Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 8
Текст из файла (страница 8)
д. (32) «зз, (34) (35) Уравнения (32) и (ЗЗ) справедливы всегда. Равенства (34) и (35) неверны, если а и р не нули. Таким образом, мы видим, что суперпозиция двух решений является решением тогда и только тогда, когда уравнение линейно. То, что суперпозиция решений также представляет собой решение, является особенностью однородного линейного уравнения.
Говорят, что колебания, которые описываются такими уравнениями, подчиняются принципу суперпозиции. Мы не будем рассматривать никаких других колебаний. Суперпозиция начальных условий. В качестве примера применения понятия суперпозиции рассмотрим малые колебания простого маятника. Допустим, что есть два решения уравнения: ф, и ф„соответствующие двум разным начальным условиям (смещение и скорость). Предположим, что есть еще одно начальное условие, которое является суммой соответствующих начальных условий для Ф, и для ф,. Это значит, что начальное смещение маятника представляет собой алгебраическую сумму начальных смещений ф, (1) и ф, (1), а начальная скорость — алгебраическую сумму скоростей, соответствующих ф, и ф,.
Чтобы найти решение фм нам достаточно просто сложить 'Ф, и чь,: ф,= — ф,+ф,. Докажите это. Указанный результат справедлив только для маятника, совершающего малые колебания, когда нелинейными членами в возвращающей силе можно пренебречь. Линейные неоднородные уравнения.
Линейные неоднородные уравнения (т. е. уравнения, содержащие члены не зависящие от ф) также удовлетворяют принципу суперпозиции, хотя и несколько другого рода. Сушествуег много физических явлений, аналогичных гармоническому осциллятору, подверженному воздействию внешней вынуждающей силы г(1), не зависящей от Щг). Уравнение движения в этих случаях имеет вид ~"„*,~"' = — сф(()+ р((). (36) Здесь Р(г) — <внешняя» вынуждающая сила, не зависящая явно от смещения <р(г). В этом случае принцип суперпозиции выглядит следующим образом. Предположим, что движение <р, (1) соответствует возмущающей силе Р, (1) (в том случае, когда на систему действует только сила Р,(<)), а движение ф, (1) вызывается возмущающей силой Р, (<) [в том случае, когда действует только сила Р, (г) [.
Теперь, если обе возмущающие силы, Р, (г) и Р,(г), действуют одновременно, так что полная возмущающая сила представляет собой суперпозицию Р,(1)+Р,(1), то соответствующие колебания системы [т. е. решение уравйения (36)) будут определяться суперпозицией <Р(1)=-ф,(1)+ф, ((), Покажите сами, что это справедливо для линейного неоднородного уравнения (36) и несправедливо для нелинейного уравнения относительно ф (г) (см. задачу 1.16).
Системы, с которыми мы имели дело в и. 1.2 и при иллюстрации принципа суперпозиции, обладают одной степенью свободы. Однако принцип суперпозиции применим для систем с любым числом степеней свободы (если уравнения линейны), и мы в дальнейшем очень часто будем им пользоваться. П р и м е р 5. Сферический маятник. Для иллюстрации применения принципа суперпозиции в случае двух степеней свободы рассмотрим движение маятника, состоящего из гири, масса которой М, подвешенной на нити длиной 1.
Такой маятник может свободно смещаться в любом направлении и называется сферическим. В положении равновесия нить вертикальна и направлена вдоль осиг. Пусть координаты гири маятника равны х=у=О. Для малых смещений вдоль осей х и р легко показать, что х(1) и у(1) удовлетворяют дифференциальным уравнениям М вЂ” „',= — — х, з<» Мд ш» (37) М вЂ”, = — — у.
к<у му (38) Эти два уравнения «не связаны». Под этим мы подразумеваем, что х-компонеита силы зависит только от координаты х, но не от у, а у-компонеита зависит только от йч Таким образом, (37) не содержит у, а (38) не содержит х. Уравнения (37) и (38) имеют решения х (1) = А, сов (<э Г + ф,), (39) у(1) = А, сов(<»1+ср»), (40) где «»»=811. Константы А„ А„ ф, и ~р, определяются из начальных условий, т. е. из смещений и составляющих скоростей по направлениям х и у. Полное движение может быть представлено как суперпозиция движения хх(1) н движения уу(1), где х и у — единичные векторы.
Возможность применения принципа суперпознции основана на том, что мы можем определить' отдельно движения по оси х и у, а затем просто сложить оба движения, чтобы получить результирующее движение с двумя степенями свободы. 30 1.4. Свободные колебания систем с двумя степенями свободы В природе существует множество интересных систем, имеющих две степени свободы. Наиболее красивы примеры молекул и элементарных частиц (особенно нейтральных К-мазанов). Но для изучения этих систем необходимо знание квантовой механики. Более простыми примерами являются двойной маятник (один маятник подвешен к опоре, а второй — к гире первого маятника); два маятника, связанные пружиной; горизонтальная нить с двумя шариками; две связанные ЬС-цепи (рис.
1.6) и т. п. Чтобы описать состояние таких систем, нужны две переменные, тр, и трь. Например, Рнс. Ьб. Системы с двумя степенями свободы. Колебанв» масс огра»неоны плоскостью черте:ка в случае сферического маятника перемепные тр, и ф,— это положения маятника в двух взаимно перпендикулярных направлениях. В случае связанных маятников тр, и трь соответствуют положениям каждого' маятника; для двух связанных ЛС-цепей тр, и трь представляют собой заряды на двух емкостях или токи в обеих цепях. В общем случае движение системы с двумя степенями свободы может иметь очень сложный вид, не похожий на простое гармоническое движение. Мы, однако, покажем, что для двух степеней свободы и при линейных уравнениях движения наиболее общее движение является су»терпозиг(ией двух независимых простых гармонических движений, происходящих одновременно.
Эти два простых гармонических движения (описаны ниже) называются нормальными нли собственными колебаниями или гармониками, а также нормальными модами колебаний нли просто модами *). *) В дальнейшем наряду с термином «гармоника» мы будем употреблять термин анормальная мода» или просто «модам Он характеризует как собственную частоту колеблющейся системы, так и ее пространственную конфигурацию.
(Придс ред.) 31 Создавая определенные начальные условия (определенные на- чальные значения ф„ фь и ь(»р,/Ж, Нфь/Ю),можно приготовить си- стему, колебания которой соответствуют только одной из мод. Свойства мод. Если существует лишь одна мода колебаний, то в системе совершается простое гармоническое движение. Все части системы колеблются с одной частотой, одновременно прохо- дя через положение равновесия (для которого ф=0). Например, движения»р,=А сова/иф»=Вейн а/илиф,=Асов а,/иф»=Всоза,ь ие могут соответствовать одной моде, так как в первом случае раз- личны фазовые постоянные, а во втором — различны частоты.
Пусть для одной моды (назовем ее мода 1) имеем »р, (1) = А, сов(а,/+~р,), »рь(1) =В,соз(а,1+~р,) = — ф,(/). в,, (41) 1 Здесь у обеих степеней свободы одна и та же частота и фаза. Для моды 2 движение имеет вид ф,(/) = А, соз(аьг'-(-~рь), »рь (1) = В» соз (а»1+ Ч~») = — ' ф, (/). ) Каждая мода имеет свою собственную характерную частоту: а, для моды 1 и а, для моды 2. Для каждой моды система имеет характерную «конфигурацию», или <форму», определяемую отношением амплитуд движений по двум направлениям: А,/В, для моды 1 и А,/В, для моды 2. Заметим, что для данной моды отношение ф,/»р постоянно и не зависит от времени.
Оно определяется в нашем примере отношениями А,/В, или А,/В„ которые могут быть либо положительными, либо отрицательными. Наиболее общим движением системы является (как мы покажем) суперпозиция, при которой движение содержит обе моды колебаний одновременно: ф, (1) = А, соз (а,(+ ~р,) + А, соз (а,(+ ~рь), ( »рь (1) = В» сов (а 1+ ьр )+В» соз (а»1+ ~р»). ( (43) Рассмотрим ряд примеров. П р и м е р 6. Простой сферический маятник. Этот простейший пример, к сожалению, не раскрывает всей сложности общего движения, определяемого уравнениями (43).
Дело в том, что обе моды, соответствующие колебаниям относительно направлений х и у, имеют одну и ту же частоту (а»=д//) и в данном случае мы получаем более простой результат, следующий из уравнений (39) и (40): х(1)=ф,(1)=А,соз(а,ь'+<р,), .а,=а, о(1)=»р (г)=В»соз(аьг+<р), а,=а,=а. ) (44) В таких случаях говорят, что имеет место «вырождение» мод, 32 а/ Рис. !.7. Двухмериын гарманичесний осналлигор. л) Равновесие; б) общий случай двггжениа. возвращающей силы зависит только от пружин К,. В этом можно убедиться, написав выражения для с„и г" и отбросив нелинейные члены.
Проще всего это сделать следующим образом: начнем с положения равновесия (рис. 1.7, о). Представим себе мысленно, что масса М получила небольшое смещение х в направлении +х. В этом случае возвращающая сила равна с"„=- — 2К,х, г"у = О. Теперь (из этого положения) дадим массе небольшое смещение у в направлении +у. Нужно выяснить, изменилось ли значение г"„. Пружины К, изменили длину на малую величину, пропорциональную ра.
Зтим изменением мы пренебрегаем. Пружины К, изменили длину на величину, пропорциональную д (одна стала длиннее, другая короче), но проекция их силы на направление х также пропорциональна х. Итак, иксовая составляющая силы от пружины К, пропорциональна произведению двух малых величин ух, и этой составляющей мы пренебрегаем. Таким образом, величина с„не изменилась. То же относится и к гу. Мы получили два линейных уравнения: (45) решения которых х ж А а соз (й))1+ р,), й), '=- 2Ка)М, ) у=В,соз(й),1+ар,), й)а,=2К,7М. ) (46) 2 Ф.
КрауФорд П р и м е р 7. Двухмерный гармонический ос)1иллятор. На рис. 1.7 показана масса М, которая может свободно двигаться в плоскости ху. В направлении оси х она соединена со стенками двумя невесомыми пружинами с коэффициентом жесткости К„а в направлении д — двумя другими невесомыми пружинами с коэффициентом жесткости К,. В случае малых колебаний, когда можно пренебречь чле- НаМИ Ха)аа, Уа!аа И ХУ!аа, МЫ ПОКажЕМ„ЧтО Х-КОМПОНЕНта ВОЗВРащаЮ- щей силы полностью обусловлена пружинами К„а йысоставляющая Из этих уравнений следует, что движения в направлениях х и у не связаны между собой и что каждое движение представляет собой гармоническое колебание с собственной частотой. Движение вдоль оси х соответствует одной нормальной моде колебаний, а вдоль осн у — другой моде.
Колебания вдоль оси х (первая мода) имеют амплитуду А, и фазу ~р„которые зависят только от начальных условий х(0) и х (0), т. е. от смещения и скорости в момент «=0. Аналогично для колебаний вдоль осн у (вторая мода) амплитуда В, и фаза трв зависят только от начальных значений у (0) и у (0). Нормальные координатьь Заметим, что хотя решения (46) и являются общими, они не кажутся столь же общими, как, напри- мер, решения (43).
В этом смысле У нам очень повезло. Естественный у выбор координат х и у вдоль осей пружин дал нам независимые уравнения (45), каждое из которых соответствует одной из мод. С точки зрения общих решений (43) это эквивалентно тому, что в выражении для тр, амплитуда А, равна О, Тйййй))чф%)ййй) а для арв равна 0 амплитуда В,. гт' .т Столь удачно выбранные нами координаты х и у называются норлаальными координатами. Предположим теперь, что мы не так удачливы (или предусмотРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
