Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ЬВ ПовоРот системы иооР«имат. рнтЕЛЬИЫ) И рабатаЕМ С СИСтЕМОИ координатх' и у', которая связана с системой х и у поворотом на угол я (рис. Е8). Из рисунка видно, что нормальная координата х представляет собой линейную комбинацию координат х' иу';тоже следует сказать и о другой нормальной координате у. Если бы мы работали с координатами х' и у' вместо координат х и у, то должны были бы получить два «связанных» дифференциальных уравнения с переменными х' иу' в каждом уравнении.
В большинстве задач, содержащих системы с двумя степенями свободы, не так легко «на глаз» найти нормальные координаты. Как правило, уравнения движения для систем с двумя степенями свободы — это два связанных уравнения. Одним из методов решения таких связанных дифференциальных уравнений является поиск новых переменных, которые являлись бы линейной комбинацией первоначальных, неудачно выбранных координат и которые давали бы не связанные, а разделенные уравнения движения. Такие новые координаты называются нормальными. В настоящем примере для получения нормальных координат нам нужно повернуть оси у' и х' на угол и до совпадения их с осями х и у.
В более общей задаче мы должны были бы использовать бо- 34 (49) (51) (52) в' — аг, аи аг, в~ — агг ' т. е (а„— в') (а„— в') — а„а„= О. (55) Левая часть уравнения (55) представляет собой определитель, составленный из коэффициентов линейных однородных уравнений (51) и (52): !" ' ° -"-=- а„— Ва ага а ",, ~ = (а„— в') (а„— в') — а„а„= О. (56) а21 22 Уравнение (55) или (56) является квадратным уравнением относительно переменной в'.
Оно имеет два решения: в', и в,'. Итак, 35 лее общее линейное преобразование координат, чем то, которое мо- жет быть получено простым вращением. Например, более сложное преобразование следовало бы применить в случае неортогональ- иости пружин на рис. 1.7. Общее решение для мод. Не рассматривая какую-нибудь кон- кретную физическую систему, предположим, что мы нашли два связанных линейных уравнения первого порядка не в нормальных координатах: а"х — „., = — а„х — а,гу, (47) — = — а Х вЂ” аггУ. гГгу Шг 21 (48) Рассмотрим колебание, соответствующее одной моде. Это зна- чит, что обеим степеням свободы х и у соответствует гармоническое колебательное движение, совершаемое с одной и той же частотой и фазой.
Таким образом, х =А соз(вг +гр), у = В соз(вт-(-гр), где в и В7А пока еше неизвестны. Мы имеем — = — 212х — = — вгу агх Ру Шг ' йР (50) Подставляя уравнения (50) в уравнения (47) и (48), после зле- ментарных преобразований получим два однородных линейных уравнения относительно х и у: (а„— в') х+а,гу = О, аг,х )- (аг, — в') у = О. Каждое уравнение, (51) и (52), дает отношение у/х: у вг — а„ (53) х а„ (54) х вг — агг Естественно, что должно выполняться следующее условие: мы нашли, что существуют два способа, которыми могут быть реализованы колебания с единственной модой.
Частота а, соответствует моде 1, а а, — моде 2. Геометрическую конфигурацию, или форму, моды 1 мы получим, подставив в одно из уравнений (53) или (54) величину а'=а,'. Таким образом, (~) =( — ) = — „'= ' ". (57) Аналогично ~ — ") =( — ) = — '= ' ". (576) После того, как найдены частоты мод а, и а, и отношения амплитуд В,,'А, и В,/А„мы можем записать наиболее общие выражения для суперпозиции двух мод: х(с)=х,(1)+х,(1)=Ассов(ооаг+~ра)+Аасоз(ааг-„'-ера), (58) у(7) = — ' А,сов (а,(+ ср,)+ — „' Ансон (ааГ+ 4~а) =- = В,сов (а„г+ ~ра)+ В, сов(а,(Ч-ср,).
(59) Заметим, что выбор постоянных А„ср„Аа и ер, в уравнении (58) накладывает ограничения на возможные значения постоянных в уравнении (59), так как должны удовлетворяться уравнения (57). Наиболее общее решение уравнений (47) и (48) состоит из комбинации двух независимых решений, которые удовлетворяют четырем начальным условиям для х(0), х(0), у(0) и у(0). Суперпозиция двух нормальных мод, для которых четыре константы: А„ ср„ йаа и А, — определяются из четырех начальных условий, п е ставляет собой такое р д решение. Таким образом, общее решение может быть ,ТТТ) ТТ)') Йй)1)))) й)з ' записано (хотя не всегда в этом возникает необходимость) как суперпозиция Ф, Ь мод.
Рис. 1 О. продольные «олсон«ил. П р и м е р 8. 77родольоа Раыеоаесне; б) общи« слуиаи движении. нОИ колебпннЯ даУХ свя- занных масс. Исследуемая система показана на рис. 1.9. 7(ве массы М могут скользить по поверхности стола без трения. Три одинаковые пружины невесомы, и каждая имеет коэффициент жесткости К. Предоставляем читателю найти общее решение для этой системы (задача 1.23), а здесь определим нормальные моды. Нам известно, что их должно быть две, так как колеблющаяся система имеет две степени свободы.
Каждый движущийся элемент (каждая масса) в моде совершает гармоническое колебание. Это значит, что все движущиеся элементы колеблются с одинаковой частотой, т. е. возвращая(ая ' сила, приходящаяся на единицу смещения и единицу массы, одинакова для обеих масс. (В п. 1.2 мы показали, что величина ы» равна возвращающей силе, приходящейся на единицу массы и на единицу смещения. Это справедливо для каждого движущегося элемента, вне зависимости от того, является ли он отдельной изолированной системой с одной степенью свободы или частью большой системы. При этом на движение накладывается только одно требование: оно должно быть гармоническим движением с определенной частотой.) В рассматриваемом примере обе массы равны.
Поэтому нам нужно найти такое состояние системы, для которого величина возвращающей силы на единицу смещения оставалась бы одинаковой для обеих масс. Посмотрим, приведет ли это условие к правильному результату. Допустим, что мы сместили обе массы из положения равновесия, когда пружины не растянуты, вправо на одну и ту же величину. Будет ли возвращающая сила одинаковой для каждой массы? Заметим, что при таком смещении длина центральной пружины относительно положения равновесия не изменилась, поэтому эта пружина не действует на массы. Левая масса будет стремиться к движению влево, потому что левая пружина растянута. Поскольку правая пружина сжата на ту же длину, на какую растянута левая пружина, она будет толкать правую массу с такой же силой влево. Таким образом, мы нашли одну моду! Мода 1: »р„(г) = ф» (т), со',.= К/М.
(60) Из выражения для частоты колебаний ы,'=К!М в формулах (60) следует, что колебания совершаются так, как если бы центральной пружины не было. Теперь попытаемся найти вторую моду. Из соображений симметрии можно предположить, что эта мода соответствует движению масс «а» и «Ь» в противоположные стороны. Если масса «а» смещена на расстояние ф, вправо, а масса «Ь» — на такое же расстояние влево, то на каждую из масс действует одинаковая возвращающая сила. Таким образом, для нторой моды»Р»-.— »Р,. Чтобы найти частоту ы„достаточно рассмотреть движение одной массы и определит~ для нее величину возвращающей силы, приходящуюся на единицу смещения и на единицу массы.
Рассмотрим левую массу «а». Под действием левой пружины она будет двигаться влево, и на нее будет действовать сила Р,— — К»Р,. Под действием правой пружины она также будет двигаться влево, и пружина действует на нее с силой г",=- — 2Кф„. (Двойка появляется потому, что левая пружина сжата на 2»р,.) Полная сила, действующая на массу «а» при смещении ее на»р„равна — ЗКф„а частота равна ЗК(М. Мода 2: ф, — — — ф», ы, '= ЗК?М. Обе моды колебаний показаны на рис.
1.10. Решим эту задачу иначе, используя метод нормальных координат. Нормальные координаты являются линейной комбинацией обычных координат. Вместо двух связанных линейных уравнений зг нормальные координаты позволяют получить два независимых уравнения движения. Из рис. 1.9, б видно, что для общего случая уравнения движения имеют вид М вЂ” „: = — Кф. + К(рь — р.), М н1а = К(тРО тР ) сттРь. (63) Легко заметить, что, сложив зти два уравнения, а затем вычтя тссрй Г лгдгбг б) Рнс.
Ь!О. Нормальные моды продольных колебаний. аа Мода с менылей частотой; б1 мода с большей частотой. одно из другого, мы получим два искомых независимых уравнения. Складывая (62) и (63), имеем М вЂ” „, (тр. + Ь) = — К(тр + Ю (64) Вычитая (63) из (62), получим М ""'„;, 4" = — 3К(р.— р,). (65) Уравнения (64) и (65) — независимые уравнения относительно координат тр,+тра и' тр,— трь. Их решения имеют вид тр, + ара == тра (г) =- Ассов (Отт(+ 1рт), йт,' =. К~М, (66) ф,— трь = =тр, (1) = А, соз (От,.Г.+ тр,), Ота =- 3К!М, (67) где А, и ср, — постоянные для моды 1, а А, н 1р, — для моды 2.
Мы видим, что тр,(1) соответствует движению центра масс, так как т~,(тр,-1-трь) определяет положение центра. (Мы могли бы разделить уравнение (64) на два и рассматривать тР1 как положение центра масс. Постоянный множитель ",, несуществен.) Координата тр, — зто величина сжатия центральной пружины или (что то же самое) относительное смещение двух масс. При достаточной сообразительности мы сразу выбрали бы координаты тР1 и тР„так как движение центра масс н «внутреннее движение» (относительное движение двух колеблющихся злементов) являются с физической точки зрении особенно интересными переменными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
