Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Глава 7. Волны в пространстве двух и трех измерении. Волны, рассмотренные в главах 1 — 6, имели одно измерение. В этой главе *) См. сноску на стр. 24. 13 мы переходим к трехмерным волнам и вводим вектор распространения К. Основой для рассмотрения электромагнитных волн являются уравнения Максвелла. (Электромагнитные волны в линиях передач, рассмотренные в предыдущих главах, имели исходным пунктом 7.С-цепи.) Рассмотрены также волны в воде.
Что можно опустить. Можно пропустить п, 7.3 (волны в воде), но мы советуем проделать соответствующие домашние опыты. Если преподаватель специально заинтересован в оптике, он может начать с п. 7.4 и продолжить изучение оптических явлений в главах 7, 8и9. Глава 8. Поляризация. Эта глава посвящена изучению поляризации электромагнитных волн и волн в «пружинах».
Особое внимание уделено физической связи между частичной поляризацией и когерентностью. Домашние опыты. Мы советуем выполнить по меньшей мере опыты 8.12, 8.14, 8.16 и 8.18. Глава 9. Интерференция и дифракция. Здесь мы рассматриваем суперпозицию волн, пробегающих различные пути от источника до детектора, и исследуем физический смысл понятия о когерентности.
Геометрическая оптика рассмотрена с точки зрения волновых представлений, т. е. как оптика пучков, падакицих на различные отражающие и преломляющие поверхности при условиях, когда дифракцня ограничена. Домашние опыты. Следует выполнить хотя бы один опыт по интерференции, дифракции, когерентпости и геометрической оптике. Мы рекомендуем также выполнить опыт 9.50 (квадрупольное излучение камертона). Задачи. Некоторые вопросы курса вынесены в задачи, например звездные интерферометры, включая недавно разработанный «интерферометр с большой базой» (задача 9.57). Аналогия между фазово-контрастным микроскопом и преобразованием амплитудно- модулированных радиоволн в частотно-модулированные обсуждается в задаче 9.59.
Домашние опыты. (Общие замечания). Следует делать по меньшей мере один опыт в неделю. Ниже перечислены опыты с волнами в воде, волнами в «пружинах» и со звуковыми волнами, а также дано описание набора для опытов по оптике.
Волны в воде 1.24. Мода «омывания» в сосуде с водой. 1.25, Сейшн. 2.31. Пилообразные стоячие волны в мелкой воде, 2.33. Моды поверхностного натяжения. 3.33. Пилообразные стоячие волны в мелкой воде. 3.34. Прямоугольные двухмерные стоячие волны. 3.35. Стоячие волны в воде. 6.11. Волновые пакеты в воде. 6.12.
Волновые пакеты в мелкой воде; приливные волны. 6.19. Фазовая и групповая скорости волн в глубокой воде 6.25. Резонанс в приливных волнах. 14 7.11, Закон дисперсии для волн в воде. 9.29. Дифракция волн в воде. Волны з «пружинит» 1.8. Связанные маятники, 2.1.
Зависил«ость частоты колебаний «пружины» от ее длины. 2.2. <Пружина» как ненрсрывная система. 2.4. Тембр ноты, издаваемой «пружиной». 3.7. Резонанс в «пружине» с затуханием. 3.8. Вынужденные колебания системы двух связанных маятников. 3.16. Механический паласовой фильтр. 3.23. Экспоненциальное проникновение волн в реактивную область. 4.4. Фазовая скорость волн в «пружине». 5.3. Переходные стоячие волны в «пружине», 8.14. Поляризация в «пружине».
Звук Некоторые до««ашике опыты по звуку требуют двух идентичных камер- тонов, лучше всего С523,3 или Л440. Их можно купить в музыкальном магазине или в магазине наглядных пособий. 1.4. Измерение частоты колебаний. 1.7. Связанные колебания ножовачных полотен.
1.12. Биения от двух камертонов. 1.13. Нелинейность уха; комбинационные тона, 1.18. Биения от слабо связанных неидентичных струи гитары. 2.4. Тембр ноты, издаваемой «пружиной». 2.5. Рояль как анализатор Фурье; нечувствительность уха к фазе колебаний. 2.6. Гармоники рояля; равномерно темперированный строй.
3.27. П!пряна резонанса для картонной трубхи, 4,6. Измерение скоростп звука с помощью во«тновых пакетов. 4.13. Резонатор нз бутылки (резонатор Гельмгольца). 4.16. Скорость звука в воздухе, гелии и природном газе. 4.26. Звуковой нмпеданс. 5.15. Эфлйектпвная длина трубки с открытым концом для стоянах волн. 5,16. Резонанс в картонных трубках. 5.17. Являстся лн звукоулаалнвающая система человека (барабанная пере- понка, нервы, мозг) фазочувствительным детектором? 5.18.
Измерение относительной фазы на двух концах открытой трубки. 5.!9. Обертон~ камертона. 5.3!. Резонансы в надувных шарах. 6.13. Музыкальные трели и полоса частот. 9.50. Дпаграмма излучения камертона; квадрупольное излучение. Оптический набор" ). Оп состоит из четырех небольших поляроидных пластинок (линейные поляризаторы), крутово~о поляризатора, пластинок л)4 и л!2, дифракционной решетки и четырех цветных фильтров (красныгг, зеленый, голубой и оранжевый).
Все эти компоненты описаны в тексте книги (линейные поляризаторы — стр. 367, круговой *) Такой набор приложен к американскому изданию. К сожалению, мы не смогли снабдить оптическим набором русское издание. Зтаг недостаток, однако, восполним. Полароидные и цветные фильтры можно приобрести в фотомагазине, а пластинки в 1)4 и 1)2 длины волны изготовить самим из тонких пластинок слюды или прозрачных пластиковых пленок. Способ изготовления описав в тексте книги.
Реплику дифракционной решетки можно приобрести в магазине наглядных пособий, но даже долгоиграющая пластинка может служить отражательной дифракцисивой решеткой для некоторых из описанных в книге опытов. (Приди рмЦ 15 поляризатор — стр. 380, задерживающие пластинки М4 и Х/2— стр. 376, днфракцноиная решетка — стр. 441).
В некоторых опытах вам будут нужны предметные или покровные стекла от микроскопа и источники света: лампа с «линейной» или «точечной» нитью накаливания (см. опыт 4.12, стр. 204), неоновая лампа. Большинство оптических опытов описано в главах 8 и 9. Их слишком много, чтобы перечислять здесь. Комплексные числа. При сложении синусоидальных колебаний применение комплексных чисел упрощает вычисления, но иногда затемняет нх физический смысл.
Поэтому в первой части книги комплексные числа не используются. Они появляются в главе 6 вместе с векторными диаграммами для гармонических колебаний, а в главе 8 (поляризация) комплексные числа широко используются. В главе 9 (интерференция и дифракция) комплексные числа используются мало, но преподаватель может применить нх для облегчения расчетов. Ряды Фурье (п. 2.3) и интегралы Фурье (пп. 6.4 и 6.5) излагаются без комплекс. ных чисел. ГЛАВА 1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОСТЫХ СИСТЕМ 1.1.
Введение Окружающий нас мир полон движущихся объектов. Их движение, в широком смысле, можно разделить на два класса в зависимости от того, остается ли объект вблизи некоторого среднего положения или такого положении нет. Примерами движений первого класса являются колебания маятника, вибрация струны скрипки„ колебания уровня воды в чашке, движение электронов в атомах, свет, многократно отражающийся от зеркал лазера.
В качестве примеров движений второго класса можно указать на скольжение хоккейной шайбы, движение импульса по длинному тросу при дергании за конец троса, волны океана, катящиеся к берегу, пучок электронов в телевизионной трубке, луч света, испущенный звездой и принятый нашим глазом. Иногда одно и то же движение можно отнести к любому из этих классов в зависимости от точки зрения на явление: так, волны океана движутся к берегу, но вода (и утка, сидящая на поверхности) совершает движение вверх и вниз, а также вперед и назад относительно некоторого среднего положения. Точно так же импульс смещения бежит по канату, но вещество каната колеблется относительно среднего положения. Мы начнем с колебаний. В главах 1 и 2 будут рассмотрены примеры свободного колебательного движения замкнутых систем, вызванного первоначальным внешним возбуждением. Такие колебания называются свободными или собспиеннами колебаниями.
Рассмотрение простых систем с одной или двумя степенями свободы (глава 1) явится основой для изучения свободных колебаний систем со многими степенями свободы (глава 2). Мы увидим, что движение сложной системы, имеющей много движущихся элементов, может быть представлено суперпозицией более простых движений, происходящих одновременно и называес мых модами *). Как бы ни была сложна система, мы найдем, что к) См. сноску ка стр.
31. 17 свойства каждой ее моды очень похожи на свойства простого гармонического осциллятора, и покажем, что для любой моды свободных колебаний системы сила, действующая на каждый движущийся элемент и отнесенная к единице смещения и единице массы, одна и та же и что все движущиеся элементы колеблются с одинаковой временной зависимостью соз(ы1+у), т, е. с одинаковой частотой сй и одинаковой фазовой постоянной ф. Любая система, которую мы будем изучать, описывается некоторой физической величиной, чье отклонение от равновесного значения зависит от координат и времени. В случае механических примеров (пусть движущиеся элементы — точечные массы, на которые действуют возвращающие силы) такой физической величиной является смещение массы в точке с координатами х, д, г от положе~на равновесия. Смещение описывается вектором др(х, и, г, 1).
Иногда мы будем называть эту векторную функцию волновой функцией. Она является непрерывной функцией х, у н г только в том случае, когда движение соседних элементов почти повторяет движение данного элемента. В случае электрических систем такой величиной является электрический ток в катушке пли заряд на пластинах конденсатора. В других примерах это может быть электрическое поле Е(х, у, г, 1) или магнитное поле В(х, у, г, 1). В последних двух случаях мы имеем дело с электромагнитными волнами. 1.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы Мы начнем с рассмотрения колебаний относительно среднего положения.
Если положение системы в любое время может быть описано единственным параметром, то система имеет одну степень Рис ЬЬ Системы с одной степенью снободы. Колебания маятника происходят а заданной плоскости. свободы. Прнмерытаких систем: маятник, колеблющийся в заданной плоскости, масса, связанная с пружиной, 1.С-цепочка (рис.
1.1). Действительно, положение маятника может быть определено углом отклонения нити маятника от вертикали тр. Для ЕС-цепочки таким параметром может служить величина заряда на емкости.(Маятник, способный колебаться в любом направлении подобно гире, подвешенной на нити, имеет две степени свободы; нужны две координаты, 18 чтобы задать его положение. Маятник в стенных часах закреплен так, что может качаться только в определенной плоскости и поэтому имеет одну степень свободы.) Для всех систем с одной степенью свободы смешение <движущегося элемента» от положения равновесия определяется одной и той же временнбй зависимостью (называемой гармоническим колебанием): )р(1) = А соз(е»1+ ~р).
Для колеблющейся массы ф соответствует смещению массы от положения равновесия; для ЬС-цепи ф — это либо ток в индуктивности, либо заряд на обкладках конденсатора. Чтобы быть более точными, мы должны сказать, что временная зависимость (1) не дает правильного описания колебаний с очень большой амплитудой. (Так, при больших углах отклонения маятника уравнение (1) является лишь грубым приближением; для больших растяжений реальной пружины возврающая сила уже не будет пропорциональна смещению и движение также не будет описываться уравнением (1); достаточно большой заряд на пластинах конденсатора вызовет его пробой, произойдет проскакивание искры между пластинами, и временное поведение заряда ие будет удовлетворять уравнению (1).) Терминология.
В соответствии с уравнением (1) мы будем использовать следующую терминологию: А — положительная константа, называемая амплитудой; ь» — углоеал частота, имеющая размерность рад!сек; ч=е»!2п — частота, измеряемая в герцах (гц) или в циклах в секунду; величина, обратная ч, называется периодом Т и измеряется в секундах: (2) ~р называется фиговой постоянной или фазой колебания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
