Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

2А). 2.3. Общий случай движения непрерывной струны и фурье-анализ Наиболее общее движение непрерывной струны (с закрепленными концами, совершающей поперечные колебания вдоль оси х) будет суперпозицией всех мод 1, 2, 3,,. с амплитудами А „А„Аш... ') В нннге наряду с германом «днсперснонное соотношение» для обозначения зависимости м от й употребляется равнозначный термин «закон дисперсии», (Прим. ред.) "*) Згнмн термннамн мы переводим термины «попщгзрегзгче тат«ез» н «спзрег»1уе рашен».

(Прим. Рнд.) 3» 67 и фазовымн константами гр„ ~р„ «р„..л ф(г, т) = А,з[пйг сов(ь»,«+ч»)-~-А»з!пй»гсоз(«ь»(+~у«)+..., (37) где й„выбраны так, чтобы удовлетворять граничным условиям прн г=-0 и г=)., а частота ы„связана с волновым числом й„дисперсионным соотношением «ь(я). Амплитуды А„и фазы «р„, которые определяют движение для всех положений г и моментов времени (, вычисляются из начальных условий, т. е. по смещению ф (г, !) и скорости о (г, г) =дф(г,!)lд! каждой точки в момент времени »=-0.

Движение о»яруны, закрепленнои на концах. Допустим, что в момент времени г(0 при помощи шаблона струне была придана определенная форма 7' (г). Затем в момент времени г= — 0 убираем шаблон, позволяя струпе двигаться. При 1=О каждый элемент струны имеет свое смещение ф (г, 0), равное [(г), и скорость, равную нулю; и-й член в выражении для скорости [т. е, в производной по времени от (37) [ пропорционален гдп (ь»„г + «е„) или э[п «р„для г = О. Таким образом, мы можем удовлетворить равенству о (г, 0) =-0 для всех г, положив каждую фазовую константу ~р„равной либо О, либо и. Однако выбор фазовой константы «р,=п (например) равносилен перемене знака перед А,. Поэтому мы удовлетворим этим начальным условиям, положив все фазовые константы равными нулю, но допуская, что амплитуды А„ А, и т. д.

могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Тогда для нулевой начальной скорости о (г, О)=0 имеем ф(г, !)=А,з[пк,гсоз<ь,(+А,з[пк»гсозь»»!+... (38) и при г=О !р (г, 0) = ~ (г) = — А, з[п й,г + А, з[п я,г + .. (39) Как мы увидим ниже, уравнение (39) определяет амплитуды А „А„... Ряды Фурье для функции о нулями на концах, Функция ! (г) может быть очень общей функцией от г. Единственное ограничение, которое накладывается на 7(г), — это обращение в нуль на концах, т.

е. 7 (г)=0 при г=-0 и г=-1.. Потребуем также, чтобы 7 (г) не была «ломаной» функцией в «малом» масштабе. Это необходимо потому, что волновая функция ф (г, !) — медленно меняющаяся функция от г. Функция 7 (г) должна быть достаточно гладкой, для того чтобы мы смогли придать ее форму струне и для того чтобы струна подчинялась дифференциальному уравнению, полученному с помощью «непрерывного» приближения.

Таким образом, мы нашли, что любая разумная функция 7(г), которая обращается в нуль в точках г= — 0 и г=7„может быть представлена рядом (39), т. е. суммой синусоидальных колебаний. Выражение (39) называется рядом Фурье или разложением Фурье. В данном случае мы имеем дело с разложением Фурье для функции, равной нулю на концах.

В общем случае разложение в ряд Фурье применимо и к более широкому классу функций. Теперь мы найдем этот более широкий класс функций, ба Наша функция 1(г) должна описывать форму струны, и поэтому она была определена между г=О и Ь. Однако функции з)п й,г, з(п2йзг, а)п Зй,г и т. д., которые составляют ряд (39), определены для всех г от — оо до+оп. Заметим также, что з1п йгг периодичен относительно г с периодом Хг. Это значит, что значения з!пй,г при любом заданном г и при а+аз совпадают.

(В нашем примере величина периода Хг равна 2Ь.) Легко видеть, что функция з)п 2йзг также периодична по г с периодом Хг. (Она делает два цикла на длине Х„ поэтому она периодична и с вдвое меньшим периодом Ч,Х,.) Более того, все синусоидальные функции в (39) периодичны по г с периодом Хг. Поэтому и все выражение периодично с периодом Лз. Теперь можно расширить класс функций, для которых справедливо разложение Фурье в виде уравнения (39): все периодические функции г(г) б'г/ гу г- Л ажй -Ь й г Х л Рнс. 2.».

Образование псрноднческой 4ункцнн е (г> с периодам м=йе пз функпнн 1 (гь исчезающей на концах отрезка «=й н г=ь с периодом Х„которые равны нулю при г=О и г=-Хг/2, могут быть разложены в ряд Фурье„имеющий вид (39). Данная функцпя ~ (г) определена только между точками г=О и 1. и равна нулю в этих точках. Мы можем образовать периодическую функцию, которая будет иметь такое же разложение Фурье, что н г(г), по следуюшему правилу: между точками г=О и (. функция г" (г) совпадает с ) (г). Между Е и 2Е функция г(г) является кперевернутым (вокруг оси г) отображением> ) (г) в азеркале», расположенном в точке г — 1,. Теперь то, что мы определяем как г (г) на интервале от г=О до 21., продолжим на последовательные интервалы длиной 2Ь, чтобы определить г" (г) для всех г.

Результат этих операций показан на рис. 2.5. Фурье-анализ периодической функиии от г. Здесь мы еще больше расширим класс функций, для которых можно написать разложение Фурье. Уравнение (39) соответствует функциям, которые периодичны с периодом )ч» и равны нулю в г=О и Хг/2. Однако обращение в нуль функции в этих точках есть результат выбора граничных условий, которые заключаются в том, что струна закреплена на обоих концах. Без таких граничных условий мы получили бы решение для колебаний струны, которое включало бы в себя не только члены з(ппнзг, нотакже члены соз пй,г, Эти функции также периодичны 69 на г с периодом Х!, но не равны нулю при г=О и Л!/2.

(Они соответствуют колебаниям струны с одним или двумя свободными концами). Включая в ряд Фурье и эти функции, мы приходим к очень общему классу функций, для которых может быть написан ряд Фурье: все периодические функции Р (г) с периодом Х„т. е. функции, удовлетворяющие условию Р (г+Х!)=Р (г) для всех г, могут быть разложены в ряд Фурье, имеющий вид 2п 2п Р(г) == '5"„~А„з|пп —.— г-,'-В„созп — 'г~ х, 1 л — ь 2п 2п = В + ~ !1 Л„з)п п —, г + В„п —.' ~=! ! 1 =В,+ ,"~', Л„з1ппй,г+ ~э~ В„созпй!г.

(40) л=! и=! Выли!слеп!!е коэффициентов ряда Фурье. Процесс нахождения амплитуд, или коэффициентов Фурье В„А„и В„(для всех п), для заданной периодической функции называется фурье-анализом. Покажем, как найти эти коэффициенты. Начнем с В,. Проинтегрируем обе части уравнения (40) от г=г, до г=г„где г, — любое значение г, а г,=г!-,'-Х!. Мы предполагаем, что функция Р (г) известна, поэтому интеграл от г, до г, для левой части уравнения (40) может быть найден. Теперь рассмотрим интеграл от правой части (40). У нас бесконечное число членов, и поэтому нужно рассмотреть бесконечное число интегралов. Первый член справа равен В,; при интегрировании от г, до г, получаем ~ В, !(г = В, (г, — г,) = В,), (41) г! Все остальные члены при интегрировании по периоду дадут нуль.

Действительно, на протяжении периода функции з1п пй,г и соз пн!г одинаковое число раз отрицательны и положительны, поэтому ~з)ппй,гАг=О, ~созпй!гг(г=О. и и Таким образом, мы нашли коэффициент В,. Он равен В, = — ~ Р (г) !(г. (42) л, Теперь покажем, как найти коэффициент А, где т — некоторое частное значение коэффициента п. Умножим обе части уравнения (40) на з1п тй!г и проинтегрируем'правую и левую части по периоду функции Р (г).

Интеграл в левой части может быть вычислен, так как функция Р (г) известна. Рассмотрим интеграл в правой части. 70 Первый член — это интеграл от произведения В, на яппй,г. Он равен нулю, так как включает т полных периодов яп пй,г. Осталось вычислить интегралыот произведений яппл,гз!птй„г и сов!Й,гх х яп пй,г для п=1, 2, ...

Рассмотрим член, для которого п=т. Среднее значение квадрата з!и'туг,г на одном периоде длиной /, равно '/, (Х, содержит т полных периодов функции яп пй,г). Таким образом, при интегрировании правой части (40) появляется член '/, А„Х,, Все остальные члены при этом равны нулю. Это видно, например, из следую!пего. Рассмотрим интеграл от яп п/г,г яп т/г,г, когда тэьп. Подынтегральная функция может быть записана в виде ! ! з!п пА,г з!от/!,г = — соз (и — т) /г,г — 2 сов (и+т) йг. (43) Так как (и — т) и (и+т) — целые числа, то каждый из двух членов столько же раз положителен на периоде ) ь сколько и отрицателен.

Поэтому интеграл от этого произведения равен нулю (за исключением случая п=-т, который мы уже рассмотрели). Аналогично, интеграл от произведения соз и/!„г яп тн,г будет равен нулю, так как ! ! соз л/! г э!п туг = — 3!п (т+и) /г г+ — 3!п (т — и) /Тг. Таким образом, ! —,А„Х,=- ') з!пт/г,гу(г)!/г.

и Умножив обе части выражения (40) на соз и/г,г и проинтегри- ровав на периоде Х„получим выражение для В„: т, — В 7 =~созтл1гг (г)!/г. (40) и Еоэффи!/иенты Фурье. Выпишем теперь полученные результаты, выражаемые равенствами (40), (42), (44) и (45): Здесь г, — любое значение г. Равенства (46) показывают, как любую периодическую функцию от г с периодом Х! представить в виде ряда Фурье. 77рлмоугольные волны. В качестве примера разложим прямоугольную волну в ряд Фурье. Пусть функция ! (г) обращается в Ууг/ нуль в точках г=-0 и г=Е и й равна+1 для О(г(Е.

(Вточр ь г-: ках г=-0 и г=Е функция перестает быть непрерывной, ЮЛ Ю Л а7 Г'г/ 7 л'дй т, е, не удовлетворяет сделано" о ному выше предположению, -Г -7 что функция «гладкаян во всех р Х Л г н. точках. Поэтому нельзя ожи- дать, что ряд Фурье совершенро. г. „„„, „,„,„,„, „,,<„п,„н, н но точно воспроизведет эту ческая огяноэлсолвная волна Г!а!. функцию. При конечном чис- ле членов ряда в точках г=- =0 и г=Е будут сильные выбросы. Увеличение числа членов ряда делает выбросы острее, но их высота не стремится к нулю.) Периодическая функция г" (г), образованная в соответствии с установленными ранее предписаниями (см. рис. 2.5), обладает следующими свойствами: г (г)=0 для г= — 0; +1 для 0(г(Е; 0 для Е; — 1 для Ес г =21 и т. д., как показано па рис.

2.6. Воспользовавшись формулами (46), легко получить следующие значения коэффициентов Фурье (задача 2.11): В,=О; В„=-О для всех т; А =0 для всех четных т=2, 4, 6, 8,...; А ж4!тп для нечетных т=1, 3, 5, 7,, Таким образом, имеем Р(г) =В,+ ~~.", В„созтй,г+ .~~ А„з!птйаг= ис= ! ~и= ! 4 ! 1 ! + 3 яп Зй~г+ 5 э!п 5 ~а+ =1,273яп — +0,424э!п — +0,255з!п — +... (47) На рис. 2.7 показана прямоугольная волна 7'(г), первые три члена разложения (47) и их сумма. Предположим, что в момент времени 1=-0 мы придали струпе форму, определяемую выражением й(г) = 1,273э!п — „+ 0,424 яп — + 0,255 з!п †. (48) Она соответствует первым трем членам ряда (47) и показана на рис.

Характеристики

Список файлов книги