Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Оно бесконечно (имеется в виду, что ф»=-О) для ы»=-','»ы'„равно — 1 для верхней граничной частоты и становится очень малым (и отрицательным) на очень больших частотах. Рассмотрим применение равенства (58). Предположим, что мы имеем очень тонкую и чувствительную аппаратуру, которая не может работать при горизонтальных вибрациях, но вертикальные вибрации допускаются. Установим нашу аппаратуру на плоской подставке, которая в свою очередь помещается на ровном горизонтальном столе без трения. Предположим, что стены, пол и потолок вибрируют с частотой 20 гй и более. Предположим также, что если подставка с прибором жестко прикреплена к стенам, то амплитуда колебаний будет в 100 раз больше допустимой. Пусть вес прибора и подставка 10 кг.

Как нам быть? Прикрепим подставку с прибором к стене через низкочастотный фильтр, состоящий из двух пружин, оси которых совпадают с осями х и у. Положим, что каждая пружина имеет коэффициент жесткости К (его величину нужно будет определить). Движения по направлениям х и у независимы, так что можно рассматривать движение только по х. Будем считать, что стена в точке соединения с пружиной представляет собой движущийся элемент а, а прибор — это движущийся элемент 6. Теперь, применяя к нашему случаю уравнение (58), будем считать„что мы имеем две массы, связанные пружиной, причем на массу п действует сила л„сов ый Мы хотим, чтобы отногпение ф«,'ф, было меньше 10 ' для частот 20 гй н выше: — = 1 — — =- — 100, Ф» ф«К/М т. е.

К и»,ГК О Ъ м !ю! >и м го' Для неподвижной стены собственная угловая частота колебаний прибора и подставки равна к К?М. Мы видим, что если нужно ослабить частоты от частоты ч и выше в 10 '=1 раз, то коэффициент жесткости К пружины должен быть достаточно мал„чтобы собст- венная частота колебаний прибора была меньше )чзч. В нашем примере собственная частота должна быть меньше 20г'1О= — 2 гь(. Другой пример. Предположим, что вам неудобно сидеть на полу, который вибрирует с частотой 20 гс( (это может быть пол самолета или что-нибудь в этом роде), поэтому вы сидите на «подушкев.

Подушка уменьшает вертикальную вибрацию в 100 раз (те- Х Х перь вам удобно). Как сильно 7 ~ с ( ) С,' ( уь за а мт *и ( -г~г (Задача 3.12.) И П р и м е р 6. Электрический- широкополосный фильтр. Рассл«отрим электрический аналог механнчЕской СИСТЕМЫ ИЗ дВуХ СВяЗаН- пззе'я поп лспствием разности потенных маятников, показанной на Эта свези является злектрипескпм знзрис.

З.З. Каждая масса М заме- лотом двух связзнп.~х маятников)сап няется индуктивностью В. Связывающие пружины с коэффициентом жесткости К заменяем емкостями с величиной обратной емкости С '. Возвращающая сила, происходящая от силы тяжести, зависит от величины смещения маятника и не зависит от его соединения с другим маятником. Аналогично этому мы хотим создать э.

д. с. на каждой индуктивности независимо от ее связи с другими индуктивностями. Это можно сделать, разделив индуктивность на две части и включив емкость С„между ними, Пренебрежем активным сопротивлением )с индуктивностей (это сопротивление проволов, нз которых сделаны индуктивности). Все другие сопротивления пренебрежимо малы.

Полученная нами система показана на рнс. 3.8. Представляем читателю найти уравнение движения н определить нормальные координаты и моды (задача 3.29). Приводим конечный результат, написанный по аналогии со связанными маятниками: С со =- —; в е Е ~п ~Ь мода 1: мода 2: (59) в Сев 2С вЂ”" ьу' = — "+— Е Е ~а ть гь ) г'ЕС (60) гн вт,'+ птв 2птз В)ЕСе)+((/ЕС) — отз П р и м е р 7. Электрический фильтр низких частот.

Если замкнуть конденсатор С, на рис. 3.8, то можно считать, что его емкость бесконечно велика. Частота колебаний для самой низкой 127 Уменьшение амплитуды при прохождении через фильтр (в пред- положении, что иет затухания: мы пренебрегаем сопротивлением катушек) определяется выражением (56): моды стала при этом равной нулю, что соответствует установившемуся постоянному току. В этом случае мы получаем низкочастотный фильтр, изображенный на рис.

3.9. Отношение Уь/1« следует из выражения (60), если принять, что л ' 1?С, равно нулю: !!и „р 2...9 (!,ЬС) — ьт ' Рис. Эив Эле«тричес«ил фильтр иил «их ч«стет. ! / 2 ! / 2 ч'= 2п У !.с =8,28 Г !о 8 ю- =29 1 гЦ !28 П р и м е р 8. Фильтр низких частот для выпрямителя. Рассмотрим практическое применение выражения (61). Мы хотим сделать источник постоянного тока. Розетка на стене является источником переменного напряжения, среднеквадратичное значение которого равно 110 в, а частота 50 гц. Это напряжение подается на входную обмотку трансформатора. Выходная его обмотка может иметь больше витков, чем входная (повышающий трансформатор), или меныпе витков (понижающий трансформатор) в зависимости от того, какую величину постоянного напряжения мы хотим получить.

Выходная обмотка соединяется с диодом, который пропускает ток только в одном направлении. В этом случае мы имеем однополуперподный выпрямитель. На практике чаще используют двухполупериодное выпрямление, когда выходные концы подаются на два диода, соединенные так, что одну половину синусоиды пропускает один диод, а вторую — другой. Ток будет заряжать конденсатор, который можно рассматривать как источник постоянного напряжения. Однако заряд на емкости (и соответственно напряжение) не будет строго постоянным.

С хорошим приближением можно считать, что заряд имеет постоянную составляющую, на которую наложены небольшие пульсации с частотой 100 гц (для случая двухполупериодного выпрямления). (В оп рос. Почему частота пульсаций в два раза больше частоты переменного напряжения сети?) Еслп заряженный конденсатор используется как источник постоянного напряжения для питания ламп радиоприемника илн проигрывателя, то на выходе этих устройств мы услышим неприятное жужжание.

(Оно хорошо слышно после включения радиоприемника, пока лампы не успелп прогреться. Конечно,' приемник, который питается от батареи, не будет жужжать на частоте 100 гц. Электрические часы или лампа дневного света имеют индуктивность, и вы можете слышать жужжание нз-за механических напряжений в витках.) Чтобы избавиться от жужжания на частоте 100 гц, подсоединим выходную емкость выпрямителя к индуктивности низкочастотного фильтра (рис, 3.9) и будем считать источником постоянного напряжения выход фильтра.

Типичные значения Е н С для обычного фильтра (см. любой справочник радиолюбителя) равны В= 10 гн и С=б мкф. Тогда верхняя граничная частота равна Уменьшение амплитуды для составляющей, имеющей частоту 100 гц получим из формулы (61): /ь ~» (29,)) 4 )а»»« — 2»» (29,))» — 2 (100)« Таким образом, пульсирующая компонента уменьшается в 25 раз. Постоянная составляющая фильтром не искажается, 3.5. Вынужденные колебания замкнутых систем со многими степенями свободы В этом пункте мы рассмотрим установившееся движение системы из связанных маятников под действием внешней силы произвольной частоты ы. Вначале мы не будем обращать внимания ни на граничные условия, ни ца способы связи движущихся элементов с внешними силами. (Последние можно включить в граничные условия.) Нас будет интересовать уравнение движения гири маятника, к которой непосредственно внешняя сила не приложена, и мы найдем общее решение для движения маятника с неопределенными граничными условиями.

Конечно, в любом частном случае необходимо полностью определить граничные условия. Пренебрегаем затуханием. Пренебрежем в уравнениях движения членами, относящимися к затуханию. Ограничит ли это общность наших результатов? В общем, да, но не очень сильно. Вспомним результат п. 3.3, где мы нашли, что когда частота м не попадает в полосу любого из резонансов (т. е. частота ы далека от частоты любой из мод свободных колебаний), то смещение движущегося элемента представляет собой суперпозицию вкладов амплитуд дисперсии от каждой моды.

Амплитудами поглощения можно пренебречь, так как они уменьшаются с частотой значительно быстрее амплитуд дисперсии. Как только ь» отклонится от резонансного значения на 5 — 1О резонансных ширин, мы можем пренебречь амплитудами поглощения. Это равносильно приравниванию коэффициента затухания Г нулю в результате. Будем считать, что Г=О, но тем не менее существует некоторое трение, достаточное для образования установившихся колебаний, происходящих с частотой ы внешней силы. Действительно, без затухания система никогда не войдет в установившийся режим и будет совершать «бесконечные биения».

Итак, предположим, что некоторое затухание существует„ но будем рассматривать поведение системы вдали от резонанса. (Из п. 3.3 нам известно, как ведет себя система в области резонанса.) Относительные фазы движущихся элемено1ов. Важным следствием пренебрежения амплитудой поглощения является то, что вклад каждой моды (в смещение данного элемента) находится в фазе либо в противофазе с внешней силой Р, соз (ь»г+Ч,). Действительно, в п. 3,3 было показано, что амплитуда дисперсии представляет собой константу (положительную или отрицательную), которая умножается на соз (ы(+«р,). К этому же результату можно прийти 5 а.

Характеристики

Список файлов книги