Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Сравним положение груза ! (в моде 2) со средним положением грузов 1 и 2 (в моде 1), положение груза 2 (и моде 2) — с грузами 3 и 4 (в моде 1) и т. д. Таким образом, груз 17 4 Ф. Крауфорд 97 в моде 2 имеет ту же амплитуду, что н средняя точка между грузами 33 и 34 в первой моде (если, конечно, амплитуды мод одинаковы). Но в люде 2 угол, который образует струна в месте расположения груза 17 с осью равновесного положения, в два раза больше соответствующего угла в месте расположения грузов 33 и 34 н люде ! (используем приближение малого угла).
Таким образом, возвращающая сила на единицу смещения для грузов 17 во второй люде в два раза больше, чем для грузов ЗЗ и 34 в первой. Кроме тога, масса груза 17 равна половине массы двух грузов, 33 и 34. Таким образом, возвращающая сила, приходящаяся на един«щу смещения и единицу массы, в четыре раза больи«е для груза 17 ва второй моде, чсл«длл комбинации грузов 33 и 34 в первой моде. Мы получаем «в непрерывном приближении» (основанном на «большом числе» грузов), что «в»=.2ы«. Эпют вывод не будет справедлив в случае малого шола грузов.
Объясните, почему «гармонические» отношения ч« — — 2чг,ч»=-3«, и т.д, возникают в непрерывном пределе, но не в случае нескольких грузов, показанном, напри»«ер, на рис. 2.12. 2.8. За каное время ваш вклад в банке удвоится, если годовой процент равен 5,9«>«» (У к а з а н и е.
Рассмотрите равномерно темперированный строй, опыт 2.6.) 2.9. Закончите образование диатоннческой шкалы для Р-ь«ажара, начатое в опыте 2.6. Было найдено, что нужно добавить новую струну Е, которую мы назвали Е'. Наша первая «черная нота» была Рп. Однако нам понадобится еще одна «черная нота> — С„). Что можно сказать про О, Р, А и Ву Можем ли мы использовать те, которые имеем, или нужно образовывать новые — О', Р', А' и В'7 2.10. Выведите волновое уравнение (55) для неоднородной струны. 2.11. 11олучите выражение (47) для фурье-коэффициентов функции Р(г), показанной на рис. 2.6.
2.12. Найдите конфигурацию и частоты первых трех мод поперечных колебаний непрерывной струны с натяжением Т«, плотностью массы р«и длиной Е при граничных условиях, когда оба кончи свободны. (Концы прикреплены к кольцам, скользящим без трения по стержням.) Покажите, что особенность самой низкой моды в том, что она имеет бесконечную длину волны и нулевую частоту.
В этой моде струна перемещается так, что скорости всех ее точек одинаковы.(Э«о включает в себя также возможность нахождения струны в покое при произвольном смещении.) 2.13. Найдите конфигурацию н частоты трех мод поперечных колебаний однородной струны с грузами, имеющей три груза и четыре сегмента, если оба конца струны свободны. (Концы струны прикреплены к невесомым кольцам, скользящим без трения по стержням.) Сравните самую низкую моду с результатом задачи 2.12. 2.14.
Рассмотрите ЕОщеаочку нз трех индуктивностей и четырех емкостей, соединенных, как показано на рис. 2.16, для Л' 3, если две внгшние емкости коратказамкнуты. Найдите трн моды, т. е. конфигурацию токов и частот. Сравните физический смысл, который имеет самая низкая мода в этой задаче н в задаче 2.13. Сравните граничные условия обеих залач. 2.15.
Рассмотрите стальную струну рояля, которая дает С256 (диатоннческий строй). Плотность стали близка к 9 г!см» (это не линейная плотность массы р«. Почему»). Положим, что диаметр струны Ч, мм, а ее длина !00 см. Чему равно натяжение струны в динах и в кГ7 Ответ. Т«47кГ. 2.16. найдите смещение ф (г, г) для «пружины», растянутой так, чтобы повторить функцию а (г), определяемую уравнением (48). Нарисуйте «р (г, 1»), когда ы«1«=п/3. Сравните форму ф (г, 1,) с формой ф (г, О), показанной на рис. 2.7. 2.17, Сравните натяжение стальной струны гитары с натяжением струны такой же длины, диаметра и тона (самой первой моды), но слеланной из жилы. Плотность стали около 9 г/см«; плотность жилы чуть больше 1 г/см".
Будет лн в действительности диаметр стальной струны для гитары равен диаметру гитарной струпы из жилы? Посмотрите на гитары и сравните. Оценив отношение диаметров, вычислите отношение натяжения струн в этих двух случаях. 98 2.18. Выведите классичесное волновое уравнение (14) следующим способом. Начните с уравнения (62) и перейдите к непрерывному приближению. Замените индекс л на координату г, принимая во внимание, что расстояние между грузами равно и. Воспользуйтесь разложением правой части уравнения (62) в ряд Тейло- ра.
Рассмотрите случай, когда в разложении имеется на один чягн бояьим, чем необходимо для получения классического волнового уравнения. Определите критерий, по которому можно пренебречь этим членом и членами более высокого парадна. 2.19. Покажите, что, рассматривая уравнение (7!) как решение уравнения движения для поперечных колебаний струны с грузами (65), можно получить дисперсионное соотношение (70) независимо от выбора постоянвых А, В и й, опредсляемых только начальными и граничными условиями. 2.20. Используйте уравнения (73) и (70), чтобы получить отношения частот, показанные на рис.
2.!2 для %=5. 2.21. Найдите ковфигурации и частоты мод для поперечных колебаний стру- ны с пятью грузами и одним закрепленным и другим свободным концами. Пост- ройте пять соответствующих точек дисперсионного соотношения ы(й) подобно .гому, как это сделано на рис. 2.13. 2.22. Рассмотрев рис. 2.13, а также схему самой светел«ьь покажите, каким образом можно добавить шесть точек к графику рис. 2.13, чтобы этот график определял моды для струны с 11 грузами, закрепленной на концах. 2.23. Покажите, что уравнения (73) и (74) дают те же результаты для частот при У=1 и У=2, которые мы получили в пп.
1.2 и 1.4. 2.24. Нарисуйте пять мод струны с пятью грузами, соответствующих уравне- ниям (78) — (80). 2.25. Постройте график дисперсионного соотношения для системы, показан- ной на рис. 2.16. 2.26. Покажите, что для системы связанных маятников, показанных на рис. 2.17, уравнение движения для и-го маятника (в приближеяии малых коле- баний) имеет вид дзфн й К ~фи+« — фн) К 7'фн — 4«-г) Покажите, что общее решение для моды без учета граничных условий имеет вид ф„(г) = соз (ы(+ ~р) ( А з(п пйи+ В сов пйи).
Покажите, что дисперснонпое соотношение имеет зид ы«= — '+ — з1пз —, 8 4К . йи 1 54 2' Понажите, что для граничных условий рис. 2.17 (т, е. когда крайние пружины не закреплены) приведенное выше решение имеет вид ф„(1) =сов (ы(+йг) В соз пйи, иогда и-й маятник расположен в точке г=-(п — П«) а. Покажите, что для первой моды 5=0. Нарисуйте ее. Как будет вести себя система в такой конфигурации при постепенном уменьшении до нуля силы тяжести? Постройте конфигурацию трех мод для Ж=З и определите частоты.
2.27. Найдите систему из связанных емкостей н индуктивностей, нагорая была бы аналогом системы из связанных маятников рис. 2.17 в том смысле, что уравнение движения для тока в и-й индуктивностн имело бы тот же вид, что уравнение движения гьчя и-го маям«ика в задаче 2.26. Найдите дисперсионное соотношение. 2.28. Перейдите к непрерывному пределу з задаче со связанными маятниками (задача 2.26). Понажите, что в этом случае система описывается волновым уравнением дзф г з д'ф д(з — '= — ы«ф+ૠ—,. дг 2.29 Докажите каждое нз следующих утверждений двумя способами: а) «физическим« способом, основанным ва использовании понятия нормальных мод 4« 99 непрерывной струны с соответствующими граничными условиями, и б) способом фурье. анализа периодической функции ст г: 1. Любая (разумная) функция /(г), определенная между г=О и г=/.
и имеющая нулевое значение в г=-0 и нулевой наклон в г=Л, может быть разложена в ряд Фурье вида /(г)=~ Алз!п лйгг; л=!,3, 5, 7, ...; й,Е=п/2. (3 а м е ч а н и е. Начните с построения из /(г) периодической функции, чтобы можно было использовать формулы фурье-анализа.) 2. Льабая «разумнаю функция /(г), определенная между г=О и г< В и ильетощая нулевой наклон в г=0 и г=Е, может быть представлена рядам Фурье вида /(г)=В«+~В«сов лйгг; л=!,2,3,4, ...; й»~.=п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
