Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Сравнивая уравнения (28) н (29), мы можем написать для воздуха в цилиндре выражение, эквивалентное коэффициенту жесткости пружины: К А,(4~ ) Рассмотрим сжатую пружину с коэффициентом жесткости К, находящуюся в равновесии при длине 1, Пусть линейная плотность массы пружины равна рэ(лин.). В этом случае фазовая скорость продольных волн равна 1см. уравнение (27)1 д т о (31) пр !лнн.) Мы найдем с помощью выражения (31) скорость звука, если воспользуемся формулой (ЗО) для Кх.
Объем воздуха в равновесии равен У,=Айм а линейная плотность массы воздуха в цилиндре равна р, (лин.) Е,, = р, (объемн.) АЕ.„„ (32) где р,(объемц.) — объемная плотность массы в состоянии равновесия. Подставляя выражения (30) и (32) в (31) и опуская обозначение (объ- !58 температуры и становится больше, чем предсказываемое законом Бойля — Мариотта, а прн разрежении, наоборот, меньше. Это явление приводит к большему значению возвращающей силы, чем то, которое ожидалось, и поэтому фазовая скорость возрастает.
Вместо закона Бокля — Мариотта (который справедлив для постоянной температуры) нам следует применить аднабатический газовый закон, который дает соотношение между р и )г при отсутствии теплообмена. (Тепло не успевает переместиться из области сжатия в область разрежения, и температура не может выравняться. Прежде чем такой поток возникнет, уже пройдет половина цикла и в области сжатия возникнет разрежение. Таким образом, можно представить себе условно, что областп сжатия н разрежения разделены стенкой, которая не дает теплу перетекать нз данной области в смежные.) Адиабатический закон длл газа имеет внд (40) где у — постоянная, называемая отношением удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме.
Она равна у=1,40 для воздуха при нормальных условиях. Дифференцируя выражение (40) и полагая р'=-Р„получим о Подставляя это выражение в (ЗЗ), получаем правильный результат для скорости звука: о„= 3/ ~~" .= $' 1,40 он,„„„, =- 332 м~аек. (41) г Ро Рассмотрим подробнее, почему тепловой поток не успевает выравнять температуры в смежных областях сжатия и разрежения. Чтобы это выравнивание имело место, необходимо, чтобы тепловой поток проходил расстояние в полдлины волны (от области сжатия к разрежению) за время, меньшее половины периода колебаний (после половины периода области сжатия и разрежения меняются местами). Таким образом, тепло будет течь достаточно быстро при выполнении неравенства (42а) где о„ вЂ” скорость теплового потока.
Известно, однако, что поток тепла возникает главным образом потому, что молекулы передают друг другу кинетическую энергию поступательного движения посредством столкновений. Для молекулы воздуха с массой а4 при абсолютной температуре воздуха Т среднеквадратичное значение тепловой скорости (скорость поступательного движения, обусловленная тепловой энергией) в направлении г равно (42б) пср. кв ~ору г я ' 1бв Здесь й — постоянная Больцмана. Скорость звука также можно выразить через Т и М: (42в) Таким образом, с точностью до )У у скорость звука равна среднеквадратичной тепловой скорости молекул в направлении г. Если бы молекулы двигались по прямым, смещаясь на расстояния порядка М2 до столкновения, то они «как раз успевали быя переносить тепло. Молекулы в среднем не удовлетворяют условию (42а), но для некоторых очень быстрых молекул оно будет справедливо.
Таким образом, за один полупериод могло бы быть передано заметное количество тепла. В действительности молекулы не смещаются по прямой на расстояние порядка ).!2. Они совершают хаотическое движение, которое имеет случайный характер. При нормальных условиях молекулы воздуха между двумя столкновениями проходят расстояния порядка !О ' см.
Поэтому для всех длин волн больпшх, чем 10 ' см, аднабатический закон является очень хорошим приближением. (Самая короткая длина еще ощутимой нашим ухом звуковой волны соответствует частоте рж20000 гц, т. е. д=Ытж3,32 10*,'(2 10')= =1,6 см,) П р и м е р 3. Элекпгромагнитные волны в ионосфере Зелти и фазовые скорости, превышающие скорость света с. Дисперспоипое соотношение для электромагнитных волн в ионосфере имеет (приближенно) следующий вид: «Р — с«р сп сава (43) где с — скорость света, а ««р — — 2пур — круговая частота колебаний плазмы.
Для частот ю, больших граничной частоты ««р, ионосфера— днсперсивная среда и электромагнитные волны синусондальны. Это типичные частоты телевидения или частотно-модулированных волн (ЧМ), близкие к 100 Мг«). Фазовая скорость бегущей волны при частоте «« равна (44) Очевидно, что эта скорость больше скорости света в вакууме с (и скорости всех других электромагнитных волн, включая волны телевидения).
Действительно, фазовая скорость оказывается больше с, но это не противоречит теории относительности. Напо«1ним, что фазовая скорость о определяет разность фаз между установившимися гармоническими колебаниями движущегося элемента (электрона в ионосфере) в положении г, и другого движущегося элемента в положении г,.
При установившемся гармоническом колебании нельзя утверждать, что колебание в г, является <результатомь колебания в г„. Вся система находится в установившемся состоянии, и переходные процессы в ней давно окончились. В главе 6 мы увидим, что модулированные колебания, примером которых могут служить Ф. Крауфорд 161 модулированные по амплитуде электромагнитные волны, ае распространяюьюя с фазовой скоростью.
Скорость их распространения называется групповой скоростью. Групповая скорость всегда меньше скорости с света в вакууме. Г)опробуем понять, как возникает фазовая скорость, ббльшая с. Источник наших «трудностей» заключен в постоянном слагаемом ее', входящем в дисперсионное соотношение.
При еэ', равном нулю, фазовая скорость была бы равна с. Константа ыр равна возвращающей силе, действующей на один электрон и отйесенной к единице массы и единице смещения. Эта постоянная определяет частоту свободных колебаний электронов плазмы: юе —— — . 4пуее Р М (45) В системе связанных маятников величине еэ,', соответствует вклад в возвращающую силу, возникающий от силы тяжести. Дисперсионное соотношение для системы связанных маятников имеет вид (в приближении длинных волн) "'= 1+ Л4 '*. д Кае (4б) Это выражение аналогично дисперсионному соотношению для ионосферы (формула (43)!.
Предположим, чтомы перерезали пружины, соединяющие расположенные в ряд маятники. Это означает, что К=О. [Заметим, что мы не можем с такой же легкостью сделать с=О в уравнении (43). Поэтому система связанных маятников для наших рассуждений более удобна.] Тогда фазовая скорость для системы маятников будет равна нй ~Ъ= ле й (47) Выбрав (й' достаточно малым, мы можем сделать выражение (47) большим скорости света в вакууме! Это возможно, если в системе отсутствуют связи между маятниками, а вся система представляет собой группу маятников, устроенную таким образом, что все они колеблются с одинаковой амплитудой, а сдвиг фазы между данным маятником и следующим все время возрастает, так что длина волны (расстояние, на котором фазовая постоянная возрастает на 2п) оказывается больше, чем произведение с на период маятника.
В этом случае фазовая скорость превышает с! Итак, фазовая скорость может быть больше с. Очевидно, что изменить амплитуду движения какого-либо маятника с такой безумной скоростью невозможно. Связав маятники друг с другом, мы можем изменить характер движения какого-либо дальнего маятника, воздействуя на ближний маятник группы. При этом обнаружим, что скорость, с которой передается создаваемая нами модуляция, меньше фазовой скорости. Скорость перемещения модуляции называется групповой скоростью, и она меньше с. 162 П р и м е р 4.
Лередающая линия — фильтр низких часпют. Исследуемая нами система показана на рис. 4.3. Внешнее воздействие в виде синусоидально изменяющегося напряжения приложено ко входному концу системы (г=О). Активным сопротивлением линии мы пренебрегаем. В п. 2.4 было найдено, что уравнение движения такой системы совпадает с уравнением движения для продольных колебаний системы из масс и пружин, если заменить К на С туп Х Рис. 4.3.
Передающая ливня возбуждается в точке а=-О н простирается до бесконечности. и М на еуа. Было показано, что в дисперсивном диапазоне частот (полоса пропускания системы), простирающемся от нуля до оз, =- 2)у С з)Е, закон дисперсии имеет вид 4С-' ., ! оуа = — з!пи — яа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
