Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Для первой системы У=1 (одна степень свободы), для следующей Л'=2 и т. д, Для каждой системы на рис. 2.1 показаны конфигурации, соответствующие нормальным модам. Позже мы получим выражения, характеризующие конфигурацию и частоту каждой моды. 58 Уже сейчас легко понять (поверив, что показанные конфигурации совпадают с конфигурациями мод), что мы правильно расположили конфигурации в порядке возрастания частоты мод. Действительно, при заданном смещении данного груза с увеличением номера моды возрастает величина угла между струной и горизонтальной осью, отвечающей состоянию равновесия.

Увеличение угла означает Моды К г д д „. Р Рис. 2З. Моды поперечнык колебаний нагруженной струим. Струна с гт грузами имеет йГ мод. В гл-й моде положение равновесия пересекается струной ги — 1 раз, и мода состоит из гл полувалн. Мода с самой большой частотой соответствует наказанной на рисунке кривой с зигзагами». увеличение возвращающей силы, приходягцейся на единицу смещения и единицу массы для каждого заданного груза, а следовательно, возрастание частоты моды. Другим очевидным фактом является то, что последовательность предполагаемых мод образует именно тт' конфигураций: число узловых точек (точки, в которых пружина пересекает горизонтальную ось, исключая концевые точки) равно нулю в первой моде, вторая мода имеет одну узловую точку и т.

д. Самая высокая мода имеет максимально возможное число узловых точек, равное И вЂ” 1. 2,2. Моды поперечных колебаний непрерывной струны Обсудим случай, когда лг' велико, например )у'=1Оа или такого порядка. Тогда для первых мод (скажем, первых нескольких тысяч) между двумя соседними узлами окажется очень много грузов. Смещение будет медленно меняться от одного груза к друтому. (Мы не будем рассматривать самые высокие моды, так как в этих модах между соседними узловыми точками окажется всего лишь несколько грузов. В этом случае струна имеет большое число <зигзагов» и описание смещения с помощью непрерывной функции ф (х, у, г, 1) перестает быть хорошим приближением.) В соответствии со сказанным выше мы не будем описывать мгновенную конфигурацию перечнем смещений тр,(г), ф (1), <р,(1), <р„(1) н т.

д. каждого 59 груза. Вместо этого будем считать, что все частицы в окрестности точки (х, у, г), отвечающей положению равновесия (окрестность может быть бесконечно малым кубом с ребрами Лх, Лу и Лг), имеют один и тот же мгновенный вектор смещения ф (х, у, г, 1): ф(х, у, г, т) =хф„(х, у, г, Гу+уф,(х, у, г, г)-)-гф,(х, у, г, (). (!) Здесь х, у и г — единичные векторы, а ф„, $ и ~>, — компоненты вектора смещения ф. Важно понимать, что координаты х, у, г представляют собой равновесное положение частиц. Таким образом, х, у и г не зависят от времени.

Продольное и поперечное смеШения. Выражение (!) имеет значительно более общую форму, чем нужно для изучения колебаний струны. Предположим, что в состоянии равновескя струна растянута вдоль оси г. Тогда координата г дает положение равновесия каждого груза и выражение (!) может быть записано в более простом виде: ф(г, !) =хф„(г, ()+уф„(г, ()+гф,(г, (). (2) Смещения вдоль оси г называются продольными, а вдоль осей х и у— поперечнььии. Здесь мы рассмотрим только поперечные колебания струны. Поэтому мы положим функцию ф, равной нулю: $(г, () =-хф,(г, !)+у~р (г, ().

(3) Линейная поллризаь(ил. Для большей простоты положим, что колебания происходят только вдоль оси х (т. е. ф ==0). В этом случае говорят, что колебания линейно-поляризованы вдоль х. (В главе 8 мы будем изучать общий случай поляризации.) Опустив единичный вектор х и индекс в ф„, мы можем написать: ф(г, г) =-мгновенное поперечное смещение частиц, имеющих равновесное положение г. (4) Теперь рассмотрим очень малый элемент непрерывной струпы. В равновесном состоянии он занимает интервал длиной Лг с центром в г.

Масса единипы длины, т. е, отношение ЛМ!Лг, называется линейнои (или погонной) плоаностью р,: ЛМ =- О,Лг. (5) Предположим, что линейная плотность не меняется вдоль всей струны. Предположим также, что натяжение струны в положении равновесия Т. также одинаково по всей ее длине. В общем случае, когда струна не находится в состоянии равновесия, среднее смещение нашего сегмента равно ф (г, г) (рис. 2.2), Сегмент будет обладать некоторой кривизной, так как углы О,и О, не равны (см. рис. 2.2).

При этом длина сегмента уже не равна Лг, поэтому и натяжение не равно больше Т,. Найдем силу Р„, действу'ющую на сегмент. На левом конце на сегмент действует сила Т, з!и О„ 60 Рис. Ь>. Поперечине колебания непрерыиной струны. Внизу показано раиноеесаое положение бесконечно малого отрезна струим длиной Ьз. Наиерлу показано положение этого отрезка и его конфигуракия а общем случае.

(8) Теперь рассмотрим функцию 1(х), которую определим так: (9) Мы не внесли время 1 в аргумент формулы, так как считаем 1 констан- той. Разложим 7' (г) в ряд Тейлора в окрестности точки г„а затем положим г=г, [см. приложение 1, уравнение (3)[: [(г ) = — гг(гз)+(гз гз) (дг) + о (гз гз)'(л з ) +, (10) где г,— г,= Аз в соответствии с рис. 2.2. Теперь перейдем к пределу, когда Лг настолько мало, что в уравнении (10) можно пренебречь квадратичным членом и всеми членами более высокого порядка.

61 направленная вниз. Сила Таз[и й„действующая на правый конец сегмента, направлена вверх. Полная сила, действующая на сегмент, равна Е'„(1) = Т, э[п О, — Т, з! и 8,. (8) Мы хотим выразить Р„(1) через ф (г,г) и ее пространственную производную: дзг(г, 8 =наклон кривой в точке г в момент времени 1. (7) дг В соответствии с рис. 2,2 наклон струны в точке г, равен 1дй,,а наклон в точке г, равен 1я О,. Горизонтальные компоненты натяжения струны в точках г, и г, равны соответственно Т,со»О, и Т,соэ О,. Наша цель — получить линейное дифференциальное уравнение движения. Мы будем работать т р либо с приближением «пружины», в, либо с приближением малых колебаний.

В случае приближе- Тй ния «пружины> Т больше Т, в [ 1/созО раз, потому что сегмент больше Лг во столько же раз: [чад [ Тсоэ О=Т,. В случае малых колебаний мы пренебрегаем возрастанием длины сегмента и принимаем соб 8=1. Таким обра- г' зом, и в этом случае мы имеем Тсоз О=Т,. Уравнение (б) принимает вид г«гг Т„(1) = Т, э[п О, — Т, з'1 и О, = =- Тз соз Оз 18 Оз — Тз соэ Оз 18 Ог= =Т, 1цО,— Т,[цо,= Получим дгф1г, г) дгг Заметим, что начиная со второго равенства в (11) мы опускали индекс 1.

Эта справедливо, потому что мы пренебрегли производными более высокого порядка в разложении Тейлора (10), и поэтому производная может вычисляться в любом месте интервала гъг. Заметим также, что поскольку мы пишем ф (г, (), то следует вновь ввести символ частной производной. Используем теперь уравнения (9), (11) и (8), чтобы получить выражение для полной силы, действующей на сегмент: г„(г) = Т,бг'— ,',— ".

(12) По второму закону Ньютона эта сила равна произведению массы сегмента ЛМ на его ускорение. Скорость и ускорение сегмента с равновесным положением в точке г можно следующим образом выразить через ф (г, !) и ее производные: ф (г, !) = смещение, дър (7, г) = скорость, дг дар !г, 0 = ускорение. ды Таким образом, второй закон Ньютона (вспомним, что ЛЛ(=р,бг) дает р Лгдгт р т йгд д т. е.

(14) Классическое волновое уравнение. Уравнение (14) — весьма знаменитое уравнение второго порядка в частных производных. Оно называется классическим волновым уравнением. Мы будем часто с ним встречаться и познакомимся со многими свойствами его решений и с физическими ситуациями, которые описываются этим уравнением.

(Конечно, положительная константа Т,)р, характерна для задачи о струне. В других физических задачах, которые приводят к волновому уравнению, появляются другие положительные константы.) Стоя«ие волны. Попытаемся найти нормальные моды непрерывной струны, которые представляют собой стоячие волны.

Лредположилг, что мы возбудили какую-то моду и, следовательно, все части струны совершают гармоническое движение с одинаковой угловой частотой а и с одинаковой фазовой постоянной у. Тогда функция ф (г, г), представляющая собой смещение частиц, которые в равновесии находятся в-г, должна иметь одну и ту же временную зависимость вида соз (о»(+«Р) для всех «движущихся элементов», т. е. для любых г. Как обычно, фазовая постоянная соответствует «моменту включения» моды.

«Геометрия» моды зависит от числа степеней свободы а, 6, с и т. д. и определяется отношением амплитуд колебаний А, В, С и т. д., соответствующих этим степеням. В случае непрерывной струны, когда степеней свободы бесконечно много и они определяются параметром г, амплитуда колебаний для различных степеней свободы (т. е. «геометрия» моды) может быть представлена в виде непрерывной функции от г, которую мы обозначим А (г).

Характеристики

Список файлов книги