Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Полная энергия Е,+Еь постоянна (так как мы пренебрегли затуханием). Теперь вспомните домашний опыт 1.18. Объясните, почему при неравных массах не происходит полной передачи энергии. (У к а з а н и е. Рассмотрите два предельных случая: 1 ° Ма>)МЬ 2. Ма<Мь.) 1.20. //оперенные колебания двух связанных масс. Используя либо приближение «пружнны», либо приближение малых колебаний, найдите два связанных уравнения движения для поперечных смещений»Ра и «Рь (см. рис. 1.11). а) Используйте описанный в тексте главы аналитический метод нахождения частот и отношений амплитуд для обеих нормальных мод. б) Найдите линейную комбинацию координат ф и фь, которая дает несвязанные уравнения, т.
е. найдите нормальные координаты. Найдите частоты и отношения амплитуд для обеих мод. От в е т. См. уравнения (70) и (71). 1.21. Колебания а двух саня»нных ЕС-цепях. Найдите две нормальные моды колебаний для связанных цепей, показанных на рис. !.12, когда уравнения движения имеют вид (77) и (78). а) Воспользуйтесь аналитическим методом.
б) Используйте метод нахождения нормальных координат. От в ет. См. уравнение (79). 1.22. Тяжелый предмет лежит на резиновой подушке (которая применяется как амортизатор), сжимая ее на ! см. Если ударить по предмету в вертикальном направлении, он начнет колебаться. (Колебания будут затухать; мы цренебрегаем затуханием.) Оцените частоту колебаний. (У к а з а н и е. Считайте, что подушка ведет себя как пружина, подчиняющаяся закону Гука.) О т в е т. Около 5 гц. 1.23. Продольные колебания двух связанных масс.
Система показана на рис. 1 9. Уравнения (62) н (63) являются уравнениями движения системы. Используйте аналитический метод, выраженный уравнениями (47) — (59), для нахождения мод. Вы должны не просто подставить ваши данные в эти уравнения, а выполнить, «не подглядывая», всю последовательность действий.
О т в е т. См, уравнения (60) и (61), 1.24. Опыт. Мода «омызания» в сосуде с водой. Первая мола колебаний в замкнутом объеме жидкости может быть названа модой «омывання»'). Каждый, кто когда-либо пытался нести полный сосуд с водой без расплескнваиия, знает, что зту люду легко возбудить. Наполните прямоугольный сосуд водой и слегка толкните его.
Еще лучше поместить сосуд на горизонтальную поверхность, наполнить его до краев и затем долить так, чтобы вода «вздулась» (поднялась) над краями, Слегка толкните сосуд. После того, ках более высокие моды затухнут, можно наблюдать моду «омывания», которая затухает очень медленно, (Это — гравитационная мода, несмотря на то что мы используем поверхностное натяжение, чтобы удержать воду «над стенками»; этим затухание сводится к минимуму.) Поверхность воды остается практически плоской (после того как более высокие моды вату хнут).
Предположим, что мода все время плоская: горизонтальная — в положении равновесия и наклонная— в крайних положениях. Пусть ось х совпадает с горизонтальным направлением, а ось у направлена вверх. Г!усть х и у — горизонтальная и вертикальная координаты центра тяжести воды в сосуде с равновесными значениями х» и у«. Найдите зависимость (у — у„) от (х — х,).
(Удобной перел~енной может служить уровень воды на одном конце сосуда, отсчитанный от равновесного уровня.) Увеличение потенпиальной энергии всего объема воды равно тй (у — у,). Вы обнаружите, что (у — у«) пропорционально (х — х«)'. Таким образом, потенциальная энергия центра тяжести, подобно потенциальной энергии гармонического осцнллятора, пропорциональна квадрату смещения от равновесного положения. Используйте второй закон Ньютона, предполагая, что вся масса воды гл сосредоточена в центре тяжести. Найдите формулу для частоты.
О т в е т. а«=335«/Ы где ?«« — равновесная глубина воды, я=980 слуг«к и 5 равно половине длины сосуда вдоль направления движения волны, т. с. вдоль х. Проверьте эту формулу, т. е. измерьте ы, йа и 5 для вашего сосуда н сравните полученные значения с формулой. 1.25. Сейшн. Как известно, средняя глубина )Кеневского озера около !50 и, а длина порядка 60 км (включая узкую западную часть озера). Аппрокснмируя озеро прямоугольным сосудом, мы можем использовать формулу для ы«, полученную в домашнем опыте 1,24. Какой период сейш (т. е.
мод «омывания») дает эта формула при условии, что сейшн распрострзияются вдоль длинной стороны озера? (Наблюдаемый период — порядка часа.) Вероятной причиной образования сейш является резкое различие атмосферного давления над разнымн участками озера. Наблюдаемые амплитуды достигают полутора метров. В июне 1954 г. сейша с амплитудой около 3 м, возникшая на озере Мичиган, смыла рыболовов, ловивших рыбу на пирсе. В соответствии с сообщением в «Т!те» (17 ноября !967 г.), ударные волны от сильного землетрясения на Аляске в «страстную» пятницу ! 964 г.вызвалн образование сейш на реках, озерах и в гаванях вдоль береговой линии США,а также привели к выплескиванию воды из плавательных бассейнов.
*) Здесь и дальше этим условным термином переведено выражение «з1озййпй «поде !п а рап о! тча1ехэ. Г?урим. ре«Ц ГЛАВА 2 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 2,1. Введение В главе 1 мы рассмотрели поведение систем с одной или двумя степенями свободы, Здесь мы будем изучать системы, имеющие У степеней свободы, причем А' может быть очеяь большим и даже «бесконечно большим» числом.
У системы с Ф степенями свободы имеется только Ж мод (см, задачу 1.17). Каждая мода обладает своей собственной частотой и «формой», определяемой отношением амплитуд А: В: С: Р: и т. д. (эти амплитуды соответствуют степеням свободы а, Ь, с, «( и т. д.). Все движущиеся элементы при данной моде колебаний одновременно проходят положение равновесия, т.
е. движение, соответствующее каждой степени свободы, происходит с одинаковой фазовой постоянной. Таким образом, у каждой моды имеется своя фазовая постоянная, которая определяется начальными условиями. Так как для данной моды колебания всех степеней свободы происходят с одинаковой частотой в, то каждому движущемуся элементу соответствует одинаковая величина восстанавливающей силы, приходящейся на единицу смещения и единицу массы, равная ««'.
Предположим, что мы имеем систему с четырьмя степенями свободы а, Ь, с, «(. У нее существуют четыре моды колебаний. Предположим, что для моды 1 отношения амплитуд равны А: В: С: Р .—. 1: О: — 2: 7. Тогда смещения по степеням свободы а, Ь, с и «( (если возбуждена только мода 1) имеют внд ф«=А,сов(«а»1+<Р») ф»=-О, "т«= — 2ф„ф«= — 7ф„ где А, и «р, определяются начальными условиями. Если система состоит из очень большого числа движущихся элементов, заключенных в ограниченном объеме, то среднее расстояние между соседними элементами становится очень малым.
В пределе число элементов можно считать бесконечно большим, при этом 57 расстояние между соседними элементами будет стремиться к нулю. В этом случае система ведет себя так, как если бы она была «непрерывной». Такое утверждение подразумевает, что движение соседних элементов системы почти одинаково, т. е. что смешение всех движу- шихся элементов в окрестности точки х может быть описано вектором смешения»р (х„у, г, 1), где»р — непрерывная функция координат х, у, г и времени г.
Эта функция заменяет описание, задающее смещение»р,(1), ф,(1) и т. д. отдельных элементов. Мы говорим в этом случае, что имеем дело с волнами. Стоячие волны являются нормальными модами. Моды непрерывных систем называются стоячими волнами, или нормальными модами, или просто модами. В соответствии с тем, что было сказано выше, непрерывная система имеет бесконечное число независимых движушихся элементов, несмотря на то что занимает конечный объем. Поэтому оиа обладает бесконечно большим числом степеней свободы и соответственно бесконечным числом мод. Это не может быть абсолютно верным для реальных материальных систем, Один литр воздуха имеет не бесконечно большое число движушихся элементов, а только 2,7 10" молекул, у каждой из которых три степени свободы (движеиия вдоль х., р- и г-иаправлеиий). Поэтому 1 л воздуха, заключенный в бутылку, не имеет бесконечно большого числа мод колебаний: это число не может быть больше, чем -8,1 10".
Каждый, кто пьпался дуть в бутылку или играть на флейте, заметил, что легко возбудить лишь несколько первых мод. (В дальнейшем мы будем нумеровать моды в порядке возрастания частоты. Таким образом, моде 1 соответствует самая низкая частота, моде 2 — следуюшая, более высокая, частота и т. д.) На практике мы будем иметь дело с небольшим числом первых мод (или в крайнем случае с несколькими десятками или тысячами мод).
Мы увидим, что первые моды ведут себя так, как если бы система была непрерывной. Обшее движение системы может быть описано как суперпозиция всех ее мод с амплитудами и фазовыми константами, определяемыми из начальных условий. В этом общем случае поведение колеблющейся системы будет казаться очень сложным, так как в сложном движении, являющемся суперпозицией многих мод, очень трудно различать отдельно каждую моду. Моды колебаний струны с груза и.
Начнем с изучения поперечных колебаний струны с грузами. Под «струной» мы подразумеваем пружину. Предположим, что мы имеем линейные (т. е. подчиняющиеся закону Гука) невесомые пружины, на которых расположены точечные массы М (грузы). (На рисунках будем изображать пружины прялюй, а не винтовой линией.) На рис. 2.1 представлена последовательность таких струн с грузами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
