Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(79) (80) Закан дисперсии для этого случая имеет тот же вид, что и на рис. 2.13. Сосредоточенные и распределенные параметры. При изучении поперечных колебаний струны с грузамн мы совершили предельный переход к непрерывной струне, устремляя а (расстояние между двумя соседними грузами) к нулю (при неизменной длине Е). Когда отношение а~). настолько мало, что становится пригодным непрерывное приближение, «южно использовать другую физическую модель такой системы. Вместо того, чтобы устремлять а к нулю, имея дело с моделью, составленной из невесомых пружин, чередующихся с точечнымн массами, можно равномерно распределить массу вдоль пружины. В этом случае уже не будет сосредоточенных масс и невесомых пружин.
Вместо этого у нас есть одна длинная пружина с распределенной вдоль нее массой. Хорошим примером такой модели может служить «пружина». Элементом повторяющейся длины а здесь будет шаг одного витка спиральной пружины. Параметрами М и К являются соответственно масса и коэффициент жесткости одного витка.
Если у нас )у витков (теперь Ж вЂ” это уже не число степеней свободы), то полная масса равна )УМ, а коэффициент жесткости для всей пружины (т. е. для пружины длиной Ь=йа) равен К!М. (Коэффициент жесткости пружины, составленной из двух последовательно соединенных пружин, равен половине коэффициента жесткости составных пружин). Вместо того, чтобы иметь дело с длиной а (шаг одного витка), мы «южсм оперировать с величиной М!а=р„представляющей собой плотность распределения массы.
Аналогично, коэффициент жесткости одного витка пружины К можно заменить величиной, характеризующей материал пружины и ее конструкцию. Такой величиной является отношение К '7а. Это видно из следующего. Для пружины длиной Е=А'а коэффициент Кс в Ф раз меньше К: К = — К= — К. 1 а у и (81) Таким образом, справедливо равенство Кс Ь=Ка. Отсюда видно, что произведение Ка характеризует «пружинистостьз материала и не зависит от длины пружины. Последнее равенство 86 можно переписать следующим образом: Кс а (82) с «пружины». Соответствующая длина повторения а определяется длиной, приходящейся на один оборот, т. е.
отношением а=Ы7у'. Если коэффициент жесткости пружины для одного витка К, то К т1а пе зависит от длины Ь. (Считается, что масса распределена, а не сконцентрирована между интервалами длины а.) Дисперсионпое соотношение для случая продольных колебаний получается путем предельного перехода от уравнения (78) к непрерывной системе: с 1 'Ру . мте' оу (/г) = 2 )7 — 51п — = / тс . йа Ум 2= Рис. СЛК «Пружине», летка~лая на столе н сжатом и схерии растянутом состояниях. Дисперсиопное соотношение для поперечных колебаний (см, равенство (75)]: (84) так как То=К7а в приближении «пружины».
Таким образом, дисперсионное соотношение для продольных и поперечных колебаний «пружины» одно и то же. Поэтому, если граничные условия одинаковы (например, оба конца закреплены), то моды колебаний *) Сн. сноску на стр. 24. 87 из которого также видно, что отношение величины, обратной коэффициенту жесткости пружины, к длине пружины есть величина постоянная. П р и м е р 3. «Пружина»н). «Пружина» представляет собой спиральную пружину, имеющую примерно 755-100 витков (рис.
2.15), Диаметр каждого витка около 7 с»И а длина «пружины» в нерастянутом состоянии близка к 8 схс При растяжении до длины 7. в несколько метров такая «пружина» очень хорошо удовлетворяет приближению относительно х, у и г имеют одинаковую последовательность волновых чисел и частот. Убедитесь сами в том, что продольные и поперечные моды имеют одинаковые частоты. Усиленно рекомендуем проделать домашние опыты, в которых участвуют «пружины».
Зто поможет понять свойства волн. П р и м е р 4. ЕС-цепочка. Рассмотрим последовательность связанных емкостей и индуктивиостей, показанную на рнс. 2.16. С помощью рис. 2.16, б (вспомним случай 1У=2, п. 1.4) легко показать, что э. д. с., действующая на н-ю индуктивность, равна Š— "=- — С Ч~'+С 'Я. гп ~0 Тогда Š— "= — С ' — +С ' —. а«г„«щ' й~ ш« — 'щ 'Ф Используя закон сохранения заряда для исключения йЯ'!Ж и Щг(г, этому уравнению можно придать вид Е' —,",.,"= — С- Є— 7„+,)+С- (7„,— 7„) =- = С-~ [7.„-7„) -С-~ 17„-7„,). (85) Уравнение (85) имеет ту же форму, что и уравнение (77) для продольных колебаний системы нз связанных масс и пружин. Поэтому, не заботясь пока о граничных условиях, мы можем записать дисперсионное соотношение и общее решение для токов в индуктивностях. Днсперсионное соотношение получается заменой К/Я на С '/Е в уравнении (78): — /с-' . ьа «э(Й) 2 ь' — ып —.
(86) Общее решение уравнения (85) для отдельной моды без учета граничных условий имеет внд 7„(1) = (А з1п пйа-1-В сов пйп')соз (м (й) 1+ ~р), (87) где константы А и В и последовательность значений Ф, соответствующих разным модам, зависят от граничных условий на концах системы. Физический смысл яа. Вы могли заметить, что в уравнение (85) не входит расстояние а. На рнс. 2.16 мы уголовно показали это расстояние, понимая, однако, что поведение схемы не может зависеть от ее пространственной конфигурации. Что же следует понимать под величиной Йа в дисперснонном соотношении и в уравнениях (86) и (87)? Когда понятие длины по оси г имело физический смысл, например для колебаний струны„ величина й имела смысл изменения, на единицу длины по оси г, фазы функции А з)п йг+В сов йг, определяющей форму моды.
В случае системы с сосредоточенными параметрами, например для струны с грузами, мы пишем г=па, где п=1, 2,... — номер груза, В этом случае величина йа представляет собой про- 88 нзведение числа радиан фазы, приходящихся на единицу длины, на расстояние а между грузами. Таким образом, йа — это число радиан, на которое возрастает фаза при переходе от груза п к грузу и+1. В случае системы с сосредоточенными емкостями и нндуктивностями величина йа также равна возрастанию фазы у функции А з)п п)та + В созна при переходе от одной индуктивности к соседней. Мы можем в этом случае обозначить ))а, например, через О. Однако в такой, несколько абстрактной, записи исчезает математическая симметрия механических и электрических примеров, поэтому Р))-1)а )уа г а га б/ иртыш Рис.
й.!6. Цепочка из свиааивых иидуктивиостей и емкостей. о) Параметры; б) токи в зарлды в л-й ичейие в общем случае. мы будем условно считать, что «расстояние» л)ежду индуктивностями равно а. Друаие 4ормь)дисперсионных соотношений. Обратите внимание, что у всех рассл)отренных нами систем с сосредоточенными параметрами один и тот же закон дисперсии: )са й) (й) й)ыах З)Г) (88) График этой зависимости показан на рис.
2.13. Частота й)„,„представляет собой константу, характеризующую данную физическую систему. Причина такой универсальности написанного соотношения в том, что у всех рассмотренных систем возвращающая сила, действующая на массу (или индуктивность), является результатом связи массы с соседними массами и пропорциональна относительному смещению масс, Существует, однако, много других интересных и важных форм дисперсионных соотношений.
Например, имеются системы, у которых возвращающая сила, действующая на движущийся элемент, имеет две нсзавнсимыс компоненты. Одна компонента возникает из-за связи данного элемента с подобными соседними движущимися элементами. Для этой компоненты дисперсионное соотношение имело бы вид (88). Вторая компонента возникает из-за связи с некоторой «внешней»силой. Вклад этой компоненты зависит 89 только от смещения движущегося элемента относительно положения равновесия, а не от смещения относительно соседних элементов, Если бы движение вызывалось только этой силой, то движущиеся элементы не были бы связаны, а их смещения были бы нормальными координатами системы.
Такая система рассмотрена в следующем примере. П р и м е р 5. Связаьньйе маятники. Система показана на рис. 2,17. На каждую массу действуют возвращающие силы двух типов. сг7' г 77-7 77 га 7)У-7)а 7Уа л-7 Л лй7 4 1Н 6 Фп.7 Рнс 2.!7. Свяаанныс асаятнн«ан а) Равновесное оололссисс, й~ ойщнй случай. сВнешняя» сила (она создается силой тяжести) пропорциональна смещению массы от положения равновесия и не зависит от относительного смещения масс. Вторау1 сила возникает пз-за того, что йиссы связаны между собой пружинаъпк и зависит только от взаимного расположения масс.
Попытаемся угадать дисперспонное соотношение для такой системы. Если бы мы имели только связанные пружинами массы (т. е. если бы д равнялось нулю), дисперсуюшйое соотношение отвечало бы случаю продольных колебаний связанных масс, а возвращающая сила на единицу длины и единицу массы (т. е. величина ыа) была бы равна ы'= 4 — сйпв — (еслн д=-0), К , айа М 2 (Вэ) Теперь предположиль что (при д=-О) происходят колебания, соответствующие какой-то моде, форма которой определяется значением 7й, а величина й в свою очередь определяется из граничных условий. Вообразим, что, используя «ручку управления гравитациейв, мы 90 ы '(к) = — + — з(п' —, а, 4К ..йа л4 г Если этп рассуждения, которые привели к формуле (90), не кажутся убедительными, то посмотрите задачу 2.2б. Там вы найдете уравнение движения для и-й массы, докажете справедливость уравнения (90) и найдете формы мод.
(Уже сейчас можно сказать, что для граничных условий рис. 2.17 первой «а~ моде отвечает а=О.) Мы встретимся со многими примерами, когда закон дисперсии имеет вид аа (90). Его можно переписать .. .ее=в,/е г в более общем виде: Е 7с дта а'а (~) в~О оа1 з1п в Рас. ь!е. Днспееснонное соотношение дая свяаааны» иаятнииов. (91) Совершая предельный переход к непрерывной системе (когда йа (<!), Имеем еев (а) ыв ( авва (92) усг, г„ где и, '— постоянная, равная втеки/4. Закон дисперсии в форме (92) встретится нам при изучении распространения электромагнитных волн в волноводе и в ионосфере Земли. (Таков же закон дисперсии и для релятивистских волн де Бройля при квантовом описании частиц). Уравнение (91) изображено графически на рис.
2.18. П р и м е р 6. Колебания плазмы. Этот интересный пример приводит к тому же дисперснонному соотношению, что и пример 9! можем постепенно включать силу тяжести, увеличивая д от нуля до конечного значения (980см/сек'). (Можно придумать и более реальный способ включения силы тяжести. Как это сделать?) Если мы увеличим л от нуля до очень малого значения д', то вклад в возвращающую силу вта для каждой массы будет одинаков и равен д'7!. Это означает, что массы будут продолжать колебаться с той же геометрией моды, с тем же значением (е, с той же линейной комбинацией з|п йх и сових, но колебания будут совершаться немного быстрее. Это можно объяснить следующим образом. При у=О на все массы действовала одна и та же возвращающая сила на единицу смещения и на единицу массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
