Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Функция А (г) характеризует моду; каждой моде соответствует определенная функция А (г). Теперь мы можем написать общее выражение для стоячей волны: ф(г, () = А (г) сов(а(+~р). Из уравнения (15) получим выражение для ускорения: о — „= — «о'»р = — «»*А (г) соз («з(+ ~). дьем (1б) Вторая частная производная по г для уравнения (15) равна д»ф д»(А (г) со» («»)+~р)) » = » — — соз М+ Ч')» ° (17) Е»А (г) В правой части стоит знак обычной производной, так как А (г) не зависит от времени. Подставляя (16) и (17) в (14) и сокращая на соз (О)(+ф), получим в~А (г)» Ро = — ы т'А(г) (18) ег» То Уравнение (!8) определяет геометрическую форму моды.
Поскольку каждой моде соответствует своя частота «о, а в уравнение (18) входит в»», то, как и ожидалось, каждая мода имеет свою форму. Уравнение (18) совпадает с уравнением гармонического осциллятора, если в последнем заменить время иа координату. В общем случае решение уравнения для такого «гармонического осциллятора в пространстве» можно записать в виде А (г) =- А з(п (2п — ) + В соз (2п — ), (19) где Х представляет собой расстояние, на котором совершается одно полное колебание. Величина Х называется длиной волны. Этот параметр для колебаний в пространстве имеет такой же смысл, что и период Т для колебаний во времени.
Длина волны Х измеряется в сантиметрах на цикл (т. е. на цикл пространственных колебаний по г) или просто в сантиметрах. Продифференцируем (19) по г дважды, получим Сравнивая (18) и (20), находим ( — ) = ~' ( ~' ) = (2п~)'-~~ — ', т. е. (20) (21) (22) вкругое граничное условие заключаетси в том, что струна фиксирована в точке г=Е, так что >(> (С, г) равно нулю для всех С Этому граничному условию можно удовлетворить, положив в уравнении (25) А=-О, но такое решение не представляет интереса, так как соответствует покоящейся струне.
Единственная возможность удовлетворить граничному условию в точке г=Е заключается в том, Скорость волн в струне. Уравнение (22) связывает между собой длину волны и частоту для поперечных стоячих волн в непрерывной однородной струне. Постоянная (Т,!р,)ч* имеет размерность ско. рости, поскольку 1ч имеет размерность (длина!время!. Скорость о«=(Т«1р«)н~ носит название «фазовой скорости бегущих волн» для этой системы.
(Мы будем изучать бегущие волны в главе 4.) При изучении стоячих волн мы не нуждаемся в понятии фазовой скорости, так как стоячие волны никуда не «бегут». Они «стоят и колеблются», как большой «размазанный» гармонический осциллятор. В этой главе мы не будем называть отношение (Т«!р,)и скоростью, так как хотим, чтобычитатель привык к представлению о стоячих волнах.
Общее решение для смещения ф (г, () получим, объединив уравнения (15) и (!9): Ф (г, 1) = сов(ь>1+ ~р) [А з)п(2пг>Х)+ Всоз (2пг>Х)). (23] Граничные условия. Уравнение (23) имеет слишком общий вид. В пем никак не отражены граничные условия. Наша струна закреплена на концах, а в решении нет информации, которая указывала бы на это. Посмотрим, как ввести такую информацию. Пусть длина струны Ь. Выберем систему координат таким образом, чтобы левый конец струны находился в точке г=О, тогда правому концу соответствует г=-Л.
Рассмотрим координату г=О. Струна здесь закреплена, и ф (О, 1) должно равняться нулю для всех С Отсюда следует, что В=О, так как для любого момента времени 1 ф (О, 1) = соз (ь> Г лу ~р) 10 -',— В'1 — О. (24) Таким образом, имеем «)> (г, 1) = А соз (ь>1+ ~р) з1п — ' . (25) чтобы положить 2л!. з!и — '=О. (26) Длины волн ?, для которых зто справедливо, должны удовлетворять авнению ур алЬ вЂ” =л, 2л, Зл, 4л, бл, (27) (Почему мы исключили случай 2пЫ)? =О)? Написанная последовательность возможных длин волн, удовлетворяющих граничным условиям, дает все возможные моды струны. Пронумеруем зту последовательность, начиная с первого члена, которому присвоим номер 1.
В соответствии с (27) получаем следующие длины волн возможных мод: (28) Гармонические отношения частовь Чтобы найти соответствующие частоты, мы должны использовать уравнение (22), Получаем чар оаА ч»=2ча* ч«=Зчо ч«=4уа (29) Частоты 2у„Зча и т. д. называются второй, третьей и т.
д. гармониками основной частоты ч,. Утверждение, что частоты у„у, и т. д. являются гармониками частоты у„соответствующей первой моде, следует из нашего предположения о совершенно однородной и упругой струне. Частоты мод большинства реальных физических систем не образуют такой гармонической последовательности. Например, для струны с неоднородной плотностью частоты мод не являются га рмониками основной частоты и могут принимать такие значения, как, например, ч,=-2,78ч„ч,=4,62ч, и т. д. У струны пианино или скрипки частоты мод образуют лишь приближенно гармоническую последовательность.
Причина в том, что струны не абсолютно упруги. (В задаче 2.7 рассмотрено влияние неоднородной плотности струны на «гармонические» отношения частот.) Моды нашей струны показаны на рис. 2.3. Равновесная конфигурация отвечает отсутствующему первому члену, 2лЫ?.=-0, в последовательности (27). Соответствующая частота равна нулю. Здесь нет никакого движения, и это равновесное состояние не называется модой.
Волновое число. Величина, обратная длине волны, называется волновым числом о. Оно измеряется в циклах на сантиметр нли, чаще, в «обратных сантиметрахм Этот параметр характеризует колебания в пространстве, аналогично тому как частота ч характеризует колебания во времени. а=1/?.=волновое число (см '). (ЗО) Волновое число, умноженное на 2п, можно назвать угловым волновым числом й. Его измеряют в рад)см.
Величина й характеризует колебания в пространстве, как угловая частота оа — колебания 3 Ф. крауфорд 65 во времени 7« = 2и7Л = угловое волновое число (рад/ем), (31) Покажем, как использовать этн величины для записи уравнений стоячих волн: тр(г, г)=А з1п2п — з(п2я — =Аз)п2пыгз!п2паг= г т Л= = А яп о»Г з(п 7йг.
(32) В качестве другого примера перепишем следующим образом Л, гЛ У;-Ууг7Р,У'Л; 4) Л =-Л=Л у гг т Уг=г Уг Л=-Л =-.Ь г 'худ тг йиг У«=«Уу и гд7Л Рнс. 2.3, Моды колебаний некрерыаной однородной струны с фнкснроааннымн коннамн. последовательность нормальных мод, определяемую уравнениями (27) — (29): 7221,=прад, 7«,С =2лрад, lг»7.=3п рад и т.д. (33) илн о,Ь= — цикла, о,(.=1 цикл, о,Ь= — цикла и т, д.
(34) 1 з а г Диспереионное соотношение. Равенство (22) связывает частоту и длину волны для нормальных мод однородной упругой струны: Умножая его на 2п, получаем (35) Ро Равенство (35) дает соотношение между частотой и волновым числом нормальных мод струны. (Заметьте, что мы опустили прилагательное' «угловой», Так обычно и поступают, если обозначения и размерность 66 позволяют избежать неясности.) Выражение (35), определяющее ш как функцию й, называется дисперсионным еоотноигением *). Это удобный способ описания волновых свойств системы.
Закон дисггерсии для реальной струны пианино. Дисперсиоиное соотношение (35) очень просто. Позже мы увидим примеры более сложных дисперсионных соотношений, когда величина ).у=со))с уже не константа, а зависит от длины емй волны. Например, для струны пианино дисперсионное соотношение может быть приближенно выражено ауде формулой ,фРр ыв 7', (35) )(адР" Рн у ижд где а — небольшая положительная Уг Х— константа, которая равна нулю для Рнс. 2л. Д»спсрснпнное саотнншссовершенно упругой сгруггы. (В это,тг ннс ллн непЫл1»наа оннпР«ннса струны. случае соотношение (35) переходит в (35) Л Пространственная конфигурация мод реальной струны совпадает с конфигурацией мод совершенно упругой струны, т.
е. й»=25, Хв='г»)„)»=г!,)„и т, д., так как граничные условия в обоих случаях одни и те же. Но частоты колебаний для этих мод не будут удовлетворять «гармонической» последовательности у»=2р„о,=до, и т. д. Дисперсионное соотношение (36) не создает такой последовательности.
Гармоническая последовательность частот получается только в случае«а=О, т. е. когда ) р=-сопз1. У струны пианино или рояля частоты более высоких мод слегка отличаются (т. е. имеют чуть-чуть большее значение) от частот гармонической последовательности. Недиелергирующие и дислергирующие волньг а*). Волны, удовлетворяющие простому дисперсионному соотношению ш)н=-сопз1, называют недиспергирующими волнами. Если отношение шуе зависит от длины волны (а значит, и от частоты), волны называют диспергирующими. Обычно можно построить график зависимости ш от й. .В случае упругой струны этот график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат со=у=О и имеющую наклон (Тн)рв)и» (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
