Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

2.34. Граничмыг условия иа свободном конце струим. Рассмотрите четыре различные сиота»пл, показанные на рисунке. !, Покажите, что все они имеют одинаковую частоту колебаний для показанных мод. 2. Предположим, что вы хотите применить одну и ту же формулу для выбора волнового числа в случаях в) и г) и н случае а). Покажите, что Е в этой форлгуле (иапишите ее) должно быть равно зу»а. 2.35. Упругая струна длиной Е растянута между двумя опорами с равновесным пати>некием Т. Погоннаи масса струны р, так что вся масса струны равна М=РЕ. С помощью удара небольшому сегменту а в центре струны сообщается поперечная скорость о„, и в струне возбуждаются колебания. Вычислите амплитулу трех первых гармоник.

ГЛАВА 3 ВЪ|НУЖДЕННЪ|Е КОЛЕБАНИЯ 3.1. Введение В предыдущих главах были рассмотрены свободные колебания. Здесь мы будем изучать вынужденные колебания различных систем. Это значит, что нас интересует поведение систем, к которым тем или иным способом приложена внешняя, зависящая от времени, сила. Без потери общности можно считать, что на систему действует синусоидальная внешняя сила. Нас интересует реакция (отклик) системы на это воздействие как функция частоты. В п. 3.2 будут рассмотрены свободные колебания одномерного затухающего осциллятора.

Затем мы изучим переходную характеристику такого осциллятора, выведенного из положения равновесия силой, изменяющейся по гармоническому закону. Мы обнаружим интересное явление «переходных биений» между внешней силой и переходным процессом свободных колебаний. Затем мы перейдем к установившимся колебаниям, которые совершает система после окончания переходного процесса. Мы рассмотрим также резонансную характеристику осциллятора, находящегося под действием внешней силы при медленном изменении ее частоты. В и.

3.3 мы будем изучать системы с двумя степенями свободы и обнаружим, что каждая мода свободных колебаний вносит свой вклад в вынужденное движение данного движущегося элемента. В частности, будет выведено очень простое соотношение, которое покажет, что движение данного элемента является суперпозицией независимых вкладов от каждой моды. В п.

3,4 мы обнаружим замечательные свойства системы с несколькими степенями свободы, находящейся под воздействием внешней силы, частота которой либо выше, либо ниже частоты самой низкой моды системы. В п. 3.5 мы обратимся к системе из многих связанных маятников, находящейся под внешним воздействием, и откроем существование экспоненциальных волн. Все явления, рассмотренные в этой главе, можно изучить в простых домашних опытах со связанными маятниками. Для создания 103 внешней силы очень удобен проигрыватель. Банка консервов может служить грузом маятника, а «пружины» обеспечат связь между маятниками е).

х(1)+Гх(1)+го,'х(О) =О. Будем искать решение х, (1) в виде х, (1) = е- ч* н' соз (ю»1+ 8), (3) где т, ю, и 8 неизвестны. Прямой подстановкой мы находим, что (3) является решением уравнения (2) для любого значения фазовой константы 8 при условии, что (2) 1 с=в Г (4) гн1 = о»о — — Г'. 1 (5) *) Почти но всех опытах «пружины» можно заменить резиновыми жгутами, слабыми пружинами или придумать другов способ свини, (Прим. ред.) 104 3.2. Вынужденные колебания одномерного гармонического затухающего осциллятора Этот вопрос был частично рассмотрен в 7-й главе 1 тома, где изучались свободные колебания и установившиеся вынужденные колебания затухающего осциллятора. (Эффект затухания иногда называют демпфированием, а сам осциллятор — демпфированным.) )1(ы рассмотрим также переходный процесс у гармонического осциллятора, первоначально находящегося в покое и подверженного действию гармонической внешней силы.

Рассмотрим точечную массу М, совершающую колебания в направлении х. Ее смещение от положения равновесия обозначим х (1). На массу действует возвращающая сила — Мо«', х(1), вызываемая пружиной с коэффициентом жесткости К=-Мо»„. Если на массу М никакие другие силы не действуют, то она будет совершать гармонические колебания с угловой частотой о»,. Предположим, однако, что на массу действует еще сила трения, пропорциональная — МГх(1), где à — коэффициент, который мы назовем коэффициентом затухания, приходлщил«сн на единицу массы, или просто козффициентол«затухания. Кромесилытрсния на массу действует внеигняя сила г(1). В этом случае второй закон Ньютона для массы М имеет вид неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка: Мх Я = — Мго',х (1) — МГх (1)+ с (1).

(1) Начнем с более простого случая, когда внешняя сила отсутствует. Затухание свободных колебаний. Уравнение (1) можно переписать в виде Наиболее общее решение уравнения (2) представляет собой суперпозицию двух линейно независимых решений с двумя произвольными константами, которые могут быть определены из на.

чальных условий для смещения и скорости: х, (О) и х, (О). Два ли. нейно независимых решения можно получить, взяв два значения О, например, первое О=О и второе О= — п/2. Таким образом, общее решение может быть записано в виде где 1=-)~ — 1.

Решение (7).остается справедливым и для этого случая. Оно может быть записано (задача 3. 25) в виде х,(() =е-ч*"'(х,(0) сй / в,(г + ~х,(0) + — Гх,(0)1 ~'< ~. (9) (вП Мы ограничимся случаем слабого затухания, когда '(,Г меньше в,. Если затухание очень слабо, т. е. '/,Г(<в„то экспоненциальный множитель ехр ( — '),Г1) можно считать постоянным в течение одного цикла колебаний. В этом случае скорость, с довольно хорошим приближением, будет равна производной выражения (6) по времени, причем множитель ехр ( — '/,ГГ) можно считать постоянным. Легко показать, что при этом энергия (кинетическая плюс потенциальная) почти постоянна в течение одного цикла колебаний, но уменьшается по экспоненте за интервал времени, включающий в себя много циклов: Е Я = — Мхф(1)+ — Мв3 х*, (1) = Е,е-г' = Е,е-и' (1О) 2 где Е.= — М(в'+в3) ~ — А'+ — В') ° (11) х, (1) = е- ч "' (А, з1 и в,(+ В, соз в,1).

(б) Константы А, и В, определяются из равенств В,=-х, (О) и в,А,= =х, (О)+"),Гх, (О), и уравнение (6) принимает вид х,(1)=е-ч*"(х,(0)созв,(+ (х,(0)+ — Гх,(0)1 — '~. (7) в1 Когда '!,Г мало по сравнению с в„колебания являются слабо загиухаюи~ими. При '!,Г„равном в„говорят, что движение происходит с критическим затуханием. Из уравнения (5) следует, что в этом случае частота в, равна нулю, и в решении (7) мы заменяем 1 1 соз в,г на 1 и — ' зш о,7 на г, так как предел — з1п в,г при И1 в1 в„стремящемся к нулю, равен Г. Когда ч).,Г больше в„говорят о сильном затухании осциллятора.

В этом случае Формула (5) дает отрицательное значение в', Это значит, что в, равно ),)=. 1/ — 'à —,, (8) Рассмотрим теперь осциллятор со слабым затуханием, на который действует внешняя сила Г (г), не равная нулю. Установившиеся колебания под действием гармонической внеин ней силы.

Очень большой класс функций г" (1) можно разложить в ряд Фурье по различным частотам ьп Р (1) = ~ч~Р г («о) соз (о(+ <р (ы)1, (12) Например, в п. 2.3 мы показали, что любая «разумная» периодическая функция г (г) допускает такое разложение. В главе 6 мы узнаем, что многие непериодические функции также можно представить в виде рядов или интегралов Фурье. Рассмотрим отдельную составляющую ряда Фурье для такой силы: Р(1) =-Р, соз ый (13) Здесь нулевой момент времени выбран так, чтобы сделать фазовую константу равной нулю. Если мы будем знать, как найти х (1) для такой гармонической внешней силы, мы легко найдем х (1) для суперпозиция подобных сил, выраженной формулой (12).

Действительно, в п. 1.3 было сказано, что для неоднородного линейного уравнения справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что решение, соответствующее суперпозиции различных внешних сил, представляет собой суперпозицию отдельных решений. Поэтому мы начнем с неоднородного уравнения с внешней силой в виде одной компоненты ряда Фурье: М.г(1)+МГх(1)+Мы,'к(1) =Р«созы1. (14) Мы хотим найти решение уравнения (14) для установившегося состояния.

Установившееся состояние — это движение, совершаемое осциллятором под влиянием гармонической внешней силы, которая действует в течение значительно большего времени, чем постоянная времени т. В этом случае переходный процесс, который описывает поведение системы в течение интервала времени, равного нескольким т после момента приложения внешней силы, уже закончился, и осциллятор совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы ы.

При этом движении амплитуда колебаний пропорциональна амплитуде Р„внешней силы, а фазовая постоянная определенным образом связана с фазовой постоянной внешней силы. Амплитуда дисперсии и амплитуда поглощения. Вместо того, чтобы описывать колебания в терминах амплитуды и фазы, мы опишем их с помощью двух амплитуд А и В, из которых первая определяет компоненту колебания Аып «»1, сдвинутую на 90' относительно внешней силы г", соз «вг, а вторая — компоненту В соз ый которая находится в фазе с внешней силой.

Таким образом, решение для установившегося состояния может быть записано в виде х«(1) = А з)п «в1+ В соз в»1. 106 Непосредственной подстановкой можно проверить, что х, (() удовлетворяет уравнению (14) только в том случае, если Е, Гог гн (( оо „а)г ! Гг„,г) (( ог~ 3— огг) ' - !- Ггог'") (17) Постоянная А называется алггглитудой поглогг1гнил, а постоянная  — упругой алтлитудой. (В также называют пмплигггудой' дисперсии *).) Эти названия амплитуд объясняются тем, -гто среднее по времени значение поглощенной осциллятором мощности определяется членом Л„з!и шй Член Аа сон шг дает определенный вклад в мгновенное значение поглощаемой мощности Р (1), но в среднем за цикл установившихся колебаний его вклад равен нулю.

Характеристики

Список файлов книги