Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так ли эта? Приведем по крайней мере часть объясненил. Пусть р(Г) — звуковое давление снаружи барабанной перепонки, д(Г) — реакцил барабанной перепонки (т. с. ее смещение); д(В может быть реакцией мембраны во внутреннем ухе — в этом мы точно не уверены. Мы хотим понять, почему реакция д(Г) нашего слухового аппарата не надчинлетсл принципу ерперпазиции, т. е. почему реакция д(т) содержит не только частоты тг (А440) и те (С523), но также и третью частоту те (жр349). Объяснение закшочается в нелинейности. (Мы уже знаем, что принцип суперпозиции справедлив дли линейных систем, и ниже мы опять убедимся в этом.) Предположим, что реакция уха д(1) является нелинейной функцией звукового давления р(1): ц (1) = сер (1)+ Бр*(1)+ ур' (1).
Пусть р(Г) — суперпозиция двух различных гармонических колебаний (образованных двумя камертонами). Для простоты мы считаем, что амплитуды колебаний одинаковы, а фазы равны нулю. Будем также считать, что в выбранной системе единиц амплитуды равны единице. Имеем р (т) = соз Од! + соз ьдд 1 . Реакция д(1) барабанной перепонки равна у (1) =- а (соз ад!+ сов ы 1]+(1 (соз ыд( + сов ыд(]э+ у! соз ы (+ сов ыд!]~. Если р и у равны нулю, то говорят, что реакция д линейна. (Она подчиняется в этом случае совершенно линейному закону Гука для нружины.) Линейная реакция у(1)=а(соз од!+сов юдг) является суперпозицвей гармонических колебаний с частотами ыд и ыд.
(В этом случае вы не слышите Р!) Член с коэффициентом ]) определяет квадратичную нелинейность, а следующий член — кубическую. Мьд хотим представить реакцию д(Г) в виде суперпозиция гармонических колебаний. Для этого нужно несколько тригонолдетрических тождеств, которьде мы сейчас вьшедем. Пусть 1(»)= — соз х. Очевиддю, что соз (х+у)1-соз (х — у)=- =2 сеа х соз у, т. е. 1 1 / (х) /(у) = — ? (х+ у) + —, 1д (х — у). Используем этот резулыат для вывода равенства (необходимого для анализа кубической нелинейности) (Г(х) д'(У)]Г(а) = — ] 2 Г(»+У) + 2 Е(х — у)~ Г (г) =- Г1 1 ! 1 = — ? (х+ у) Г (3) + — ) (х — у) Г (х) =— 1 ! 1 1 = — Г(х-~-у+»)+ — Г (»+у — х)+ — 1' (» — у+»)+ — Г(х — у — х).
4 4 4 4 теперь займемся квадратичным членом реакции д(г). полагая О,==-.ы,г, Одев ==ыдй имеем (для квадратичной нелинейности) ( з,г+ з~,г) =у(8,)+Г(8,)] = =-() (О ) ) (Од)]+]2) (О ) ) (8Д]+()(Оа] ) (Од)] = ~ — ) (О, + 0,) + — ) (О, — 0,)1 + Г! 1 Г1 1 +() (О +8~)+7 (Π— ОдИ+ ~ — 1(8 +Од)+ — ?(Од — 0 )~. Таким образом, в квадратичный член реакции входят частоты 2юд, О, ыд-)-юд, ю,— ы и 2ы„которые называются комбинационными тонями нля комбинационнылди частотами. Кубический нелинейный член реакции имеет вид (созда!+совы 1)з — -- ]) (О ) ф) (Ое)]з =)а (0)+3/з(0 ) Г (О )+ + 3] (8,) )а (00 + ]з(0,), Используя равенство дли Кх])(у))(а), мы виднлд, что член )а(0д) является суперпознцней гармонических колебаний с частотами Здо, н ыб член )д(Од)Г(0д) определяется суперпозицией частот 2одд+ым 2ы,— ю, н од,; член 7(0д)?'(Оа) является суперпозпцией частот 2ы,+ш„2ыа — ид н ыд! чледд Гз(0д) является суперпознцней частот Зюд и ю .
Таким образом, кубический член реакции является суперпознцией гарыонических колебаний с частотами Зад„до,, 2юд+т„2ыдй шд, ыд и Зыз. Вервелдся теперь к нашему опыту. Простые арифметические выкладки показали нам, что Е не связано с квадратичным нелинейным членом, а определяется вкладом кубического нелинейного члена, а именно частотой 2ю,— ю.,: тд = А440, тд = С523 2тд — тд — 880 — 523 = 35?.
Лля равномерно темперированного строя частота ноты Е равна 349 гц. Таким образом, 2т, †достаточно близко к Р. Теперь рассмотрим интересный вопрос. Связана ли причина кубической нелинейности с барабанной перепонкой или же с резонирующей основной перепонкой? й~фь в Мь — „,, = — Мь( фь — К(фь — фл) 54 Автору кажется, что кубическая нелинейность не связана с барабанной перепонкой, и вот по каким соображениям; отодвигая два камертона от уха, так что интенсивность, получаемая от каждого камертона, уменьшается, я все равна слыш! ноту Г. Если бы это происходило из-за нелинейной реакции барабанной перепонки, то громкость этой ноты падала бы с расстоянием значительно быстрее, чем громкость иот т„ и чм Кроме того, дсажен был бы присутствовать нелинейный вклад с частотой 2« — т«= !046 †440=606киполови расстояния между Р и Р « но эта нота не слышна.
Все это еще не доказывает, что за явление ответственна основная перепонка, однако ставит под сомнение влияние барабанной перепонки. Могут ли здесь играть какую-либо роль нервные окончания основной перепонки, автору неизвестно. (Он обнаружил этот эффект случайно, работая над домашними опытами. Возможно, этот эффект хорошо известен и понятен.) Оптические гармоники. Возможна образование оптических гармоник (а также суммы и разности частот, т. е. комбинационных частот). Для этого нужен незначительный нелинейный вклад в диэлентрическую постоянную прозрачного вещества.
На обложке журнала «5с(еп1!Вс Ашег!сап» за июль 1963 г, помещена красивая, фотография, на которой показан пучок красного света (с длиной волны 6940 Л), падающий на кристалл. С противоположной стороны кристзлла выходит пучок синего света (с длиной волны 3470 А). Уменьшение длины волны в два раза соответствует удвоению частоты. Причиной такого удвоения является квадратичная нелинейность. Посмотрите статью <Взаимодействие света со светом» [Тйе )п1егасНопо( Е!951 ыйй Е!651, Л. А. О ! о г д гп а ! п е, 5с(еп(!!!с А»пег!сап (Арг!1 1964).) 1.14. Суперпозиция начальных условий дает суперпозицию соответствую<пик движений.
Предположим, что а и Ь вЂ” два связанных осциллятора. Рассмотрим три различных начальных условия: !. а и Ь начинают движение с амплитудами 1 и — 1 соответственно. 2. а и Ь начинают движение с амплитудами 1 и !. 3. а и Ь начинают движение с амплитудами 2 и 0 соответственно.
Таким образом, начальные условия 3 являются суперпозицией начальных условий 1 и 2. Покажите, что движение в случае 3 является суперпозицией движений!и2, 1.15. Докажите задачу !.14 в общем случае, когда в начальные условия наряду со смещением входят скорости. 1.16. Докажите справедливость принципа суперпозиции для неоднородных линейных уравнений, приведенных после уравнения (36). Докажите, что принцип суперпозиция непримеиил< к нелинейным неоднородным уравнениям.
1.17. Нзпишите три уравнения для системы с тремя степени»~и свободы, аналогичные уравнениям (4?) и (46). Покажите, что для определенной моды колебаний имеет место уравнение типа <определитель «ю0». Оно аналогично уравнению (56), ио получается из определителя третьего порядка. Покажите, что это дает уравнение третьей степени относительно переменной ю«. Поскольку кубическое уравнение имеет три решения, то существуют трн моды. Рассмшрите случайН степеней свободы и докажите, что для такой системы существует Аг мод.
1.18. Опыт. Биения от слабо связанных неидентичных струн гитары. Настройте две самые низкие струны гитары на одинаковую частоту. Шипните одну струну и наблюдайте за второй. (Струны должны быть настроены на одну и ту же частоту как можно точнее. Показателем наиболее точной настройки является получение максимальных биений в этом опыте.) Теперь щипните другую струну. Передаегся ли энергия полностью от одной струны к другой в процессе биений? Можно ли добиться полной передачи энергии, улучшив настройку? Опишите, что вы на.
блюдаете. Как это объяснить? См, задачу 1,19. 1.19. Неидентичные связанные маятники. Рассмотрим два маятника, а и Ь, с одинаковой длиной нитей подвеса 1, но с различными массачи грузов Мо и Мь. Маятники связаны пружиной, прикрепленной к массам и имеющей коэффициент жесткости К. Покажите, что уравнения движения для малых колебаний имеют вид Мо 11« = Мо 1 фа+К (фь фв) Решите эти уравнения для двух мод способом нормальных координат. Покажите, чт»» ф»=(Мафа+Мэфь)/(Ма+Ма) и ф«=фа — фь являются нормальными координатамн.
Найдите частоты и конфигурации мод. Каков физический смысл координат ф, и ф„? Найдите суперпознцию двух мод со следующимк начальными условиями: при /= 0 оба маятника имеют нулевую скорость; маятник а имеет амплитуду А, и амплитуда маятника Ь равна нулю. Пусть Е равно полной энергии, которую имеет маятник а в момент /=О. Найдите выражения для Еа(/) и Еь(/).
Предположим, что связь слабая. Будет ли энергия маятника а полностью передаваться маятнику Ь в течение цикла биений? Возможно ли, что энергия передается полностью, если первоначально вся энергия была у легкого маятника, и не передается полностью в противоположном ш»учае? О т в е т. в,"= —, в,= — +К[ — + — ); у [, Ма '1(ь ф =А [ — созв,/+ — созв,/), фь=А — (сов в,/ — созв«/), Ма а — [ М где М=-М,+Мь. Введя частоты в„од —— '/«(⫠— в,) и о»,р= /»(в»+в»), можно написать фа=-(А соз в„,д/) сов в,р/+ А з!п о»„„д/) з)п в,р/, / Ма Мь фь = (2А — шп»омод /) з»п в,,/.
Ма Энергию каждого маятника легко найти, если связь между маятниками невелика. В этом случае можно пренебречь изменениями Мп в„,д/ или соз в„од/ за один цикл быстрых колебаний, происходящих с частотой в»р, так как в„од((ю«р. Мы также пренебрегаем энергией, запасенной в любой момент времени а пружине. Таким образом, /2М«Мь ! ЕЬ=Е ( а ) [1 — сов (вл — в») /[ [ Ма+ Мь+2М«Мь с»з (о»«в») /1 а— Мз Итак, энергия маятника а (т. е. маятника, у которого в момент времени /=0 была вся энергия) изменяется сннусоидально с частотой биениа, колеблясь между максимальным значением Е и л»инимальным значением [(Ма — Мь)/М)«Е. Энергия маятника Ь колеблется с частотой биений между минимальным нулевым значением и максил»альным звачением (4МаМь/Мл)Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
