Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 37
Текст из файла (страница 37)
3.11. Докажите, что точки половинной мощности для резонансной кривой в установившемся режиме определяются выражениями (25) и (26). 143 1 .!д— д х»+1 — х Ад —— где х=(ы — ыь)/»/»Г. 3.20. Предположим, что имеем систему с двумя резонансами (на частотах ы, и ы»), которые дают одннаконый вклад в амплитуду дисперсии некоторого дви. жущегося элемента. Для частоты ы, далекой как от ым так и ат ы„имеем ! 1 о»,— ы' ы,— ь»' Покажите, что если ы отличается от ы, и ы, на величину значительно большую, чем нх разность ы» — ы,, то Ад (в хорошем цриближении) в два раза больше любого из слагаемых, Иными словами, покажите, чта ср ы, = — (ы»+ ы»), в =— 1»» 1 ( ы» ь»» ) <Р 2 2 ыз,о» ' <р 3.21. Рассмотрим дисперсионнае соотношение для связанных маятников (уравнения (98), (103) и (106)).
Положим, что а/)с((1 и а/6((1, В этом случае !44 3.!2. Механический фильтр (см. и. 3.4). Весьма чувствительный прибор находится на полу, совершающем вертикальные колебания с частотой около 20 еч. Вы хотите ослабить эти колебания в 100 раз в поэта»~у нладете прибор на <подушку». Как низко опустится вершина «подушкн», когда вы положите на нее прибор! (У к а з а н и е. См. пример, следующий за уравнением (58), п.
3.4. «Подушку» можно аппроксимировать идеальной, т. е. подчиняющейся закону Гука, пружиной.) Ответ. Около 6 си. 3. !3. Покажите, что уравнение (31) лает точное решение уравнения (14) для осциллятора, находящесося под внешним воздействием (в установившемся режиме), когда коэффициент затухания Г равен нулю. 3.!4. Покажите, что если маятники (рнс, 3.10) соединены с помощью <пружин», то они имеют такке же уравнения движения для поцеречнык колебаний в горизонтальной плосяссти, как и для показанного на рисунке продольного двн. ження.
3. !о. Нарнсуйте свстему пндунтзнностей и емкостей, которая описывалась бы уравнегщя»~и движения, аналогичными уравнению (62), н выведите уравнения движения. 3.!6. Опыт. Механический лолосозой фильтр. Имея лишь два связанных маятника, ненозмажно наблюдать зкспонеипнальный характер фильтрации, так как через две точки может проходить л»абая кривая. Поместите между двумя маятиикамн третий, чтобы получилась система, наказанная на рис. 3.6 или 3.7. С помощью вращающегося диска проигрывателя воздействуйте на систему с частотой, большей и меиывей шстоты среза. Изчерьте отношения»(»«/ф» н ф</ф< Равны лн онир Должны лн ани быть равны? 3. !7. Предпо»гож»и, что у ионосферы существует резкая граница, где граничная частота тр скачком возрастает от 0 до 20 Мги.
Найдите глубину проникновения 6 для амплитуды радиоволн с частотой 1000 кгц. О т в е т. Около 2,5 м независимо от частоты, пока со((ыр. 3. !8. Напишите закон дисперсии для системы связанных индуктнвпостей и емкостей, используя в качестве аналога систему связанных маятников. Нас интересует закон дисперсии в полосе пропускания и в окрестности обеих граничных частот. 3.19. Покажите, что если мы попок»дуем приближение слабого затухания и находимся достаточно близко от резонанса, то амплитуда поглощении и амплитуда дисперсии могут быть записаны (при соответству!ошем выборе единиц) в следующем виде: непрерывное приближение будет достаточно хорошим.
(Почему>) Разложите дисперсионное соотношение в ряд Тейлора и оставьте первый член разложения. Сравннте результат с тем, который был получен для непрерывного приближения, п. 3.5, 3.22. Эесконе«нме переходные биения (с»|. п. 3.2). Покажите, что переходные налебания осциллятора с нулевым затуханием имеют вид <амплитудно-»|одулированных почти гармонических колебаний», т. е. подтвердите уравнение (43). Покажите, что в случае нулевого затухания и совпадения частоты вынуждающей снлы с резонансной частотой мадулнрованная амплитуда линейно растет со временем [уравнение (45)). 3.23.
Опыт. Экспоненяивльное проникновение волн в реактивную аблашпь. Соберите систему из маятников и «пружин», показанную на рнс. 3.!2. Воздействуйте на один конец системы с помощью вращающегося праигрывзтеля. Выберите длины маям|иков так, чтобы частота 78 об|мин была болыпе всрхнеи граничной частоты, частота 45 вб,'лшн лежала бы в полосе пропускапия, а частота 33 обД>ин (и !6 об|мин) была меньше нижней граничной частоты. Если вы придумаете быстрый и легквй способ одновременно менять длину всех маятников, то сможете непрерывна изменять ы» ь(а тем са»ым н все резонансные частоты), сохраняя частоту внешнего воздействия постоянной, и искать резонансы. 3.24.
7]ерехобные биенш|. Получите уравнение (46], которое определяет зависимость от времени энергии, запасенной асцнллятором, находящимся под внешним воздействием. В мамонт с=- 0 энергия равна нулю, Считайте, что затухание мало. Пусть чзстота внешнего воздействия блязка (но не точно раааа) к юс. Там, где это возможно, положите ы]«в>=- !. (Например, в выражении типа совы(— — соз ыг! нельзя положить ы=ь м поскольку, какой бы малой ни была разница между' ю и ы>, она в конечном счете приведет к большим эффектам, т.
е. к большим сдвигам фазы,) 3.25. Покажите, что решение для осциллятора с большем| затуханием [уравнение (9), п. 3.2) следует из решения (7) и формулы (8). (У к а з а н я е. Докажите тождества соз б«=ей х, з!и !х=(зй х; воспользуйтесь имн.) 3.2в. Критическое затухание. Исходя из решения для свободных колебаний с затуханием [уравнение (7)], покажите, что для крятичесиого затухания решение имеет вид х (г) = — е ~«~~ [ х| (О) + х| (О)+ — 1'х| (0)~( ~ .
2 Покажите, что тзкой >ке результат получится, если исходить из решения для асциллятора с большим затухаяием [уравнение (9)]. 3.27. Опыт. Ширина резонанса аля кар|познай врубки. Т1рочитайте абзацы, следующие за формулой (28). Для самой низкой нормальной моды колебаний звуковых волн в трубке, открытой с обоих концов, длина трубки практически равна половине длвны волны. (В действительности, благодаря краевым эффектам, длина трубки меньше половины длины волны приблизительно на один диаметр трубки.) Скорость звука около 330 м(сек.
Если вы работаете с камертоном С523, то громче всего будет резонировать трубка, длина которой близка к 32 см. а) Проверьте это утверждение. Резонансная частота т« для трубки с длиной Е равна ь>» ь= ! ( ] =2п, где ьвж32 с>к (ьь не равно точно 32 сл| в связи со сказанным выше). б) Проверьте эту формулу. Теперь нарежьте 5 или 6 трубок са значениями ь, специально выбранными так, чтобы «покрыты резонансный пик и две точки половинной мощности с каждой стороны пика. Следует считать, что интенсивность звука 7 будет иметь «резонансную форму» (|7»Г]з (ю — ы)з+ (|,|,Г)з Здесь величина 7 нормирована так, чтобы 7=.1,0, при ы=ыь.
В наше»| опыте частота внешнего воздействия |в определяется частотой камертона я поэтому 145 постоянна. Резонансная частота изменяется с изменением длины трубки. Вы должны найти длину трубки Е,, отвечающую резонансу (легче всего это сделать на слух, ударяя по трубке и сравнивая слышимый звук со звуком камертона), После этого следует найти две длины трубок, соответствующие точкам половинной мощности.
Таким образом вы сможете оценить ширину резонанса, т. е. величину Г, а следовательно, и время затухания колебаний. Основная трудность в этом опыте — придумать способ, с помощью ноторого можно оценить двукратное уменьшение интенсивности звука. 3.28. 2(ва евязанньс«маятника как механический паласовой фильтр, Рассмотрите систему, показанную на рис.
З.З и описанную в п. 3.3. Пренебрегая затуханием, покажите, что фв =, ~~ сов ь1 з з+ (ь; — ьз ье — ье ) ьз — «в, 2 »Ри ь.. — - ь» — 2ье где ь, и ь» — соответственно меньшая н большая частота двух мод, а ь — частота внешнего воздействия. 3.29. Электрический паласовой фильтр.
Рассмотрите фильтр, показанный на рис. 3.8. Найдвте дифференциальные уравнения для 1 и 1». Покажите, что нормальные координаты равны 1„ч-1ь и 1,— 1ь и что моды колебаний определяются уравнениями (59). 3.30. Овязаннь«е маятники. Расслютрнм линейную последовательность связанных маятников, на которые в точке г=О действует вынуждающая периоди~еская сила, Ее частота меньше граничной частоты.
В точке г=Е система прикреплена к твердой стене, как показано на рнс. 3.11. Покажите, что если в г=О «) (г,г) равно А, сов ьг, то»р (г,()=л (г) соз ь), где (е»» — е Ее- й-«Ч Л (г) ==А» Обратите внимание нз то, что для Š— »«о это выражение просто равно Апе-", 3.31. Резонанс в еие«пел«е связанны маятников. Про ~тите рассуждения, сле- дующие за уравнением (90).
Найдите резонансные значения соз след)ющвм об- разом. а) Покажите, что прн резонансе имеет место равенство йс128Е= — к, нз которого следует, что резонансные значения О=— йЕ должны лежать во П квад. ранте (90 — 18!О'), !Ч квадранте (270 —:360«), У1, у! П и т. п. квадрантах.
б) Будем измерять возвращающую силу, првходящуюся на единицу смеще- ния и на единицу массы (т. е, ье), в единицах Ка»1МЕ». Обозначилг а11,=.«о,*, 811«=-ь». Покажите, что резонансвые значения ор можно получить, построив график двух функций ~г ь"" ' Оа з — ь» Оз с(ьа 0 относительно 8. Резонансы определяются пояовиной точек пересечения двух кривых. Почему только половиной? (3 а м е ч а н и е. Обратите внимание на то„ что ьз, ь»з и ь» безразмерны в приведенных выше выражениях, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
