Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Функция А (г) будет синусоидальной только при постоянных Т, и р,. Таким образом, синусоидальные колебания в пространстве характерны только для нормальных мод однородных систем. Моды неоднородной струны образуют полный набор функций. Приведем без доказательства свойства нормальных мод неоднородной струны с закрепленными в точках г=О и г — -Е концами. Первая мода соответствует решению А, (г) уравнения (59), которое обращается в нуль только в точках г= — 0 и г=Е (оно похоже на одну полуволну «искаженной синусоиды», у которой нет узлов между нулем и Е). Этой моде соответствует частота ы,. Следующая мода имеет один узел между г=О и г=Е и, таким образом, представляет полную длину волны искаженной синусоиды.

Ей отвечает частота ы,; т-я мода имеет т — 1 узлов между г=О и г=Е и соответствует т полуволнам искаженной синусоиды, Существует бесконечное число мод (для непрерывной струны). Функции А, (г), А, (г), А, (г),..., которые определяют пространственную часть моды, образуют полный набор для любой «подходящей» функции ) (г), равной нулю на концах. «Подходящая» функция ( (г) должна быть такой, какую могут образовать либо струна, либо «пружина» без нарушения наших предпо- 77 ложений. Мы можем сделать шаблон, имеющий форму 7 (г), вставить неоднородную струну в шаблон и освободить ее в момент времени 7=0. Струна будет совершать колебания, которые представляют собой суперпозицию бесконечного числа мод: » ф(г, 1)= ."..", с А„(г)совал 1. т=1 Когда 1=0, имеем Ш ф(г, 0) =1'(г) = ~~.", с А„(г).

(61) Равенство (61) показывает, что функция 7 (г) (предмет наших рассуждений) может быть разложена по функциям А (г). Таким образом, Л (г) образует полный набор функций, аналогично тому как синусоидальные функции ряда Фурье образуют полный набор для функции 1(г), равной нулю в точках г=О и г=-7.. Собственные функ»1ии. Существует бесконечно много способов осуществления струны с неравномерными плотностью п натяжением. Поэтому бесконечно велико и число различных полных наборов функций А (г). Синусоидальные функции от г не являются единственными функциями для разложения 7 (г).

Но онн замечательны своей простотой. Зги функции определяют моды всегда, когда мы имеем пространственно однородную систему. В противном случае применение синусоидальных функций не будет особенно успешным. Вместо иих следует попытаться найти такие функции Л,,(г), которые соответствуют нормальным модам системы. Эти функции Л (г), или в общел«случае Л (х, у, г), называются собственнеьии фунщиями системы. Они дают пространственную зависимость нормальных мод. Для любой точки (х, у, г) вретнная зависимость моды всегда определяется множителем соз (вл1+«р). Таким образом, мода представляет собой одновременные малые колебания (достаточно малые, чтобы они описывались линейным уравнением) всех движущихся элел:ентов, которые колеблются с одинаковой частотой и фазой.

Когда вся система представлена одной людой, оиа пульсирует и «трепещет», как один большой осциллятор, Каждая мода имеет свою «форму», т. е. свою собственную функцию А (г). Соотношение между частотой моды и ее формой называется дисперсионным соотношением ы (в), когда собственные функции имеют вид синусоид. Если они не сииусоидальны, мы не можем оперировать такими понятиями, как длина волны или волновое число й. В этом случае соотношение между частотой моды и ее формой не принято называть «дисперснонным соотношением». 2.4. Моды дискретной системы с й( степенями свободы В п.

2.2 мы рассмотрели непрерывную струну, которая представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Никакая реальная механическая система не имеет бесконечного числа степеней свободы, а мы заинтересованы в изучении реальных систем. 78 В этом пункте мы найдем точное решение для мод струны с закрепленными концами, несущей на себе 1»' равномерно распределенных грузов. В пределе, устремив У к бесконечности (при конечной длине Ц, мы вернемся к стоячим волнам п.

2.2. Однако наша цель не только в этом. Мы обнаружим, что, совершая предельный переход к непрерывной струне, мы теряем некоторые чрезвычайно интересные свойства систем. Вспомним, что, используя гладкуюфункцию ф (г,1) для описания смещення, когда Ж велико, по конечно, мы должны были отказаться от рассмотрения самых высоких мод, т. е. мод т= 1»', 12' — 1, 1У вЂ” 2 и т. д., и ограничиться значениями пг, значительно меньшими 1»'.

Дело в том, что моды порядка У имеют «зигзагообразную» конфигурацию, показанную на рис. 2.1, при которой нельзя считать, что соседние грузы имеют близкое смещение. Наиболее интересный результат, который мы получим в этом пункте, заключается в том, что закон дисперсии„выведенный для непрерывной струны: »1 равно постоянной, умноженной на К вЂ” обычно ие выполняется. Этот закон, связывающий частоту и длину волны, показывает,что частота удваивается, когда длина волны уменьшается в два раза.

Он является приближением, справедливым в предельном случае непрерывной упругой струны, и перестает быть верным для реальной струны. Это приводит к интересному физическому явлению, называемому дисперсией. Среда, которая удовлетворяет простому закону дисперсии, выведенному выше (а»=сонэ( й), называется средой без дисперсии (или недиспергирующей средой) для соответствующих волн. Если закон дисперсии имеет другой вид, среда называется средой, обладающей дисперсией (или диспергирующей средой).

Рассмотрим пример. П р и м е р 1. Поперечные колебания струны с грузами. Такая система показана на рис. 2.10. Имеется У грузов, расположенных а га Й1'-ра »га ! Л=ууутуа гсд Рнс. 2ЛО, Раннанеснае насажен»с натруженна» струны. в точках г=а, 2а,..., Ла. Полная длина г. равна (У+1)а. Масса каждого груза равна М, отрезки струны (пружнны) между грузами одинаковы, невесомы и подчиняются закону Гука.

Натяжение в равновесии равно Т,. Если пружины (струиы) удовлетворяют приближению «пружины» (иатяженне пропорционально длине), то колебания могут иметь произвольно большую амплитуду и все же будут описываться линейными уравнениями движения. Если же пружины не являются «пружинами», то для того, чтобы получить линейные уравнения движения, следует ограничиться рассмотрением малых колебаний. Теперь рассмотрим общий случай, показанный на рис. 2.11. (Мы ограничимся только поперечными колебаниями вдоль оси х.

Позже мы рассмотрим продольные колебания вдоль г. Общее движение является суперпознцией продольных колебаний вдоль г и поперечных вдоль х и у.) Смещение груза и вверх (см. рис. 2.11) от положения равновесия равно тР„(Г), где и.=1,2,3,...,Л' — 1, юлР. у'г ))). Рассмотрим какой-нибудь произвольный груз и и два соседних груза, (и — 1) слева ф~н ф„(Е„, и (и+1) справа от и. Уравнение движения. Наша ещя †--- ------- - е„д цель — найти уравнение двигяч1а Па ГП дт 2 жЕНИя дпя ГруЗа И. В П. 1.2 мы решили подобную задачу Ряс. 2.11. Общая конфнгурвпня нагруженное струны, совершаюгпеп попереявыа копебавн» для системы с Одной степенью по осн я. свободы, а в п. 1.4 — для системы с двумя степенями свободы. Предоставляем читателю показать, что как для приближения «пружины», так и для малых колебаний применение второго закона Ньютона к движению груза и дает следующее уравнение движения: М" арп(1) У )ту "- (У) — Чъп(Е)1 Т ~ф и) — фо-1(~)1 (62) о ( Уравнение (62) соответствует общему случаю: оно справедливо для произвольного движения свободно колеблющейся системы, т.

е. для произвольной суперпозиции Ж различных мод. Нор,иальнь2е моды. Нам нужно найти частоты и конфигурации отдельных мод. Предположим, что мы имеем моду с частотой ьт. Каждый груз совершает гармонические колебания с частотой бу и фазовой постоянной 1р. Форма моды определяется отношением амплитуд колебаний различных грузов. Обозначим через А„амплитуду колебаний и-го груза для рассматриваемой нами моды. Имеем «ра (1) =- А, соз (бус + ср); тра (1) = А, соз (бу1-1- ср);...; ф, 1(Е)=А„, соз(ьэт-)-ф); ф„=А„(созЫ-(-ф); (63) «Р„та (1) = А„„, сов (ьус + 1р); Из уравнений (63) получим — = — ОтеА„СОЗ(«бт+ ср) =- — сбвф„(1).

нф (у) (64) Подставив уравнение (64) в левую часть (62), а (63) в правую часть (62) и сократив на соз (ьуа+ф), получим т. е. Ма (65) в Тогда А яп й (и -|- 1) а = А я |и ()гпа + йа) = = А (5|п Ьиг соя /га+ соя'нпа 5|п на), А яп й (и — 1) а = А яп (йпа — йа) =- =- А (я|и йиа соя па — соя )гпа 5|п |га); А„+, + А„, = 2А я|п ггиа сеяна = 2А„соя па. (68) А„, „=- Ап-! Подставляя (68) в (65), получим 2А„соя/го= А„(2 —, го') .

Точное дисиерсионное соотноигенгге для струны с грузами. Предположим, что уравнение (69) справедливо для любого груза и, независимо от того, равно или нет А„нулю в данной моде. Поэтому мы можем рассматривать груз, который находится вне узловой точки, т. е. груз, для которого А„не равно нулю. После сокращения на А„получим условие, которому должна удовлетворять наша догадка, чтобы быть на самом деле решением: 2 соя йа —..— 2 — — го', Ма То 2Т» 2Т» Г / гга .

Характеристики

Список файлов книги