Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Как мы только что видели, молекулы вблизи точки наблюдения дают бесконечно малые вклады, находящиеся в фазе с внешним полем (мы пренебрегаем знаком); но другие модекулы в пластинке находятся на большем расстоянии от точки наблюдения. Излучению от этих молекул требуется некоторое время, чтобы подойти к точке наблюдения. (Излучение распространяется со скоростью с.) После интегрирования по бесконечно широкой пластинке (см.
главу 7) результирующий вклад будет сдвинут на — 90' относительно вклада, даваемого молекулами в точке наблюдения, или, что то же самое, относительно внешнего возмущения. Таким образом, мы знаем источник 90-градусного сдвига и понимаем теперь, каким образом мяого волн, каждая из которых распространяется со скоростью с, могут в результате суперпозиции дать результирующую волну, фазовая скорость которой не равна с. Будет ли фазовая скорость больше или меньше с, зависит только от того, находятся вынужденные колебания в фазе или в противофазе с внешним воздействием, а это в свою очередь зависит от того, будет ли частота внешнего воздействия меньше илн больше резонансной частоты. Терминоловия.
Почему мьс говорим об влекосри«соком поле Е и пренебрегаем магнитным В. Мы поступаем так не всегда, но достаточно часто. Частично причина в следующем: когда электромагнитные волны взаимодействуют с частицей, имеюсцей заряд о и скорость ч, на частицу действует лоренцевская сила (том П, п. 5.2) Г = — с)Е + с) — )( В, В случае электромагнитных волн в вакууме Е и В имеют одинаковые значения. Поэтому второй член в выражении для лоренцевской силы меньше первого на множитель ) чсс(.
Если, например, поле создано обыкновенным источником света или даже очень мощным !80 лазером, то напряженности Е н В настолько малы, что максимальная скорость | ч ~, которую может приобрести электрон в установившемся движении, значительно меньше с. Поэтому во многих физических ситуациях можно пренебречь силой, связанной с В.
Возможны случаи, когда влияние поля В будет преобладать. Если поля Е и В созданы не излучением (бегущей волны), а (например) статическими полями независимых зарядов или токов, то В и Е не обязательно будут равны по величине. Например, легко представить себе случай, когда ! Е ( =О, а ! В ~ =-100 кгс. 4.4. Импеданс и поток энергии При изучении мод и стоячих волн мы узнали, что непрерывную среду можно характеризовать двумя параметрами: «возвращающей силой» и «инерцией». Для непрерывной струны возвращающая сила определяется натяжением Т, в равновесном состоянии, а инерция определяется линейной плотностью р,. У передающей .линии соответствующими параметрами являются (С!а) ', т. е.
величина, обратная емкости иа единицу длины, и Ба — индуктивность на единипу длины. Для продольных волн в струне параметр, характеризующий возвращающую силу,— это Ка, а параметр, определяющий инерцию, равен М!а=р,. Для звуковых волн такими параметрами соответственно являются ур, и объемная плотность р,. Во всех случаях моды стоячих волн ведут себя аналогично простому гармоническому осциллятору. (Для таких систем, как связанные маятники или широкополосный фильтр, нам необходим еше один параметр, а именно граничная частота.) Однако для описания бегущих волн рассмотренные параметры не подходят. Бегущие волны переносят энергию и импульс, и фазовые соотношения для бегущих волн отличны от фазовых соотношений для стоячих волн.
Бегущие волны в непрерывной протяженной среде не похожи на больпюй гармонический осциллятор, и такие характеристики гармонического осциллятора, как возвращающая сила н инерция, не годятся для описания бегущих волн. Величиной, которая может характеризовать среду, где распространяются бегущие волны, является фазовая скорость о . Для поперечных волн в струне фазовая скорость равна = 4/гт«, (93) «Р« Эго выражение является своего рода комбинацией параметров Т, и Р», определяющих возвращающую силу и инерцию. Возможна еше одна независимая комбинация этих параметров: г=Р Р,Т„ (94) которая называется характеристическим импедаксом нли просто пмпедансом для поперечных волн в непрерывной струне.
Мы покажем, что импеданс характеризует скорость, с которой энергия 181 распространяется вдоль струны, когда на струну действует внешняя сила. Фазовая скорость и импеданс представляют собой параметры, которые характеризуют бегущие волны в непрерывной среде. П р и м е р 8. Поперечные бегущие волны в непрерывной среде. Рассмотрим непрерывную струну, левый конец которой находится в точке г= — О. Пусть на этот конец струны действует поперечная гармоническая сила (рис. 4.8).
Назовем точку приложения внешней Рис. 4 В. Испусиание ~оперечных бегущих волн. а) !аавновесне1 б) нонфигурацвв в общем случае. силы «выходным зажимом передатчика». Обозначим эту точку буквой ~.,а точку струны, находящуюся в контакте с выходным зажимом, буквои П. В состоянии равновесия (рис. 4.8, а) поперечная составляющая силы отсутствует и единственной силой, действующей на струну, является натяжение Т„направленное по оси г. В общем случае, показанном на рис.
4.8,б, натяжение струны в точке ее соединения с выходным зажимом передатчика равно Т и направлено по касательной к струне в этой точке. Поперечная составляющая силы, с которой струна (ее конец Я) действует на выходной зажим Е, передатчика, равна Рх(Р, й)=Та!пО=(ТсозО) — "" =То18О=Та-~. (95) Этот результат справедлив для идеальной «пружины», когда Т= =Та!СОВ О. В СЛуЧаЕ МаЛЫХ О ОН СПраВЕдЛИВ дпя ЛЮбсй ПружИНЫ.
Характеристический импеданс. Предположим, что передатчик воздействует на открытую среду (струну) и происходит установившийся процесс распространения бегущих волн вдоль направления+ г. В этом случае функция ф(г, 1) имеет вид (96) »Р(г, 1)и Асоз(б)1 — йг). 182 (98) (100) где ьь Для поперечных бегущих волн в непрерывной струне имеем (102) о = ~л — с.я!сек. Т« ь=~' а, (108) Тогда 2 =- — "=)л Т,о, дин сек!ан. (104) вь Мощность на выходе передатчика. Демпфирующая сила вызывает «поглощение» илп «рассеивание» энергии. Это самое важное свойство демпфирующей силы.
Наш пример соответствует случаю, когда энергия поглощается в форме «излучення» с выхода передатчика. Энергии, отдаваемая передатчиком, не рассеивается, в том смысле, что она не переходит в тепло. Эта энергия «распространяется» вдоль струны, которая может доставить ее к приемнику, расположенному на некотором расстоянии.
Излучаемая на выходе пеРедатчика мощность равна произведению поперечной силы, с которой передатчик воздействует на струну в точке г=О, на поперечную скорость струны в этой точке. Имея в виду, что согласно третьему ~акопу Ньютона сила г«(Е, Р) равна взятой с обратным знаком силе Е„(1«, Л), мы можем воспользоваться уравнением (101), !83 дифференцирование дает — "" = й А з! п (ь»1 — пг), (97) дг "т = — ь»А ып(ь»1 — йг) в» Сравнивая выражения (97) и (98) и используя равенство оэ — — ы,%, (99) дг сэ де Подставляя (99) в (95), получим (для бегущих волн) г„(1«„Е) = —— Величина дф/д1 — это поперечная скорость струны в точке соединения струны с выходным зажимом передатчика.
Величина Т,)оэ является константой. Таким образом, когда передатчик излучает б волны, реакция среды (т. е. сила, с которой оиа воздейстегушие вует на вых в ходной зажим передатчика) является делтфиру щ альна нли эатор» лаживающей, силой. Эта сила обратно пропорциок . н . Величина фазовой скорости распространения волн вдоль струны. Вел Т,~оф называется характеристическим ьыиждансол» Я: г„(Я, В) =- — Я вЂ”, (101) изменив в нем знак. Тогда для величины мгновенной выходной мощ- ности (в зрг/сек) мы получим Р (/) =- Р„(1„Р) —, (общий случай), д~) (1 05) Р(/) =(л — ) — =2( — ~ (случай бегущей волны).
д! ) дг (, дг / Первое равенство (105) имеет общий смысл, второе справедливо только для бегущих волн. В формулах (! 05) мы выразили выходную мощность через мгно- венную поперечную скорость струны дф/д( (в точке г=-0). Другой важиой величиной, характеризующей волну, является поперечная сила, определяемая формулой (95) (с обратным знаком).
Мощность на выходе передатчика может быть выражена через эту величину с помощью уравнений (95) и (99): Р(/) =Р,(Е, /с) — = ! — Т,—,~ — (общий случай), = — ! — Т, — 1 (случай бегущей волны). г 'ь дг) Первое уравнение (106) справедливо в общем случае, а второе— только для бегущих волн.
Мощность Р(/) может быть выражена двумя различными, но эквивалентными способами (уравнения (105) и (106)]. Действительно, всегда оказывается, что существуют две величины, представляющие физический интерес прн описании поведения волны. В одних системах мы можем использовать первую из этих величпн, а в других системах вторую. Например, мы обнаружили, что для звуковых воли избыток давления играет роль, аналогичную поперечной возвращающей силе — Т„дф/дг для струны, а продольная скорость воздуха в звуковой волне играет роль, аналогичную поперечной скорости струны дф/дй Для электромагнитного излучения (мы докажем это) роль, аналогичную поперечной скорости струны дф/дг, играет поперечное магнитное поле В„, а поперечное электромагнитное поле Е„ аналогично возвращающей силе — Т, дф/дг струны. Знергия, переносимая бегущей волной. Мощность Р (/), испускаемая передатчиком в точке г=О в виде бегущих волн, равна величине энергии, переносимой волной в направлении +г в едннипу времени мн...о какой-либо точки г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
