Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Это соотношение справедливо, если затухание мало н если интервал частот между отдельными резонансами больше ширины резонанса. В этом случае в области любого резонанса основной вклад в амплитуду поглощения дает только одна мода. Однако оказывается, что для амплитуды дисперсии мы не можем пренебречь вкладом от каждой моды. (См. задачу 3.20). П р и м е р 2.
Вынужденные колебания двух связанных маятников. Наша система показана на рис. 3.3 и описана в домашнем опыте 3.8 (где гири маятника — это банки консервов, пружина— это «пружнна», внешняя сила создается резиновым жгутом длиной около 3 м, соединяющим систему с диском проигрывателя, а затухание вызвано трением струн, на которых подвешены банки консервов, о какой-нибудь предмет).
Для простоты положим, что каж- 1~8 дый маятник имеет одинаковую постоянную затухания Г. В этом случае уравнения движения примут вид МЧ,= — — ф,— К(ф,— Чс ) — МГЧ,,+госозбз/, Ме МЧ, =- — —, ф, + К (ф. — ф,) — Мгф,. Мд (49) (50) Ч'х = /я (Чсо+'Фб) (51) Ч:.=,:(ф.— ф). (52) где яр, и фя — нормальные координаты. Каждая мода ведет себя как осииллятор под дейст- а/ вием внешней силы.
Перейдем к нормальным коорди- // " л/ натам ф, нф, Сложив уравнения (49) и (50), получим Мф,=- — —,Ч,— МГЧ, + Мд 1 + 2 Г'аСОЗбу/. (53) б~ Вычитая одно уравнение ~ ~л ТЗ~Ф из другого, получим с/З/1/ 1/б/Й/ МЧа= М + 1ф, я м/л1 а Рнс. З.З. Вынумсяенные колебания сняаанных ыа- 1 яхнысоа. — МГфя+ 2 Росоэсо/. (54) о/ Раянояеске', б1 об~она случай. Заметим, что уравнения (53) и (54) не связаны (независимы). Сравнивая уравнение (1) с уравнениями (53) н (54), мы видим, что два послед- них являются уравнениями гармонического осциллятора с зату- ханием, находящегося под действием внешней силы.
Таким об- Разом, ноРмальнаЯ кооРдината Чзх ведет себЯ как пРостой гаРмони- ческий осциллятор с массой М, с коэффициентом жесткости пружи- ны Мь, 'и коэффициентом затухания Г, находящийся под внешним воздействием х/, г",соз ы/. Нормальная координата Ч, ведет себя ана- логичным образом, имея соответствующие параметры: М, Мезе, Г и '/, г,соз бу/. Эти колебания независимы, так что мы можем напи- сать установившиеся решения ф и Ч>, отдельно.
Каждая мода ве- дет себя как одномерный осциллятор, поэтому каждая мода имеет свои собственные амплитуду поглощения, амплитуду дисперсии и резонансную частоту, соответствующую частоте моды, точно так же, как в случае одномерного осциллятора, !19 Мы рассматривали свободные колебания такой системы при отсутствии затухания и знаем, что если г, и Г равны нулю, то моды определяются следующим образом: мода 1: Ч,=ЧЗ, а,'=~/1, мода 2: ф, = — Чз, оз, '= су/1+ 2К/М, Движеное каждого элеиента является супериозищией отдельных леод, совершающих вынужденные колебания.
Рассмотрим движение двух элементов а и Ь нашей системы. В соответствии с уравнениями (51) и (52) имеем тул чуз лс трз ЧЪ = чрт чрз (55) Из уравнений (55) следует, что амплитуда поглощения для элемента о представляет собой сумму соответствующих амплитуд обеих мод. Амплитуда поглощения для элемента Ь представляет собой разность амплитуд поглощения двух мод. То же можно сказать и об амплитудах дисперсии для элементов а и Ь; они соответственно равны сумме и разности амплитуд дисперсии обеих мод.
Когда частота внешнего воздействия равна частоте одной из мод, элементы о и Ь движутся так, как если бы их колебания принадлежалн этой моде (при свободных колебаниях). йг шее, йг огеуГ Рис. 3.4. Резонанс в системе с двумя степенями свободы. Грабики изображают аавнснмость от частоты амплитуды поглощения и амплитуды дисперсии для го) мантинка, непосредственно связанного с вынуждающей силой, и (б> для маятника.
удаленного от точки приложения вынуждающей силы. Расстояние между резонансными частотами выбрано равным триднатикр*тному анзченню полущярины зг'зг резонансной кривой, одинаковой для каждой моды. На рис. 3.4 показаны графики амплитуды поглощения и амплитуды дисперсии для тр, и трь. Из этого примера видно, что установившаяся амплитуда каждого движущегося элемента может быть представлена суперпозицией вкладов от каждого резонанса, т. е. от каждой моды свободно колеблющейся системы.
Каждый вклад (каждая составляющая) в этой суперпозиции соответствует вынужденным колебаниям осцилля- 120 тора одной из мод. Вклад каждой моды зависит от того, каким образом к системе приложена внешняя сила. Для случая, показанного на рис. 3.3, мы нашли, что каждый движущийся элемент получает одинаковый вклад (с точностью до знака) от каждой моды. Однако, привязав резиновый жгут к центру пружины, мы не получили бы одинакового вклада буй (ууВ+Р~,,г, от обеих мод. Таким образом, вклад каждой моды зависит от способа приложения силы.
Вынужденные колебания системы из многих связанных маятников. Положим, что вместо у двух маятников, мы имеем це- ~и1я У лую группу таких связанных маятников, расположенных вдоль и ямОЙ Вели к системе при- и . з б. д ° .Р ° ° °, д, связанных маятников. ложить виепшюЮ гармониче- две точки соответствуют двум резонансам системы двух связанных маятников. Резо- СКУЮ СИЛУ И МЕНЯТЬ СЕ Чаетотр ивисы в аналогичных системах из большего так медленно чтобы все воеьш числа связанных маятников будут иредставг г лены точками на той же кривой. Число СущЕСтвОваЛ уСтаНОВИВШИйСя рЕ- точек равво числу резонансов, которое в свою очередь равно числу мод свободных жим, то мы будем наблюдать ре- колебаннй, зонанс всякий раз, когда частота внешнего воздействия будет равна частоте одной из мод.
(Конечно, внешняя сила может быть приложена таким образом, что некоторые моды, как было замечено выше, не возбудятся. Тогда на частотах, соответствующих этим модам, резонанса не будет.) Точно так же, как в случае системы с двумя степенями свободы, установившаяся амплитуда каждого движущегося элемента будет суперпозицией вкладов от каждой из мод системы. Чтобы проследить изменение резонансных частот и соответственно волновых чисел, можно построить график дисперсионного соотношения (которое не зависит от числа степеней свободы и граничных условий) и на графике отложить точки, соответствующие резонансам рассматриваемой системы.
Дисперсионное соотношение для связанных маятников было показано на рис. 2.18. Рис. 3.5 представляет собой тот же график, на котором показаны две точки, соответствующие модам, определенным из граничных условий, для рассмотренной системы из двух маятников, 3.4. фильтры Когда на систему действует внешняя сила с частотой гб, установившееся движение любого элемента представляет собой суперпозицию вкладов от всех резонансов. В частности, возвращающая сила иуа, приходящаяся на единицу смещения и на единицу массы, которая в установившемся режиме имеет общее значение для всех движущихся элементов, образуется в результате суперпозиция 121 различных мод.
Рассмотрим качественно, что происходит при изменении ы'. Предположим сначала, что частота ы лежит где-то между минимальным и максимальным значениями резонансных частот, но достаточно далеко от областей резонанса. В этом случае амплитуда данного движущегося элемента в основном определяется вкладом амплитуд дисперсии от всех мод. Вклады различных мод имеют разные знаки в зависимости от того, какой движущийся элемент мы рассматриваем. (См. уравнения (55). Сравните вклады от моды 2 для ф, и фы! Увеличивая а', мы можем приблизиться к резонансной частоте. При прохождении через резонанс слева направо вклад от амплитуды дисперсии для данной моды меняет знак. При дальнейшем увеличении частоты амплитуда колебаний различных движущихся элементов будет более или менее сложным образом увеличиваться или уменьшаться по мере того, как мы будем проходить резонансные частоты, соответствующие разным модам.
В конце концов мы пройдем самое большое значение частоты, соответствующее последней моде. После этого больше не будет происходить изменения знака вкладов, так как теперь знаки различных амплитуд дисперсии уже не будут меняться при увеличении частоты. Поэтому движущиеся элементы будут сохранять в большей или меньшей степени форму самой высокой моды (но не точно, конечно). Происходит нечто очень интересное. Пусть система представляет собой вытянутое в линию устройство (например, маятники, связанные пружинами), а внешняя сила приложена к одному из ее концов и частота этой силы больше частоты самой высокой моды.
В этом случае движущийся элемент, ближайший к точке приложения силы, имеет самую большую амплитуду колебаний, соседний с ним — меньшую, следующий — еще меньшую и т. д. Амплитуда уменьшается с увеличением расстояния от входного конца системы, к которому приложена сила. В этом случае говорят, что система представляет собой фильтр. П р и м е р 3. Два связанных маятника как механический фильтр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
