Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

гга '~1 а!» = — (1 — соя па) = — ~1 — | соя» —, — 5|и< — | Ма » 4Т»» гга 4Т»» иа го~ =- — 5!и — = — яп Ма 2 Ма Л Выражение (70), связывающее частоту го и длину волны Л (илп волновое число) для данной моды, называется дисперсионным соотношением для струны с грузами. Граничные условия. Мы еще не учли полностью граничные условия. Написав формулу (67) вместо более общего выражения А„= А 5!п йпа+ В соя |ггга, (71) т.

е мы удовггетворили граничному условию в г=-О, заключающемуся в том, что смещение струны в этой точке для любой моды равно нулю. Действительно, полагая г=па=О в (71) н требуя, чтобы А,=О, мы 8! Уравнение (65) выглядит <устрашакяце». Оно определяет зависимость формы моды от угловой частоты. Попытаемся угадать его ° решение, опираясь на известное нам решение для мод непрерьгвной струны с закрепленными в точках г=-О и г=й концами. Для этой задачи мы нашли, что моды имеют вид А (г) = А яп — "'= А яп йг.

(66) Конечно, наше решение для А„должно в пределе (при стремлении и к бесконечности) переходить в уравнение (66). Попытаемся найти решение, положив в (66) г=-иа: А„=А 5|п — "" = — А япйиа. (67) получим, что В=О. Мы должны также удовлетворить граничному условию в точке г=Ь, согласно которому смещение в этой точке также равно нулю. Стена в точке г=Ь соответствует «закрепленному грузу М+1», поэтому Ан«, следует положить равным нулю: Ан+, —— А 81пй(М+1) а= А з1пйЬ= О. (72) Существует М возможных решений уравнения (72).

Каждое решение соответствует определенной моде и», где гп=1, 2,...,М. Мы нумеруем моды так, что мода т=! имеет самую большую длину волны. Имеем й,Ь=-л, /«,Ь=2л, ..., й„Ь=тл, ..., йнЬ=Мл. (73) Существование лишь М решений объясняется тем, что последний член в (?3) соответствует полностью «зигзагообразной» конфигурации. Закрепленный в точке г=О первый отрезок струны подымается вверх до первого груза, после чего второй отрезок струны опускается вниз до второго груза, ..., отрезок М+1 опускается (или подымается) от груза М к стене.

Уравнение (72) может иметь дальнейшие решения: йн~,Ь=(М+1)л, йн~,Ь=(М+2)л и т, д., но, чтобы осуществить все «зигзаги», которые заключают в себе эти решения, нужно иметь струну с числом сегментов большим, чем у нас. Уравнение (65) для мод было получено без рассмотрения граничных условий. (На рис. 2.11 нет никаких границ). Наиболее общее решение этого ураввения имеет вид (71), где В!А и й определяются из граничных условий. Если подставить решение (71) в уравнение (65), то мы найдем дисперсионное соотношение (70), не зависящее от граничных условий, т. е. от величин А, В и й. Сделайте это сами (задача 2.19).

Для наших граничных условий (струна закреплена в точках г=О и г=Ь) моды определяются уравнением (?2), с коэффициентами й из уравнений (73), а частотыы следуют из уравнения (70). Заметим, что моды, следующие из уравнений (73), те же, что и в случае непрерывной струны. Разница лишь в том, что у непрерывной струны М=-оо и для нее нельзя указать самой высокой моды. Заметим также, что у струны с грузами сегменты между грузами являются отрезками прямой, а не гладкими синусоидальными функциями. На рис. 2.12 показан случай, когда М=5. На рис. 2.13 показан график дисперсионного соотношения, определяемого уравнением (70): (й) =2 ~/ — 'зш —. (74) Пять точек на графике дают й и а» для пяти мод струны с пятью грузами, закрепленной с обоих концов.

При другом числе грузов или при других граничных условиях (например, свободный конец в точке г=Ь) точки, соответствующие различным модам, будут лежать в других местах этой же кривой в» (й), Таким образом, рис. 2.13 годится для любой струны с грузами. Непрерывное приближение, или приближение блинных волн. В приближении непрерывно распределенной массы мы предпо- 82 лагаем, что между 2=0 и г=Е имеется бесконечное число грузов. В этом случае а стремится к нулю. Интересно выяснить, как ведет себя наше точное дисперсионное соотношение, если а очень мало, но не равно нулю. Когда мы говорим, что расстояние а мало, мы ау=У77% Дзй!— 1 ' Д1 Рис. 2.!2. Моды колебаний струны с пятью грузами.

йгнах т/а Рис. 2.!3. Дисперсиаяное соотношение для >гагру>ненаой струны. Пять отмеченных точек саотаетстеуют пяти ыодам за> рсплеияой па конках струны с пятью грузамн. При других граничных условиях н при другом числе грузов соотаетстеующне точки займут другие пслоагения на той ше кривой. должны понимать, по сравнению с чем оно мало. Непрерывное приближение хорошо в случае, когда расстояние а между грузами мало по сравнению с длиной волны Л: а((Л, 12а=2п — ((1. Воспользуемся разложением в ряд Тейлора [приложение 1, (4)] зшх=х — — х + ...

а 6 83 Л1=;Л,=,б 1 ~~=1Жуу Л =-Лю-Ь 1 1 4 уг %2=4ЯКУ1 л =1л =Лл 1 д УУ=Я, АУРУ /~Ы =„г~Щ 1 Подставляя этот ряд в (74) и полагая х= — йа, мы получаем Г т„Г1 а (я) = 2 у —" [ — яа — — (/га)'+... 1 = М [ 24( ) +'''з т. е. (75) Соотношение (75) говорит об отсутствии дисперсии. Для непрерывной струны, где М~а=р„этот результат был получен в и. 2. 3.

Дисперсионное соотношение для струны рояля. Мы нашли, что моды реальной струны не удовлетворяют дисперсионному соотношению (75). Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля, например обертоны С256, О384 и С512 основного тона С128, не будут выдерживаться точно. Действительно, это так. Из уравнения (74) или из графика рис. 2.13 видно, что возрастание волнового числа й вызывает не прямо пропорциональные, а несколько меньшие увеличения частоты. Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля будут чуть-чуть ниже предсказываемых теорией для непрерывной струны: частота второй гармоники будет т,(256, третьей т,(384 и т.

д. На самом деле это не так! Обертоны струны рояля не будут ниже, они будут выше (т. е. будут диезными) обертонов, следующих из уравнения (75). Объяснение в том, что ни модель совершенно непрерывной и совершенно упругой струны, ни модель струны с грузами не дают правильного описания колебаний струны рояля. В частности, модель струны с грузами хуже модели непрерывной струны, так как она дает поправку, знак которой неверен. Трудности с непрерывной модельюобьясняются тем, что струна рояля не является совершенно гибкой. Когда вы изогнете ее, она выпрямится вновь, даже если нет натяжения, помогающего ей в этом.

Поэтому возвращающая сила, действующая на маленький сегмент струны (т. е. сила, стремящаяся выпрямить струну), будет чуть-чуть больше силы, предсказываемой моделью совершенно гибкой струны. Частота моды, конечно, определяется из условия оз'= возвращающей силе на единицу смещения и на единицу массы. Более высокие моды имеют более короткие длины волн, и, следовательно, им отвечает больший изгиб струны. Поэтому недостаточная гибкость струны (жесткосгь) играет ббльшую роль для высоких мод, чем для низких, частота возрастает скорее, чем это следует из модели совершенно гибкой струны. Все сказанное можно представить себе следующим образом. Возвращающая сила, вызванная натяжением, и та ее часть, которая связапас жесткостью, возрастают с ростом я.Однако поскольку влияние жесткости относительно сильнее для больших й, чем для малых, то возвращающая сила, связанная с жесткостью, должна возрастать с ростом й с большей скоростью, чем возвращающая сила, обу- 84 б!' ~ — 'А'+бй', (76) Ро где а — положительная константа, появление которой вызвано наличием жесткости.

Если бы член, связанный с жесткостью, был пропорционален йв, то мы снова получили бы отсутствие дисперсии, описываемое уравнением (75), в котором вместо Т„'р, стояло бы (То(ро)+и и отношения частот удовлетворяли бы равенствам ив= =2р„аг,=Зр, и т. д., т.е. снова были бы «гармоническими». Рассмотрим примеры. П р и м е р 2. 77родольньы колебания в системе, состоящей из пружин и лгасс. Зтот важный пример позже поможет нам понять свойства звуковых волн. (Звуковые волны представляют собой продольные колебания, т, е. колебания, перпендикулярные фронту волны.) Случаи, когда У=1 и Л'=-2, были рассмотрены в пп, 1.2 и 1.4. Рассмотрим сейчас общий случай ЛР масс, соединенных пружинами, как показано на рис.

2.14. г 11-1 у!' и=1 111 441 ( /11 141 р '(тии444е44ИВИФ И1 4)тм'БЙЙИ4ет43ИВ) я=а а га (у-11а уга Я+1)а=й 4)у-1/а 4уа 1 1 ~тйТТ) вами Фи! й я=0 а аг 1 1 ва '1 тгплт4повиврсо( 6 Фг Рис. И!4. Продольные нолебания и масс и и+1 44рум44н. о! Равновесное наложение; б! конфигураиия для общего свусая. Легко вывести уравнение движения груза и. (Если вам это трудно, посмотрите вывод для Ж вЂ” — 2, п.

1.4. ) Мы получим ,ив ~(!Ряба Фп) ~(вйп 4Рп-!) (77) Математическая форма уравнения (77) совпадает с формой уравнения (62), за тем исключением, что множитель Тога заменен на коэффициент жесткости пружины К. Поэтому все наши математические выкладки можно повторить. Заменяя в уравнении (74) 85 словленная натяжением. Последняя пропорциональна й'.

Оказы- вается, что сила, обусловленная жесткостью, пропорциональна ка. Таким образом, дисперсионное соотношение для реальной струны рояля имеет вид Т,~а на К, получим дисперсионное соотношение а(й) =-2 у — з)п — =2 1г — з(п —. / К . аа /его . аа Ум з 1'м (78) Для моды с волновым числом й движение груза и определяется выражением 'Ф„(1) = А з! и паа соз 1в (й) г -1- ~р~, где й может принимать У различных значений: й1й=п, И,С=-2п, ..., йн7.=-А'и.

Характеристики

Список файлов книги