Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Найти простое фи- зв зическое истолкование нормальных координат часто не так просто. Обычно мы будем иметь дело с нашими первоначальными координатами, даже после того, как найдем моды, потому что физический смысл этих координат может быть более понятен. Мы нашли нормальные координаты нашей задачи трт и ф,. Теперь вернемся к старым координатам ф, и ф». Решая уравнения (66) и (67), находим 2тр, = А, соз (й)т1+ )ра) + А, соз (й),1 + ср,), (68) 2Ф» =- Ат соз (й),1+ тра) — А, соз (й)а1+ ч)а). (69) Заметим, что если движение соответствует моде 1, тоА,=О и из уравнений (68) и (69) следует, что тр»= — тр,. Лналогично для моды 2 имеем А,=О и т()»= — т(),.
К этим же результатам мы пришли и раньше (см. уравнения (60) и (61)). П р и м е р 9. Поперечные колебания двух связанных масс. Система показана на рис. 1.11. Предположим, что колебания происходят в плоскости листа бумаги. У системы две степени свободы. а в М М а) ТЛТ) )Е'Д Т»И)е ) й Гй) гт ) й ~~~% 1») а) (сШа Рис. 1.)!. Пооеречныс «оиебания. а) Равновесие; б) общий случай даимевия: и) мода с меньшей частотой; а) мова с большей частотой.
Три невесомые одинаковые пружины имеют начальную длину (в иерастянутом состоянии) а„которая меньше, чем длина а, соответствующая положению равновесия масс. Когда система находится в состоянии равновесия (рис. 1.11, а), натяжение пружин равно Т,. Симметрия системы позволяет легко догадаться о ее модах. Они показаны на рис. 1.11. Более низкая мода (мода с меньшей частотой, т. е. с меньшей величиной возвращающей силы на единицу смещения и на единицу массы, для каждой из масс) имеет такую форму (рис.
1.11, в), при которой центральная пружина не меняет своей длины. В этом случае частоту можно определить, рассмотрев поведение одной из масс, если помнить, что возвращающая сила образуется только той пружиной, которая прикреплена к стене. Покажем, что как для приближения «пружнньм (ндеальной пружины с исчезающе малой начальной длиной), так и для приближения малых колебаний (т.
е. когда смещение массы мало по сравнению с а) смещение ф, левой массы приводит к появлению возвращающей силы Т,(ф,(а) со стороны левой пружины. Поэтому для моды 1 возвращающая сила, приходящаяся на единицу массы и на единицу смещения, равна: мода 1: ы«= — ', — ь=+ 1, (70) Покажем, почему это так. Начнем с приближения «пружины» (п.
1.2). В этом приближении натяжение Т больше Т, в 1!а раз, где 1 — длина пружины и а — длина пружины в положении равновесия (рис. 1.11, а). Растяжение пружины приводит к появлению поперечной возвращающей силы, равной натяжению Т, умноженному на синус угла между осью наклонной пружины и осью пружины, находящейся в положении равновесия, т. е. возвращающая сила равна Т(ф,Я). Но Т=Т, (17а). Таким образом, возвращающая сила Т=Т,(ф,!а), что и дает уравнение (70). Теперь рассмотрим приближение малых колебаний (п. 1.2). В этом случае можно пренебречь увеличением длины пружины, так как она отличается от длины а в равновесном положении лишь на величину порядка а(фма)', по этой же причине пренебрегаем н увеличением натяжения.
Таким образом, смещению ф, соответствуег натяжение Т,. Возвращающая сила равна натяжению Т„умноженному иа синус угла между осью пружины при смещении ф, и осью пружины в положении равновесия. При малых колебаниях угол (в рад) и синус угла почти равны и определяются величиной ф,)а. Таким образом, возвращающая сила равна Т,(ф,(а). Такой же результат дает уравнение (70).
Рассуждая подобным образом, можно получить частоту для моды 2 (рис. 1.11, г). Рассмотрим левую массу. Как было показано только что, левая пружина действует на массу с силой Т,~Ма. В случае моды 2 на массу будет действовать еще сила со стороны центральной пружины. Эта поперечная сила будет в два раза больше, чем сила со стороны левой пружины, так как при одном н том же натяжении Т, угол, составленный центральной пружиной с осью равновесия, в два раза больше.
Полная возвращающая сила, приходящаяся на единицу смещения и единицу массы, будет равна: мода 2: а«'= — +Я= м, — = — 1. (71) Т«2Т«ЗТ« та Заметим, что в приближении «пружины», когда натяжение Т;=К(а — а,) можно считать равным Т«=Ка, частоты мод попереч- 40 ных колебаний [уравнения (70) и (71) ! совпадают с частотами мод продольных колебаний !уравнения (60) и (61) !. Таким образом, мы имеем случай вырождения.
Оно не возникает при рассмотрении малых колебаний, если не пренебрегать аз по сравнению с а. Если бы моды нельзя было так легко угадать, следовало бы написать уравнения движения двух масс «а» и «Ьз и иметь дело с этими уравнениями, а не с соображениями, основанными на визуальном рассмотрении физической системы. (См. задачу 1.20.) Пример ' 10. Две связанные с" ' д 1.С-«)елочки, Рассмотрим систему, по- 121 )22 -(з~ казанную на рис. 1.12. Найдем уравнения «движения», в данном случае движения зарядов. Злектродвижущая сила (э. д. с.) на левой индуктивности равна 1, с(1,1Ж. Положительный заряд Я, на левой емкости образует э.
д. с, С з«1„которая стремится увеличить 1, (при нашем выборе знаков). Положительный заряд Я, на средней емкости образует э. д. с. С 1Я„которая стремится уменьшить 1,, Таким образом, имеем Рис. 1.1Ь Две связанные 1.С.иепочки. Показано распределение зарядов и токов в общем случае. Стрелками по. казано положительное направление токов. Аналогично 1.
— »=С %,— С 'О, Так же, как и в п. 1.2, будем рассматривать поведение системы, используя понятие тока, а не заряда. Поэтому продифференипруем уравнения (72) и (73) по времени: (75) Воспользовавшись законом сохранения заряда, получим (76) отз з + (1» 1а) вч 1.— „„"= — С- (1„— 1.) — С- 1„. (78) Имеем два уравнения движения и поэтому будем искать две нормальные моды. Мы можем попытаться угадать эти моды, но можем Подставив уравнения (76) в (74), будем иметь связанные уравнения движения (77) задачу 1.21). Результат, кото- также применить общий метод (см. рый мы получим, имеет вид: мода 1: 1,=1», (79) мода 2: 7,= — г'», Заметим, что для моды 1 центральная емкость не получает заряда и ее можно убрать.
Движение зарядов при этом не изменится. Для этой моды заряды Я, и Я» всегда равны по величине и противоположны по знаку. Для моды 2 заряды Я, и Я, равны по величине и по знаку, а заряд !',!2 имеет противоположный знак и величину, в два раза большую.
й(ы специально выбрали три примера (8 — 10): продольные колебания (рис. 1.9), поперечные колебания (рис. 1.11) и связанные 1,С-цепи (рис. 1.12), так как эти системы имеют одинаковую пространственную симметрию и их уравнения движения н нормальные моды имеют одну и ту же математическую форму. Эти системы рассмотрены еше и потому, что, обладая двумя степенями свободы, они являются естественным продолжением простых систем с одной степенью свободы, которые мы рассматривали в примерах 2 — 4 в п. 1.2 (см. рис.
1.3 — !.5). Во второй главе мы обобщим зтн три примера для неограниченно большого числа степеней свободы. 1.5. Биения Во многих физических явлениях движение представляет собой суперпознцию двух гармонических колебаний, имеющих различные угловые частоты ы1 и ы«.
Эти колебания могут, например, соответствовать двум нормальным модам системы, имеющей две степени свободы. Примером другого рода будут гармонические колебания, вызванные внешними силами. Источниками таких внешних снл могут быть, например, два камертона различной частоты. Каждый камертон издает свою собственную «ноту», которая распространяется в воздухе как звуковая волна. Движение воздуха, воспринимаемое нашей барабанной перепонкой, будет суперпозицией двух гармонических колебаний.
Во всех этих примерах математика одинакова. Для простоты допустим, что оба колебания имеют одинаковую амплитуду и одинаковую фазовую постоянную, которую положим равной нулю. Запишем суперпозицию »Р двух гармонических колебаний ф1 и »Р,: »р1 =' А Соз ы11, 1111 = А соз 022 г, (80) ф=ф1-1-»р, = А созе,(-1-Асов«4,1.
(81) Модуляция. Перепишем уравнение (81) в несколько ином виде. Введем два понятия: «средняя» угловая частота ы, и угловая частота «модуляции» ы„«21 1 1 СР '2 ( 1 ~ 2)2 2202 З ( 1 2)' (82) 42 Сумма и разность этих частот равны ~~« ~~«»+ ы«»« (83) Теперь выразим суперпозицию (81) через частоты «э,» и ы„„: ф = А соз ы, г+ А соз «э, т = А соз (ю,»г+ ы„„1) + +Асов(«э,рг — ы„,„«) =12Асоз«я„,«г)совы„1, т. е. ф = Ам««(Г) соз «»с»1 (84) где А„,„(Г) = 2А соз со„„„Г. (85) й(ы можем рассматривать уравнения (84) и (85) как колебания, происходящие с угловой частотой ы, и амплитудой А„,„которая зависит от времени в соответствии с формулой (88).
Запись супер- позиции двух колебаний (81) в виде (84) и (85) удобна, если ы, и ы» близки по величине. В этом случае частота модуляции мала по сравнению со средней частотой: « ~««ям»«(~ «аср и амплитуда модуляпии А„„(1) будет лишь незначительноменяться в течение нескольких «быстрых» колебаний созе, й поэтому супер- позиции (84) будут соответствовать почти периодические колебания с частотой ы, . В том случае, когда А„„,— константа, выражение (84) точно соответствует гармоническим колебаниям с угловой частотой «э,р. Если ы, мало отличается от «э„то суперпозицию двух (точно гармонических) колебаний с частотами ы, н ы«называют «почти гармоническим» или «почти монохроматическим» колебанием с частотой «э, и с очень медленно меняюшейся амплитудой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
