Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Включив д', мы прибавим к уже имевшемуся значению сов одну и лту вке величину д'Л.Поэтому мода колебаний сохранится, но произойдет увеличение етв. Включая д постепенно, мы предотвратим перемешивание мод и сохраним их форму. Длина волн также не изменится по сравнению со случаем д=О, а полная возвращающая сила на единицу массы и единицу смещения будет равна со связанными маятниками. В главе 4 мы выведем дисперсионное соотношение для электромагнитных волн в ионосфере Земли, которое имеет вид, аналогичный выражению (92): ый (й) .= мр2 + С2А2 (93) где с — скорость света, а ы — так называемая частота колебаний плазмы, определяемая из равенства 4пЛ'еа (94) Здесь У вЂ” плотность числа электронов (в электронах на с,я'), е— заряд, а т — масса электрона.
Из рис. 2.18 следует, что самая низкая мода для системы, описываемой равенствами (91) или (92),— это мода с А — --О, т. е. с длиной волны, равной бесконечности. В этом случае все маятники будут колебаться с частотой а'=дД и одинаковой амплитудой н фазой. В настоящем примере самая низкая мода соответствует колебаниям плазмы с частотой ыр, что видно из уравнения (93), если положить А=О, Мы рассмотрим эту моду и выведем уравнение (94). Нейтральная плазма состоит из нейтральных и ионизованных молекул газа.
При однократной ионизацни молекулы образуется положительный ион и свободный электрон. Земная ионосфера представляет собой слой воздуха (в действительности несколько слоев с различными свойствами), в котором находится много ионизованных молекул (молекулы азота Н„.и кислорода 0,).Молекулы воздуха обычно ноиизуются прн поглощении ультрафиолетового излучения Солнца.
В земной атмосфере плотность ионов й электронов имеет максимум на расстояниях около 200 —:400 км от земной поверхности. В более высоких слоях атмосферы плотность электронов (и ионов) уменьшается из-за уменьшения числа молекул воздуха. В низких слоях атмосферы плотность электронов мала из-за того, что ультрафиолетовое излучение сюда не доходит.
Так как плазма нейтральна (в среднем), то она не является источником внешнего электростатического поля. Однако одна область плазмы может получить избыток заряда за счет его нехватки в другой, соседней, области. Это создает электрическое поле в плазме. Под действием электрического поля ионы ускоряются в одном направлении (т. е. вдоль поля), а электроны — в противоположном. Заряды движутся таким образом, чтобы уничтожить избыток н нехватку заряда, вызвавшие поле. Такова причина возникновения возвращающей силы. К тому времени, когда избыточный заряд будет уничтожен, ионы и электроны приобретут определенные скорости. Инерция заставит их проскочить через положение равновесия, и мы получим новые области избытка и недостатка заряда, противоположные по знаку первоначальным.
Таким образом, здесь существует механизм, который поддерживает колебания, после того как они возбуждены. Если нас интересует только движение заряда из одной области в другую, мы можем забыть о положительных ионах и считать, что 92 полное перемещение заряда создается движением электронов. Действительно, в данном электрическом поле (одинаковом для любых частиц) ускорение электрона меньше ускорения иона на величину отношения их масс (около 3 10а), и смещением ионов можно пренебречь. Рассмотрим упрощенную ситуацию, когда плазма находится между ограничивающими стенками (рис.
2.19), Пренебрежем движением ионов по сравнению с движением электро- нов. В любой момент времени у одной стенки может быть избыток заряда,— соответственно его недостаток у другой. Зто создает пространственно однородное электрическое поле в плазме (том П, п. 3.5), определяемое как Е„= — Ап —, 0 А ' где А — площадь стенок, а знак минус указывает на то, что электрическое поле Е„стремится уничтожить избыток заряда ф Других источников электрического поля нет.
(Плазма между стенками нейтральна, так как каждый электрон, движущийся (95) вправо из данного объема, заменяется другим, вхо дящим в него слева.) Второй закон Ньютона для каждого электрона с массой пг и зарядом д имеет Рис 2. ГЬ Коле. вид банни в ограни- — Е ,ега =Ч х ненззаб плазме. (96) Рептение этого уравнения Я=Я,-.( 1+~), где = бЗР 4пЛгев (99) Величина бар называется частотой колебаний плазмы или критической частотой. 93 (Мы пренебрегаем другими силами, действующими на электрон, которые появляются из-за столкновений электронов и ионов; в среднем эти силы равны нулю и не оказывают влияния на перенос заряда.) Теперь предположим, что в 1 сиз содержится Ж электронов и каждый электрон смещен на расстояние х от положения равновесия.
Полный заряд на одной стенке («отобранный> от другой стенки) равен Я = 7«зд Ах. (97) Дифференцируя уравнение (97) дважды по времени и используя уравнения (96) и (95), получим УЯ 4и з'е'дв ~ (98) езга т Плотность свободных электронов в ионосфере изгиеняется с высотой и временем суток. Рекомбинация электронов и ионов в нейтральные молекулы начинается после заката Солнца, когда образование новых ионов приостанавливается, Поэтому плотность электронов ночью улгеньшается. Для дневного времени типичное значение частоты колебаний плазмы равно тр = 10 —: 30 М211, (100) что соответствует плотности электронов Л'-! 0' —;1О' элеятпронов'елг».
Пример из квантовой физики. Гипотеза де Бройля приписывает частице с импульсом р волновое число й, определяемое из равенства р=г»и. «Боровское условие частот» утверждает, что частица с энергией Е имеет волновую частоту ю, определяемпо равенством Е=-Ью. Объединив оба эти утверждения, можно найти дисперсионное соотношение между ю и л для частиц. Оно следует из связи лгежду Е и р.
В дополнении 2 разобраны соответс гвуюшие примеры. Задачи и домашние опыты 2.1. Опыт. Зависимость гастаягы колебаний «лруягияы» алг ее длины. Возштте леной рукой первый виток «пружины», а правой — последний. Расстояние между руками должно быть около ! м.
Измерьте частоту вертикальных поперечных колебаний. 1Ие беспокойтесь о том, что «пружина» сильно провисла.) Теперь растянпзе <пружину» как можно больше. Измерьте частоту. Далее, закрепите какнябудь оба конца «пружины», чтобы полная ее длина равнялась 2,5 — 3 .я. Измерьте частоту. Обьясните результаты. Используйте эти результаты взмерения частоты, чтобы определить коэффнцвент тпругостя «пружины», приходящийся на один виток. Пусть Л㫠— полное число витков «пружины». Зщгрщщте пртжнну таням образом, чтобы свободными были Лг из Лг«витков.
Перед опытом предскажите зависимость частоты от ЛЧН«. Затем сделайте опыт, проверьте предсказание. 2.2. Опыт. «пружина» яак иепрера<вяая система. Привяжите концы настян) той до 2,5 — 3 м «пружины» к неподвижнь1м предметам. Ие беспокойтесь о проьисании «пружины». Возбуднте первую моду колебаний в ка»кдом вз поперечных направлений. Измерьте частоты этих двух мод. Возбудите также первые моды продольных колебаний н измерьте их частоту. (Есть два хороших способа возбудит желаемую моду. Первый заключается в том, чтобы придать «пружине» соотщпствующую форму и затем отпустить, а второй — в том, чтобы слегка трясти <пружину» с нужной часготой, взявшись за нее около одного из концов, и, возбудив достаточную амплитуду колебаний, отпустить «пружину». Использчйте оба метода.) Затем подумайте, как возбудить вторую мод<ч для которой длина ь равна двум полуволнам.
Сделайте это для всех трех направлений: х, у и з. 11змерьте чзстоты. При некотором навыке вы смогли бы возбудить третьи моды. Теперь возбудите первую моду вертккальвых колебаний и одновременно вторую продольную моду. 1Это легка можно сделать прн соответствующих условиях). Посмотрите на систему я нзмсрьте частоту биений между продольноп' 1вгорон) модой и в два раза более низкой вертикальной модой. При некоторой практике это легко сделзть.
Это хороший способ убедиться, что основная и первая <ок. тазы» отличаются по частоте в два раза. Точна так же вы легко можете одновременно возбудить самую низкую вертикальную моду и вторую горизонтальную моду. 2.3. Нулевые измерения. Прочтите опыт 2.2 !для выполнения этой задачи вы можете сто и не делать). Предположим, что вы определяете частоту колебаний в «пружине», считая число циклов колебаний за 1О сек и затем деля число циклов на время.
Предположим далее, что вы можете читать показания часов с точностью 94 +1 сек, а определять число полных циклов с точностью+Ч, цикла. Частота самой низкой моды о, около 1 гц. Частота ч» второй моды около 2 гц. а) Оцените грубо, с какой точностью ваши измерения могут определить величины э» и эм (Ответ нужно дать в виде «тг =1,0+0,1, ч»=к2,0+0,2»,) б) Теперь предположим, что вы одновременно возбуждаете обе моды и измеряете частоту биений между 2чг и тю как описано в опыте 2.2. Это можно сделать, наблюдая за биениями в течение 10 сек, т.
е. в течение 10 циклов ты Предположим, что за это время вы не зарегистрироиали биения между 2ут и о» с точностью »7< биения. Таким образом, ваш экспервмеитальный результат: т» — 2э«=0, Челкар равна экспериментальная точность? (Лайте ответ, вапример в виде ~» — 2е»=— =0+0,10»г»).
Чему равна точность при оценке величины ч,— 2»г (представленная в таком же виде). полученная из результатов независимых измерений тз и ты сделанных в пункте а)? Видите ли вы экспериментальные преимушества в методе счета биений? Объясните преимущества этого метода и метода нулевых изл<ерений в других возможных случаях.
2.4. Опыт. Те»<бр «звука», издаваемого «пружина«1». Тембр звука музыкального инструмента зависят от того, какие гармоники возбуждены. (Например, в клэрнете почти ого)тствуюг четные гармоники и прпсутству«от лишь частоты ты Зтм 5тг и т.
д.) Возбудите «пружину», подвешенную так, как указано в опыте 2.2, резко толкнув ее рукой в середине. Попробуйте сделать это при толчках различной резкостя. Можно заметить, что четные гармоники не возбуждаются п, чем более импульсный характер носит возбуждение, тем больше число возбуждаемых нечетных мод, Как возбудить только четные моды? Попробуйте щипать струну гитары или рояля в различных местах — посередине, около конца — и послушайте, есть ли разница в тембре звука. 2.5. Опыт. Рояль как анализатор Фурье; нелувствительноапь уха к фазе колебаний. Нажмите на демпфирующую педаль рояля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
