Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Действительно, мгновенная мощность Р (Г) равна произведению силы Р, соз ш( на скорость х (1). Мгновенная скорость х (1) имеет две составляющие: одна — в фазе с внешней силой, другая сдвинута на 90'. Вклад в среднее значение мощности Р дает та составляющая скорости, которая находится в фазе с силой. Эта составляющая возникает от смещения Ао сбп шг, не находяшегося в фазе с внешней силой. Все сказанное можно записать в виде следующих формул: Г(1) =Р, сон шг, хг (1) =- А„з!и ш1-!- А, соз шг, х,(1) л мА„созш( — огАаз!поз). Мгновенное значение модности равно (в установившемся процессе) Р(1)=Р(г)хг(1)=Еосозшг !шАосозсо1 — огЛаз!пш)).
(18) Обозначая среднее по времени за один цикл скобками < >, имеем Р =- РошА„<созе со1> — Ро шАа <соз шГ з!и ш1>. Но и г <соз'ог1>== —. ~ соз'ыгй(= —, 2 ' гг если Т вЂ” период колебаний. Аналогично <соз соу з!и ш7> = — — <з!и 2ш7>,= О. 1 2 (20) Таким образом, для среднего за период значения поглощаемой мощности в установившемся режиме имеем Ро ш (21) *) й)ы в дальнейшем будем нрндержнваться этого названия: Ад — амнлнтуда днснерснн. (Прим. рв).) !07 Уравнение (21) показывает, что в установившемся режиме среднее за период значение поглощаемой мощности пропорционально амплитуде А„той части полного смещения х,(1), которая сдвинута на 90' относительно внешней силы. Этот результат не зависит от выбора фазы возмущающей силы, т. е. от того, положили ли мы силу пропорциональной созорГ или соз (ор1+ор).
В установившемся режиме среднее значение поглощаемой мощности равно среднему значению мощности, рассеиваемой из-за трения. Мгновенное значение силы трения равно — МГх (г). Мгновенное значение рассеиваемой мощности равно произведению силы трения на скорость. Нетрудно показать (сделайте это), что средняя мощность, расходуемая на трение, ранна Р,р -— — МГ <х,'> =.
— МГорр (Ар+ Ар), 1 (22) а это выражение равно среднему значению поглощаемой мощности Р, определяемой уравнением (21). (См. задачу. 3.6.) В установившемся режиме энергия, запасенная осциллятором, не является совершенно постоянной, так как мгновенное значение поглощаемой мощности Р (1)х, ((), определяемое уравнением (18), не равно мгновенному значению мощности МГх, (Г), рассеиваемой из-за трения. Только при усреднении по целому циклу поглощенная и рассеянная мощности равны. Нас интересует средняя величина запасенной энергии.
Легко показать, что для установившихся колебаний средняя величина запасенной энергии, илн просто средняя по времени энергия колебаний, равна Е = р М <х,'> + р™' ,<х,'> == 2 М (ро'-г ~',) ( р А„'+ р А„". ). (23) (См. задачу 3.10.) Заметим, что член с соР определяет среднее значение кинетической энергии, а член с рор — среднее значение потенциальной энергии. Обе энергии равны только в случае ро=-ро, (напомним, что для свободных колебаний с малым затуханием средняя кинетическая и средняя потенциальная энергии равны).
Качественно это можно объяснить следующим образом. Если ор велико по сравнению с ор„то скорость массы М изменит знак до того, как эта масса успеет сместиться на большое расстояние и соответственно запасти большую потенциальную энергию. С другой стороны, если ор мало по сравнению с ор„скорость никогда не будет очень большой, и в этом случае среднее значение потенциальной энергии преобладает, Заметим, что при ор=-ор, запасенная энергия Е [уравнение (23) ) равна произведению рассеиваемой в установившемся режиме мощности на постоянную времени свободных колебаний т.
Качественно это легко понять: если убрать внешнюю силу, то из-за трения энергия колебаний будет экспоненциально убывать с постоянной времени т (см. уравнение (10)!. Когда же к осциллятору приложена внешняя сила, частота которой равна собственной частоте колебаний осциллятора ор„ то амплитуда колебаний будет расти до 108 (26) (~ш)»ез (27) Мы знаем (см.
уравнение (4) ), что затухание свободных колебаний характеризуется постоянной времени т, равной 1!Г. Таким образом, мы пришли к очень важному соотношению между шириной резонансной кривой вынужденных колебаний и постоянной времени затухания свободньи колебаний: (~~со)»ез таз»6 (28) *) Иногда для краткости будем называть эту величину «ширине» резонансе». !09 наступления установившегося режима, когда мощность, отдаваемая оспиллятору, становится равной потерям мощности из-за трения.
Так как ббльшая часть энергии рассеивается из-за силы трения за время т, томожносчитать, что энергия, запасенная осциллятором в установившемся режиме, равна энергии, отдаваемой внешней силой за время т. Таким образом, мы ожидаем, что в установившемся режиме запасенная энергия будет примерно равна входной мощности, умноженной на время т, что в свою очередьравномощности сил трения, умноженной на т. (Если частота ш не равна о!а, то соотношение между входной мощностью и запасенной энергиеи будет более сложным.) Резонанс.
Будем теперь наблюдать за изменением отклика осциллятора на медленное изменение частоты приложенной силы Пусть частота меняется так медленно, что в течение интервала вре мени, равного т, ее можно считать постоянной, и, таким образом, для каждого значения частоты осуществляется установившийся режим.
Усредненное по времени значение входной мощности Р равно (см. уравнения (21) и (16) ) Р ==. Р, (24) ( гааз аз») з -1- Гзшз где Р, — значение Р при резонансе, т.е. когда ш=ш,. Максимального значения Р достигает при резонансе. Введем понятие о «точках половинной мощности». Это те значения частоты ш, для которых Р равно половине максимального значения Р,. Покажите, что этп точки определяются выражением (см. задачу 3,11) ш» =- оз, '+. Го», (25) что эквивалентно равенству ! 1 ш = ~~+ — Г х- — Г. а 4 — 2 [Заметим, что уравнение (25) представляет собой два различных квадратных уравнения относительно ш. Каждое из них имеет одно положительное и одно отрицательное решение. Оба положительных решения даны формулой (26).! Интервал частот между двумя точками половинной мощности называется «шириной» резонансной кривой *) и обозначается (Лсо) „.
В соответствии с уравнением (26) имеем т. е. ширина резонансной кривой вынужденных колебаний равна обратной величине постоянной времени затухания свободных колебаний. Это очень общий результат. Позже мы увидим, что он справедлив и для систем со многими степенямн свободы. В этих случаях резонансы возникают на частотах, соответствующих нормальным модам свободных колебаний без затухания, так же как и для одномерного осциллятора. [Резонансная частота ы, равна частоте свободных колебаний ы, только в случае, когда постоянная затухания Г равна нулю. При затухающих свободных колебаниях частота смещается от ы, к ы„из-за наличия члена ехр( — '/»Г(). Для вынужденных колебаний амплитуда постоянна и резонансной частотой является частота свободных колебаний при отсутствии трения.[ В случае нескольких степеней свободы ширина резонанса и постоянная времени свободных колебаний для каждой моды удовлетворяют уравнению (28), если сами резонансы достаточно удалены друг от друга по частоте и нс перекрываются.
Уравнение (28) имеет большое практическое значение. Часто экспериментально гораздо легче изучить поведение системы вблизи резонанса, чем наблюдать время затухания. В этом случае, определив Лы, по уравнению (28) легко найти т. П р и м е р 1. Время затухания для картонной трубки. Попытаемся применить уравнение (28) к системе со многими степенямп свободы, Возьмем картонную трубку, внезапно возбудим ее ударом и предоставим колебаниям свободно затухать. Удар возбудит главным образом самую низкую моду, для которой длина трубки равна половине длины волны. Система начнет колебаться.
С концов трубки происходит испускание звуковой энергии, кроме того, некоторое ее количество теряется нз-за лтрения» воздуха о стенки трубки (т. е. звуковая энергия переходит в тепло). Таким образом, мы имеем затухающие колебания. Спрашивается, какова постоянная времени затухания этих колебаний? Ваше ухо легко различит преобладающую частоту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
