Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2.7, б. Отпустим струну в момент времени «=-О. Какой будет функция ф (г, г)7 Будет ли сохраняться форма рис. 2.7, б с течением времеиир (См, задачу 2.16.) Фурье-анализ для периодической функции времени. Рассмотрим функцию г' (1), определенную для всех ! и имеющую период Т;. г (а+Т!) =г" (!) для любых г. (49) Мы предполагаем, что функция Е (Г) может быть разложена в ряд Фурье: о ы Р(Г)=В,+ ~.", А„зтле),Г+ ~, В„созпе),(, (50) л=! л=! е)1 2пут т 2и (51) Коэффициенты Фурье могут быть получены непосредственно из приведенных выше результатов фурье-анализа пространственной периодической функции Р (г), так как математика для переменных 0=-е)11 и О=й,г т)) одна и та же. Таким образом, для коэффициентов ряда гх) (50) имеем на ооновании (46) где г,-т, В,=,— ' ~ Е(7)31, ),тт, В„=..
т ~ ГЯсоз))нт(т((, 2 1 ),тт, А„= —, ) Е(!)я~~~,(г(1, 2 1 (52) 73 Гдс гт — ЛЮбОЙ ПОдХОдящИЙ рис. и 7. Фурье анализ прямоугольной волны )(1). момент времени. и) Прямоугольная волна и трн первые составляющие разложения Фурье. Цифры ), 3 н й отЗвучаниг аккорда рояля*), госятся к нормальным модам 1, 3 н Б; б) прямоугольная волна и суперпоззиня П т,ь, пер- В Каясетас НЛЛЮСтраИИИ К вых трек составляющих разложения Фурье. сказанному, вместо фурье- анализа известной функции Р (г), рассмотрим суперпознцию известных компоневт. Предположим, что в нашем распоряжении рояль, настроенный так, что он имеет «научный строй» (о музыкальных строях см, домашний опыт 2.6). Положим у,=--!28 гЧ. Эта нота С на одну октаву ниже ноты С256.
Теперь положим у,=-ЗФ1=384 г)4. Это б выше С256. Положим уз=бы! — 640 ги. Это Е выше Ст и выше С256. Ударим по этим трем струнам. Если вы ударили одновременно и с такой силой, что величина давления воздуха на ухо (в соответствующих единицах) от струны С128 — 1,273 яп 2и нтг, от струны С)384— — 0,424 з)П2пузг и от струны Е640 — 0,255 з)п 2лу,г, то полное давление р (!) равно р (!) = 1,273 яп 2пут(+ 0,424 яп 2и«г,г+ 0,255 яп 2я уз!. (53) Суперпозиция (53) очень похожа на суперпозицию (48), изобра*1 См. примечание не стр.
50. с. 2.7 б. Для того чтобы получить гр р г а ик,(), нам й . П е ы получим график показан- м т нам д ить не од44ов ~меч44444 й г на 48 г. ослезам н осительныефазытрех нот не у у таюгми, как б и их а, а зиция не уд М аем отдельные ноты аккорда, этого не заметит! М р аем а, Мы аспознаем он называется основной перепон е я во внутре не. ухе органе спик ой. Оиа расположена в находящемся во внутр альнои формы, заполненном ж д и костью, этот орган ушной улиткой. шная ул у . ". У улитка механически связана с р4 т С!88, О 384 и Е848 с относителн- о звсеиое сунернозннисв иот ' . ХК зерновое давление, с вдави нывттт винлнтуденн и н Период Т,=1т'188 сен. е основной перепо к н и вблизи барабанной перепоне около 20 10»г4[, а самый дальний ее конец Т , об азом интервал воспринимае- 20 ~ц и 20 10' г4[. Нерв ушной улитки мых ухом частот лежит между 20 гц имеет чувствитель ь е ьные окончания в основной переп ческие сигналы, которые позует» механические к олебаиия в электрическ ак звуковые ощущения.
ступают в мозг, гд р е восп инимаются нами к мы витим что наши звуВеря несколько раз один и ин и тот же аккорд, и и те же (даже если формы р фо (Г) из-за различковые ощущения одни и ( сильно различаются,. т ). О сюда следует„что б носительных фазах коле аний информация об относит . .
Возможно, что мы и не что еп соб ~мю~елы ки где-то теряется. ой инфо мации из-за того, " д .тор электр~ческий ы~ы~ ад отичный етекто, пред~тавляш собои ~~Р на выходе которого пр р п опо ционален квадрату ам нерва несет информацию перепонки. Возможно т к акже, что сигнал не (,Г), ефн(х Г)), но мозг фазе [т. е, с гнал пр п рц о ионален тр(х,, а н т инфо мацию, т.
е. не реаги пе воспринимает эту инфор сигналы нерва. По-вид . у, ф " ин имом, в фазовой ин ценности, так как в противном случае (в наше витии) мы должны были бы оказаться обладателями механизма для распознавания фазы. Другие граничные условия.
В общем случае поперечных колебаний непрерывной струны нет необходимости, чтобы оба ее конца были закреплены. Один или оба конца могут быть свободны, по крайней мере в случае поперечных колебаний. Натяжение струны и равновесную конфигурацию можно создать при помощи невесомого кольца, скользящего без трения по стержню, который направлен вдоль оси х и перпендикулярен оси равновесной конфигурации (эта ось совпадает с осью г). Нормальные моды при этом будут иметь другую конфигурацию, чем в случае двух закрепленных концов, Они по-прежнему будут синусоидальными функциями от г, описываемыми выражением (19), а днсперсионное соотношение между частотой и длиной волны будет иметь вид (22). Действительно, все рассуждения, предшествовавшие решению (23), которое представляет собой общее решение для смещения струны в отделыюй моде, ие зависят от начальных условий.
Мы перешли к решению для струны, закрепленной в точках г=О и г=Ь, после рассмотрения решения (23) . Если трение между стержнем и кольцом отсутствует, то на свободном конце колеблющейся струны нет поперечной силы, действующей на струну. Это значит, что наклон струны на свободном 4) Рнс. 2.Р.
Моды иолебаннб непрерывной струны, один понед которой свободен, а другое ааиреплен. конце должен раен ться нулю в любой момент времени. При попытке воздействовать поперечной силой на свободный конец струны она будет двигаться таким образом, чтобы уменьшить зту силу до нуля, и конец струны останется горизонтальным, хотя, конечно, не будет неподвижным. (Смысл всего этого следующий: невозможно давить на объект, который не давит на вас, но можно смещать его по своему желанию). На рис. 2.9 показаны моды для струны с одним закрепленным концом. Мы пронумеровали их в соответствии с числом четвертей длины волны, укладывающихся иа полной длине струны Е. то Замети«и что гармоники с частотами 2ч„4», и т.
д. выпадают. Применение фурье-анализа к функции 1 (г), равной нулю при г=-0 и имеюшей нулевой наклон в точке г=7., рассмотрено в задаче 2.29. Зависимость «кичево»ва тона» (тембра) от метода возбуждены«. Когда молоточек бьет по струне рояля, то вместе с основной (»,) гармоникой возбуждаются в некоторой степени и вторая гармоника илн октава (2»,), октава плюс квинта (Зъ,), вторая октава (4ч,), вторая октава плюс большая терция (5»„), вторая октава плюс квинта (6»,) и т. д., как более высокие гармоники основного тона ть Величина и фаза каждой фурье-компоненты (каждой гармоники) зависят от начальной конфигурации и скорости всех частиц струны в момент после удара.
Результат в болыпой степени зависит от расположения молоточка, т. е. его расстояния от конца струны. Нельзя, например, ожидать возбуждения моды с узлом в точке удара, так как молоточек сообшает при ударе начальную скорость той части струны, по которой он бьет. Например, если струну ударяют посередине, то моды с узлом в центре струны не будут возбуждены. Рассмотрение рис. 2.3 показывает, что в этом случае пропадут все четные гармоники. Так, ущипнув за середину струны С!28, мы можем ожидать суперпознцин колебаний С128, С»384, Е640 и т.
д. Тембр в этом случае бчдет заметно отличаться от того, который будет в случае удара по струне недалеко от конца, когда возникает суперпозиция С!28, С256, С»384, С512, Е640, 0768 и т. д. Моды однородной струны образуют иолнь»й набор функций. Начав с изучения струны, закрепленной на концах, мы нашли, что любая разумная функция 1'(г), определенная между г=О и г=.-1. и равная нулю в этих точках, может быть разложена в ряд Фурье: Ю 7 (г) = ~ А„зш ии,г, 7«,Л = и.
(54) »=! Поэтому говорят, что функции з(пгй,г, где и=-1,2, 3,..., образуют полный набор функций (по отношению к функции 7 (г), равной нулю в точках г=-0 и 1.). Полный набор функций определяется как последовательность функций, с помощью которых любая функция 7 (г) при соответствующем значении коэффициентов может быть записана в виде суперпознции функций набора. Неоднородная струна. Существуют ли другие полные наборы функций, кроме синусоидальных функций, образующих ряд Фурье? Да, сушествует бесконечно много полных наборов. )»(ы можем убедиться в этом на следующем примере. Предположим, что струна неоднородна, т.
е. либо плотность струны, либо ее натяжение (либо обе этн величины) являются непрерывными функциями от г. (Примером «струны» с изменяющейся плотностью и натяжением может служить вертикально подвешенная «пружина» с закрепленными нижним и верхним концами. Натяжение внизу меньше, чем наверху, на величину Мд, где М вЂ” масса «пружины».) Теперь уравнение движения небольшого сегмента струны не будет больше подчиняться 7Б классическому волновому уравнению д»ф(г, г) т, дче(г, 0 аг о, вг» Действительно, в этом случае равновесное натяжение Т, (г) и плотность р,(г) зависят от г и колебания будут (см.
задачу 2.10) удовлетворять уравнению дг~) (г, О 1 д ( 7, ( ) д~) (г, О~ (55) др ро(г) эг ( о д( Это уравнение переходит в классическое волновое уравнение, только если Т,(г) и р,(г) превращаются в константы, не зависящие от г. В нормальной моде неоднородной струны, так же как и в моде однородной струны, каждая часть струны совершает гармоническое колебательное движение с одинаковой частотой и фазовой константой: »р (г, () = А (г) соз (в»(+ ~р). (56) Поэтому в»ф — '," = — ы' А (г) соз («в(+ ~р), (57) — =сов( г+~р) ВА (г) (58) Подставляя это в уравнение (55) и сокращая на общий множитель соз (ы(+~р), получим уравнение для моды 1 В Г ВА(г)) (59) р«(г) вг ( Синусоидальная форма стоячих волн — свойство однородной системы. Геометрическая форма моды определяется функцией А (г), которая является решением уравнения (59) с соответствующими граничными условиями: А (г)=0 при г=О и г=Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
