые функции и комплгксныг амплиипуды.
Комплексную величину Е„реальная часть которой представляет электрическое поле Е, можно рассматривать как суперпозицию: Е,(г, !) == А,ф,(г, !)+Л>ф,(г, /), (23) где ф, (г, /) =ханы-ао ф(г, /) =увит-~о !24) А, = Е,е-оп, А, =- Е»г-и> . (25) Ортонормированные волновые функции. Волновые функции ф, и ф, представляют полный набор ортогональных и нор нированных (со«- ращенно ортонормированных) волновых функций. Прилагательное «полный> означает, что любая гармоническая бегущая волна может быть представлена супер позицией функций»р, и ф» с соответствующи- ми постоянными комплексными коэффициентами А, и Л,.
Прилага- тельное «ортонормированный» означает, что имеют место равенства Ф ф,=Ф ф, =-1, Ф "Ф>= К ф,=-О, (26) где звездочка соответствует комплексно-сопряженному выражс- нпю (т. е. выражению, в котором ! заменено на — !). Проверим равенства (26): ф; ф,—..-(хе цы о) ° (хен»«-"и) — х х==!, ф* «р>=-(хг-цы- о) ° (угнг«о) =х у==О. Найдем выражение для квадрата абсолютной величины комплекс- ного вектора Е„.. Помня об условии ортогональности, получаем (Е,!«==(Ес) (Ес) =(Л1ф»+А»ф~) (А1ф»-~-А»ф«) = =(А,)»+)А»)»=-Е',+Е».
(27) Комплексное выраскгние для среднего по врел~гни потоки энгргии. Скорость счета у детектора фотонов, помещенного в пучок электро- магнитных бегущих волн, пропорциональна среднему по времени потоку энергии в пучке. Более точно: если частота излучения раппа с>, то средняя скорость счета Я для детектора с площадью сечения А и эффективностью фотокатода в будет равна (в единицах фопюны/сек) (23) где средний во времени поток энергии <Я) (в врг/(см'сек)) равен <5) =- — <Е') (29) 36! <Е'> = <(хЕх+ уЕл)*> = <Е.'>+ <Е'> = '/вЕ~ т'/аЕ~ (30) В окончательном выражении (30) множитель '/, появляется в результате усреднения по времени квадрата амплитуды гармонических колебаний (выражение (2!)1.
Сравнивая выражения (27) и (30), мы видим, что, работая с комплексной величиной Е„ реальная часть которой равна электрическому полю Е, мы получим верное выражение для среднего по времени потока энергии, если для среднего по времени квадрата величины Е возьмем половину квадрата абсолютного значения Е,: Е = Ке Е, == реальная часть Е„ (31) < Е'> = '/, ! Е, )', (32) где <Е->=<Е„>+<Е„>, 1Е.) =1Е„,Р+1Е„Р. (33) Различные представления состояния поляризации.
Наиболее общее состояние поляризации может быть представлено суперпозицпей волн, линейно-поляризованных по х и у. Естественно, что существует бесконечное число направлений, которые можно выбрать для х, и, соответственно, существует бесконечное число представлений состояния с линейной поляризацией. Переходя к комплекспыь~ величинам, можно сказать, что существует бесчисленное число полных наборов ортонормированных волновых функций ф, и ф„которые можно использовать для получения суперпозиции, определяющей Е,.
Для примера положим, что единичные векторы е, и е, получаются из первоначальных векторов х и у поворотом х и у на некоторый угол ~р (направление вращения от х к у). Легко показать, что в этом случае справедливы соотношения е, =-хсоз ~р+у з!п ~р, е, = — ха!и ~у+усов р. (34) Полный набор ортонормированных волновых функций, соответствуюгций линейно-поляризованныьь колебаниям по направлениям е, и е„имеет вид ф,.ееть — о ф е" етл - о (36) Легко показать, что ~~, и ф, удовлетворяют условиям ортонормнроваиностп (26). //редставление произвольно поляризованного колебания суперпозийией колебаний, поляризованных по кругу. В общем случае поляризация в гармонической бегущей волне может быть представлена как суперпозиция поляризованных компонент с левой н правой спиральностью, облада|ощих соответствующими амплитудами и начальными фазами.
Например, волна, линейно-поляризованная по х, может быть представлена двумя эквивалентными выражениями: (36) Е = хА соз (йг — М) 362 илн Е = — (х соз [<а( — йг] + у соз '1(в( — п72) — йа)) -)- + — (х соз (<а( — йг) + у соз ((<а(-1- и/2) — йг) ). (37) (<Множители при у имеют одинаковую величину, но их фазы различаются на и; при сложении они дают нуль.) Выражение (38) представляет Е как колебание с амплитудой А, линейно-поляризованное по х. Уравнение (37) представляет Е как суперпозицию компонент, поляризованных по кругу. Их моменты импульса направлены по +х н — г, и амплитуда каждой компоненты равна А/2.
Комплексные выражения, соответствующие выражениям (36) н (37), имеют вид Е, = Ахе«"'-"«, (38) 1 Е = — (хе«"'- о -)-уе< (ы-</и-<"<м<) ) -)- е + — А (хе«а'- о -1- уе< (» -Р «< /м4 ) . (39) 2 Используем равенства е«~1М = соз — '+ < з!и — = <', е-«н/и = соз — — < з1п — = — <, (40) - Л ° Л Я ° ° Я 2 2 ' 2 2 чтобы придать выражению (39) более краткий вид: Е, = — А 1(х+ <у) е«ы-мо1-1 — А 1(х — <у) е< и'-"о).
(41) с Теперь мы можем указать еще один полный набор ортонормированных волновых функций, описывающих состояния круговой поляризации: / / =(".'")е«"--о ф =(,' "~е«"-.о. (42) Ортонормированность этих функций, т. е. равенства р... р,= р р =1, р"„р = р ф,=о, (43) легко доказать. В общем случае состояние поляризации в гармонической бегущей волне можно теперь представить в следующем виде: Е,(г, 1) = — А+ф. +А ф, (44) где А, и А — комплексные постоянные.
Для случая линейной полярйзации (равенство (38)) имеем А =А = —.А. )/ (45) Средняя по времени скорость счета /с фотоумножителя, находя- щегося в пучке бегущих гармонических волн, может быть выраженз Збз через комплексные коэффициенты любого полного набора волновых функций. Таким образом, мы можем выразить (5) не только через линейно-поляризованные колебания по направлениям х и у (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
