Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Фазовые кон- станты «р, и ~р, связаны выбором начальных условий; мы положим их равными нулю: ~р,=~р,=0. Тогда равенства (90) принимают вид ф, (() = А соз «в,г'+ А соз «э,(, ф«(1) = А сов в,( — А сов в«1. (91) Скорости маятников равны ф,(1) = †' = — «э, А з[п в,1 †«в«А з1п в« 1, (92) «рь (1) = —," ,= — «з, А з! п а,(+ «», А э[ и «э,1. Чтобы понять, как возбудить обе моды, чтобы получить биения, описываемые выражениями (91), рассмотрим начальньм условия в момент времени 1=0.
В соответствии с формулами (91) и (92) на- чальные смещения и скорости маятников равны фа (О) = 2А фь (О) = 0' фо (О) = 0 «рь(0) = 0 Сместим маятник а в положение 2А, а маятник Ь будем удерживать в нулевой точке, затем отпустим одновременно оба маятника и примем этот момент за начало отсчета времени г'=О. Наблюдая за маятниками, мы увидим красивое явление биений, (Обязательно сделайте этот опыт.
Две банки консервов могут служить грузами М, а вместо «пружины» можно взять резиновый жгут. См. домашний опыт 1.8.) Амплитуда колебаний маятника а уменьшается, а ампли- туда колебаний маятника Ь возрастает. В конце концов маятник а остановится, а маятник Ь будет иметь амплитуду и энергию колеба- ний, равные тем, с которыми начинал колебания маятник а. (Мы пре- небрегаем трением.) При этом энергия колебаний полностью пере- ходит от одного маятника к другому. Описанный процесс будет по- вторяться, и энергия колебаний будет медленно переходить от Ь к а и обратно. Один полный оборот энергии от а к Ь и опять к а представляет собой биение. Период биений — время, за которое со- вершается этот оборот.
Обратная величина представляет собой частоту биений. Аналогично 1 г г, г Е» = ~ Мыср Вмад = 2М 4 ысрь1п Одддд (96) Полная энергия двух маятников — величина постоянная. Действительно, сложив (95) и (95), мы получаем Ед+ Еь = (2МА'«г<р) Е (97) Разность энергий двух маятников равна Е,— Е» = — Е (соь* «»„„1 — ь!пг рг„„д1) = Е соь 2«г»р«1 = Е соь («р,— ргг) Е (98) Равенства (97) и (98) дают Е, = — Е ~! +соь(рг,— ы,) 1), 1 Е, = — Е !! — соь («г,— «г,) 1). 1 (99а) (99б) Из формул (99) следует, что полная эпсргия остается постоянной и что она переходит от одного маятника к другому с частотой биений.
На рис. 1.15 показаны зависимости др„др„Е, и Е, от времени. Примеры из квантовой физики. При изучении микроскопических систем (молекулы, элементарные частицы) можно встретить ряд красивых примеров — математических аналогов нашей системы из двух слабо связанных маятников. Для понимания этих систем необходимо знание квантовой механики. В этом случае «вещество», которое «течет» туда и обратно в микроскопической системе сдвумя степенями свободы, представляет собой вероятность, а не энергию, как в случае двух слабо связан.1ых 48 Все эти результаты можно получить из выражений (91) и (92).
Имея в виду, что в (91) «г, =-«р„+рг„,д и рг,=рг„— рг„„, получим <почти гармонические» колебания грд(1) =А соь (в,р+ «р„„) 1+ А соь(ы, — в„„д) 1 —.. = (2А соь «гд„() соь е,р ( = А„,д (() соь «р, 1, (93) ф, (1) = А соь (рг, + рг„„д) ! — А соь (ы, — ы„<д) ! = =(2Аь!п«гд,д()ь!по), 1==-:В „д(1)Я!ног, (. (94) Найдем выражение для полной энергии (кинетическая плюс потенциальная) каждого маятника. Будем считать амплитуду А,д(() практически постоянной в течение одного цикла «быстрых» колебаний и пренебрежем энергией, передаваемой пружиной маятнику.
(Если пружина очень слабая, в ней никогда не будет запасено значительное количество энергии.) Мы считаем, что в течение одного цикла «быстрых» колебаний маятник а — гармонический осциллятор с частотой рг,р и постоянной амплптудой А„„.
Кинетическая энергия маятника а будет равна (95) маятников. Дело в том, что здесь энергия «квантуется» и не может «дробиться», чтобы образовать поток. Поэтому либо один движущийся элемент, либо другой имеет сразу всю энергию, а то, что «течет», Рис. 1.15 перемещение ввергни между двумя слабо свяваявыми одинаковыми маятниками Энергия переходят от а я Ь и ат Ь к а с частатая 1т,— «,1 биений обеих мад. является вероятностью иметь данную энергию возбуждения.
Два примера, с молекулами аммиака с нейтральными К-мезонаыи, рассмотрены в дополнении 1. Задачи н домашние опыты 1.1. Найдите частоты двух мод (в гц) для ЕС-цепи, покааанной на рис. 1.12, если Е= !О гн и С=-6 мнф. Нарисуйте графики токов для каждой моды. Ответ. тг 20гц, т яи35 гц.
1.2. Если положить небольшой деревянный брусок на диск проигрывателя и наблюдать за ним одним глазом (чтобы избавиться от глубинного восприлгия изображения), то движение, совершаемое по линии, перпендикулярной линии взгляда, будет гармоническим, т. е. будет иметь вид х=хв соз ыд а) Докажите это утверждение. б) Сделайте небольшой маятник, подвесив на веревке, например, болт или гайку. Дливу маятника подберите такой, чтобы его движение было синхронизировано с движением деревянного бруска, лежащего на проигрывателе, при скорости 45 об)мин. Это будет прекрасной делюнстрацией того факта, что проекция равномерного движения по окружности является гармоническим колебанием, Это также хороший способ определения ускоренил силы тяжести й.
Зная, чел~у оно равно, покажите, что Еж45 сн при »=45 об)мин. 1,3. Опыт. Экран глелевизора как стробоскоп. Светящийся экран телевизора представляет собой хороший страбоскоп. Данная точка экрана в действительности ббльшую часть времени лвляется темной. Она светится в небольшие интервалы времени с постоянной частотой повторения. (Вы убедитесь в этом, быстро покачивая пальцем перед экраном.) Обозначим постоянную частоту повторения через т,. Целью опыта является измерение ичш Эта величина равна 50 гц. (с!тобы измеРить чав, следУет иметь стабильное, не агигающее и не ползУщее, изобРажение.) а) В качестве очень грубого опыта сделайте следующее. Покачивайте палец перед экраном с частотой, например, равной 4 гц.
Наблюдайте стробоскопический эффект. Измерьте амплитуду колебаний пальца. Измерьте расстояние между соседними изображениями пальца в области максимальной скорости. Предположим, 49 что движение сннусоидально. Вычислите максимальную скорость пальца, зная амплитуду н частоту. Используйте эти данные для определения чг». б) Используя в качестве непрозрачного экрана газету или чта-либо другое, оставьте открытой в экране телевизора горизонтальную полосу шириной в несколько сантиметров.
Сядьте спиной к телевизору и смотрите на экран в зеркало, которое вы держите в руках. Начните колебать зеркало, вращая его около горизонтальной оси. Объясните, чтб вы наблюдаете. Теперь закройте экран телевизора, оставив незакрытой лишь вертикальную полосу, и покачайте зеркала относительно вертикальной аси.
Какие выводы можно сделать в этом случае? (Одни из выводов заключается в том, что телевизор будет лучшим страбоскопам, когда закрыт весь экран, за исключением горизоитальйой«полосы.) Теперь уберите газету н поначайте зеркало относительна горизонтальной оси. Вы увидите в зеркало много телевизионных экранов.
Смажете ли вы заметить, что ограженные в колеблющемся зеркале экраны телевизоров имеют только половину горизонтальных линий на единицу вертикальной длины по сравнению с покоящимся экраном, видимым в неподвижном зеркале? в) Рассмотрим точный способ измерения ч, с помощью проигрывателя и с<робоскап ическо го диска, который можно сделать следующим образом. Нарисуйте круг иа листе белой бумаги. Сделайте карандашом метки через угловые интервалы, которые будут определять стробоскопическую суперпазицию последовательных меток.
Одну треть круга предназначьте для стробаскопирования иа 100 гц, другую треть †50 гц и последнюю треть †25 гц. Сделайте отверстие в центре и полом«иге круг, как пластинку, на проигрыватель. Затем осветите его светом от экрана телевизора и наблюдайте, в каком секторе круга сделанные вами метки «остановились». 1А. Опыт. Измерение частоты колебаний. а) Струна рояля. Теперь, зная чт» (опыт 1.3), используйте экран телевизора для определення частоты колебаний струны пианино или рояля. Осветите две самые нижние октавы светом от экрана телевизора (все это делайте вечером, когда все другие огни погашены). Опустите демпфнрующую педаль и побренчите по всем струнам, проводя рукой примерно по середине струн.
(Если использовать ударные молоточки рояля, то амплитуда колебаний будет слишком мала.) Вы быстро обнаружите струну, которая <стоит спокойно». Запомните ее. Затем побренчите по струнам на октаву ниже. Если вы все сделали правильно, то более низкая струна будет казаться «стоящей спокойной», но будет «двоиться». (Почему?) Вы нашли струну раиля (и соответствующую клавишу) с частотой чг». Частоту этоя ноты в каждой последующей октаве можно получать улшожениеи йа два.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
