Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(См. домашний опыт 4.12.) Почему показатель преломления меняется с частотой2 Вернемся к передающей линии. Фазовая скорость для нее равна 1 У (с)а) (ьт) Прн увеличении С фазовая скорость уменьшается, так как уменьшается возвращающая сила С 'а для данного заряда. Фазовая скорость будет уменьшаться и при увеличении ь'„так как при этом возрастает инерция. Рассмотрим вещества, для которых магнитная проницаемость у=1,0.
(Для стекла р отличается от единицы лишь в пятом знаке после запятой.) Таким образом, нам нужно понять, почему выра- жение (т. е. доквантовой) модели взаимодействия света с веществом, л(ы увидим, что наша модель дает возможность предсказать много замечательных свойств этого явления. Хотя квантовомеханическое описание единственно правильное, классическое описание ему не противоречит, а является его предельным случаем. Предположим, что «молекула стекла» состоит из тяжелого неподвижного ядра, с которым связан заряд д, имеющий относительно малую массу М.
Заряд «прпкреплен» к ядру «пружиной» с коэффициентом жесткости Мг«,'. Движение заряда затухает, и коэффициент затухания равен Г. Уравнение движения заряда д имеет вид Мх = — Мор — МГх+ ЧЕ (1). (?4) Предположим, что внешнее поле Е,(!) гармонически меняется с угловой частотой ы. В этом случае Р(!) и Е(Г) будут изменяться с той же частотой ы и поле, действующее на некоторую «среднюю» молекулу, будет иметь вид Е(!) = Е«совой (76) В этом случае уравнение (74) описывает движение гармонического осциллятора, находящегося под гармоническим внешним воздействием (см. п. 3.2), причемЕ«=-дЕ«.
Для установившихся колебаний решение х(!) имеет вид х (!) — — А„соз «»г'+ А„з!и ыГ, (76) где А„ и А„ — амплитуда дисперсии и амплитуда поглощения. У молекул бесцветного прозрачного вещества (например, стекла пли воды) в видимом диапазоне частот нет резонансов. (Именно поэтому вещество прозрачно и бесцветно.) Для цветного стекла илн какого- нибудь фильтра из вашего оптического набора в видимом диапазоне частот имеются резонансы. Эти резонансы вызывают поглощение энергии на рсзоиансных частотах, определяемое членом А« з)п ып Прп поглощеппц выпадает часть падающего белого света, и остастся только тот свет, который вы видите. Мы не будем рассматривать поведение цветных фильтров на частотах, близких к резонансным частотам поглощения. Поэтому пренебрежем членом А, з!и ы| в уравнении (76).
Из главы 3 нам известно, что вдали от резонанса такое приближение является достаточно хорошим. Общий случай (включая поглощение) рассмотрен в дополнении 9. Коэффициент преломления определяется выражением х (!) Ад п' =- в =- 1 + 4 а?)г) — = 1 + 4п)Уд —" . (77) Предполагая, что мы далеки от резонанса, считаем Г=О в уравнении (74). Имеем (см. уравнение (3.17), п.3.2) г« ! чс« А,=-— л! о4 — »»«и в.»вЂ” а» ' !?г Таким образом, получим (78) Чтобы применить этот результат, полученный для простой модели с одним резонансом, к реальному стеклу, мы должны просуммировать вклады в и' — 1 по всем существенным резонансам.
Поэтому ь»'„, грубо говоря, имеет смысл средней резонансной частоты (см. задачу 3.20), а л1 равно произведению числа молекул стекла в кубическом сантиметре на среднее число учитываемых резонансов для молекулы. Число электронов, которые дают реальный вклад в (78), равно числу электронов на внешней оболочке атома, т.
е. валентных электронов. Для частоты «ь в диапазоне частот видимого света наиболее существенные резонансы в стекле находятся в ультрафиолетовой области, соответствующей длинам волн ) =-с/ч порядка 1000 А (10 ' он) илн меныце. Длины волн видимого света примерно в пять раз больше, а частоты ы видимого света соответственно в пять раз меньше, чем средняя резонансная частота ь»,. В этом случае в соответстьии с уравнением (78) и' — 1 положительно, что согласуется с опытом. Заметим также, что при возрастании ь» (ы всегда остается меньше, чем о»,) знаменатель а,'— «ь» в уравнении (78) уменьшается и и' — 1 возрастает.
Поэтому голубой свет (более высокие частоты) должен иметь больший показатель преломления, чем красный. Зто находится в согласии с опытом: призма отклоняет голубой свет сильнее, чем красный. Фазоаые скорости, большие с. Когда частота ь» внешнего воздействия (представляющего собой свет, т. е. электромагнитное излучение) меньше резонансной частоты ь»„ мы имеем приведенный выше результат. Из него следует, что фазовая скорость меньше с, длина волны меньше длины волны в вакууме и возрастание частоты вызывает увеличение показателя преломления. Такое изменение показателя преломления с частотой называется «нормальной» дисперсией. Если же сместиться в область ультрафиолета, где частота внешнего воздействия больше резонансной частоты, то величина и' — 1, как это видно из (78), станет отрицательной (а' меньше единицы). Если и лежит между нулем и единицей, мы опять имеем нормальную дисперсию. Но в этом случае фазовая скорость больше с, длина волны больше длины волны в вакууме и увеличение частоты приводит к возрастанию показателя преломления (когда частота станет в конце концов очень большой, то п приблизится к единице и среда будет вести себя подобно вакууму).
В частотном диапазоне вблизи резонансной частоты ы,— ')»Г(ы(ьь,+Ч,Г показатель преломления уменьшается с возрастанием ь». Зто область «аномальной» дисперсии. Физическая причина того, что фазовые скорости могут быть больше с, заключается в существующем соотношении между фазой 173 возмущающей силы г)ЕЯ и фазой колебаний х(!) заряда г), на который действует эта сила. Мы знаем, что если частота внешнего воздействия меньше резонансной частоты,то смещение х(!) будет «следоваты за г)Е(!), т. е.
заряд будет колебаться в фазе с внешней силой. При смещении заряда возникает электрическое поле, которое уменьшит внешнее поле. 'Уменьшение внешнего поля приведет к уменьшению возврагцающей силы и соответственно к уменьшению фазовой скорости. После перехода через резонанс (когда вг>вг,) смещение заряда х(!) находится в противофазе с внешней силой ггЕ(!). Поле, образованное смещением заряда, усиливает внешнее поле Е(!), что в свою очередь приводит к увеличению возвращающей силы, и фазовая скорость будет больше скорости света е в вакууме.
Хорошей иллюстрацией сказанного может быть пример с маятником. Если на маятник действует периодическая сила с частотой, меньшей собственной частоты колебаний маятника, то колебания происходят в фазе с этой силой. Если же частота вынуждающей силы больше резонансной частоты, то колебания маятника будут в противсфазе с внешней силой. Можно сказать, что в факте превышения фазовой скоростью скорости с таинственного и непонятного ис больше, чем в том, что гиря маятника движется направо, тогда как внешняя сила направлена налево. Енепоненг)паленые волны — реактивный частотный диаггазан. Если частота внешней силы ы>ы„то в соответствпн с (78) гге(!.
При значениях п' между нулем и единицей мы имеем спнусоидальные волны, т. е. гге — положительное число. Это совершенно справедливо для случая достаточно болыпих н (когда вг>ы„), так как для таких значений вг величина и' лишь незначительно отличается от единицы. Однако в области частот от вг=ег, до вг=вг„плюс несколько !' величина п' отрицательна. Эта область частот определяется неравенством 4пгг'д-' — ь)" -— ы'.
0' (79) Мы долгкны оговорить, что ы' — вг,.")>Гге, (т. е. мы находимся достаточно далеко за резонансом и поэтому можем использовать приближенное выражение для А,). Таким образом, если выполнено условие (79), то из (78) следует, что и' отрицательно, а это означает, что й' также отрицательно. Полученный результат означает, что дифференциальное уравнение волны в пространстве ) = — )г'г)г (е, г), я" > О, (80а) будет иметь вцд = +гг-'ф(е, !), к'> О, (80б) и его решением будут не синусопдальные, а экспоненциальные волны.
С подобным положением мы встречались и раньше в случае Н4 связанных маятников: (Когда дисперсионное соотношение для я» дает отрицательные значения й', мы меняем обозначение й* на — к'.) Мы приведем качественный вывод условий, для которых справедливо уравнение (79), после того, как рассмотрим специальный случай в«=О. Этот специальный случай дает закон дисперсии для ионосферы. П р и ме р 7.
Дисперсия в ионосфере. В п. 2.4 (пример 6) мы дали простую модель плазмы в ионосфере Земли и определили частоту «ор свободных колебаний плазмы. В этой модели мы пренебрегли движением положительных ионов, а также затуханием движения свободных электронов. (В действительности существует затухание, обусловленное столкновениями между электронами и ионами, при которых энергия колебаний переходит в «беспорядочную» тепловую энергию.) Уравнение движения отдельного электрона с зарядом с и массой М имеет вид (83) (86) 175 Мх=уЕ(1), (81) где Е(1) — электрическое поле в месте нахождения электрона. В случае свободных колебаний Е(1) задается величиной поляризации, приходящейся на единицу объема: Е(1) = — 4пР(г) = — 4п)Удх(1), Из (81) и (82) следует уравнение свободных колебаний 4лнд» х=— М х= — ы х. Таким образом, мы повторили (более кратко) вывод уравнения дви- жения для колебаний плазмы при частоте озр.
Теперь предположим, что один «конец» плазмы находится под действием силы, вызванной радио- или телепередатчиком. (Чтобы упростить задачу, предполо- жим, что ее «геометрия» эквивалентна передающей линии из парал- лельных пластин.) В этом случае ЕЯ будет суперпозицией двух величин (по аналогии с (71)): Е (Г) = Š— 4иР (1). (84) Здесь Е„ (иидекс «п> означает передатчик) — поле, которое сущест- вовало бы в отсутствие свободных колебаний, Уравнение движения электрона в плазме аналогично уравнению движения электрона в «молекуле стекла» (уравнение (74)) при условии, что коэффициент упругости К=Мв,' и коэффициент затухания Г равны нулю.
Та- ким образом, свободный электрон имеет «нулевую резонансную частоту», т. е. в,=О. Поэтому значение показателя преломления или дисперсионное соотношение для этого случая можно получить, положив а,=О в уравнении (78): с««» ор — =н»=а=1 — — ' (85) е» ма где «»р' —— 4пуе«1М. умножая обе части уравнения (85) на м», получим уравйенне, которое было выведено в главе 2: «а»=«а«+сЧг», «э» >«о«. и ю Р' Для реактивной области частот имеем экспонеициальные волны: то' = оуе — с'не, оу' ( со'. (87) Нужно, однако, заметить, что наша модель ионосферы не совсем точна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
