Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

к»«»4»л )29 иначе. Предположим, что затухании нет, но тем не менее нам удалось заставить систему войти в установившийся режим, в котором она совершает колебания с частотой в» внешней силы. Поскольку затухание отсутствует, то нет и рассеивания энергии. Поэтому приложенная внешняя сила не будет совершать никакой работы над движущимися элементами. Это значит, что смещение любого движущегося элемента либо находится в фазе, либо сдвинуто на 180 относительно внешней силы, т. е. мы имеем «чистые» амплитуды дисперсии. Таким образом, мы получили важный результат: в установив- и»е.ноя режиме (и для частотьс в», далекой от резонанса) каждый движущийся элемент ил»еет одну и ту же 4азу, совпадающую с фазой внешней силы. (Мы считаем, что амплитуда каждого движущегося элемента может быть положительной или отрицательной, и не упоминаем о возможном 180-градусном сдвиге.) Другой вывод заключается в том, что возвращаюи!ая с»»ла, приходящаяся на единицу массы и на едина»(у смещения, имеет одно и то же значение для всех движущихся элементов.

Зто верно, потому что каждый движущийся элемент колеблетси с одинаковой частотой. (Обратите внимание на то, что эти же условия справедливы для отдельной нормальной моды свободно колеблющейся системы без затухания!) Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы перейти к отдельным примерам. П р ни ер 9. Связанные маятники. Меняя названия (например, заменяя «длину струны> на <»емкость> и «массу» на «индуктивность>) вжй вжй '6н Рис, 3.»0. Санзанные мантииии с не«мазанными «раненными Гслсаинмн.

и рисуя новые схемы, мы можем, не повторяя вычислений, понять поведение весьма различных физических систем, основываясь на результатах, полученных для связанных маятников. (Мы часто так поступали в главе 2.) Здесь нас интересуют только связанные маятники. На рпс. 3.10 показаны три одинаковых связанных маятника, следующие один за другим (полное число маятников в последовательности не определено, и граничные условии не указаны).

Уравнение движения для смещения ф,(1) гири и-го маятника имеет вид (для малых колебаний) М»Р„= — Мв»ааф„+ К (»)»„из — ф„) — К (»)»„— »)»„з), (62) !30 где в»»=йН. Прежде чем изучать точное решение уравнения (62), рассмотрим его решение в непрерывном приближении. Это значит, что мы отказываемся от информации о движении для конфигураций, соответствующих самым высоким модам свободных колебаний, для которых соседние маятники имеют «лево-правую» конфигурацию.

(«Лево-правое» вЂ” это продольный аналог поперечного «зигзага».) Мы должны будем поэтому ограничить себя сверху по частоте. Только имея точное решение, мы сможем рассмотреть частоты внешней силы, лежащие у верхней границы полосы пропускания и за ней. Непрерывное приближение. Предположим, что»р„(1) медленно меняется с увеличением и. Это значит, что все маятники в небольшой окрестности маятника и (который имеет положение равновесия в точке г) движутся приблизительно так же, как маятник и, так что смещение можно считать непрерывной функцией ф (г, 1).

Разложим соответствующие члены в уравнении (62) в ряд Тейлора: Ф.(1)=Ч (г, 1)* ф„«,(1)=ф(г+а, 1)=ф(г, 1)+а 1' + 2 а* дг' дф («, () 1 д»ф (8, () ф„,(1) = — »Р(г — а,1)=ф(г, 1) — а д ' + 2 а' д.,' +... дф (г, 1) 1 , д»ф (г, 1) Таким образом, дф, 1 д»ф, — 'ф =а — + — а' — —,'-... и»1» дг г дг»вЂ” дф 1, д»ф )р — »р =а — — — а' — +... дг г де» Подставив эти выражения (а также»Р„(1) =д»ф(г, 1)'д(») в уравнение (62), получим (63) Волновое уравнение Клейна — Гордона. Уравнение (63) — знавенитое уравнение. Оно превращается в классическое волновое уравнение, когда в»„равно нулю.

Его иногда называют «волновым уравнением Клейна — Гордона». (Оно справедливо для волн де Бройля в случае релятивистских свободных частиц. С»ь Д. 2.) Мы предполагаем, что все движущиеся элементы находятся в установившемся режиме и колеблются с частотой в» вынуждающей силы, что эта сила не совершает работы и что фазовые постоянные у всех движущихся элементов одинаковы.

В этом случае 1р(г, 1) =сов(в»1+ ф) А (г), (64) —,= — «в» сов(в»1+ф) А (г), (66) —, = сов (вг-)- ф) —, в»А (г) (66) 131 Подставляя уравнения (64), (65) и (66) в (63) и сокращая на соз (ы)+ +ф, получим дифференциальное уравнение для пространственной конфигурации А (г) маятников в установившемся режиме под действием силы с частотой ео «)«А (г) М г« =л.а» (ы« — в«) А (г). (67) Решения уравнения (67) сильно отличаются, если «ь»)«ь,* и а':лв,'. В первом случае мы получаем синусоидальные волны, которые были рассмотрены ранее (в п. 2.2) для непрерывной струны.

Синуеоидальные волньп «ь')ы,'. При «ь')«»'«уравнение (67) имеет вид ь'-'Л [») — = — п«Л (г), пг~ где й« вЂ” положительная константа: М (69) Уравнение (69) представляет собой дисперсион~ое соотношение для волны в случае «в'~«ь,'. Общее решение уравнения (68) имеет вид А (г) = А з)п йг -)-В соз йг, (70) — = я»А (г). а«А (г) (72) где А и  — константы, определяемые нз граничных условий.

В зависимости от гранпчных условий существуют определенные волновые числа (и соответственно частоты внешнего воздействия), которые соответствуют «резонансу». Резонансные частоты совпадают с частотами нормальных мод (стоячих волн) свободно колеблющейся системы. Теперь рассмотрим второй случай, имеющий важное значение. Экепоненциальные волны; «ь'(«в,'. Если «ь' меньше в»«*, мы определим положительную константу я как положительный квадратный корень из положительной величины М (71) Уравнение (71) представляет собой дисперсионное соотношение для системы, у которой «ь»(«ь,'. В этом случае уравнение (67) принимает вид Наличие плюса в правой части уравнения (72) дает решение, совершенно отличное от синусоидального решения уравнения (68).

Решение уравнения (68), т. е. синусоидальная функция А (г), определяемая решением (70), пересекает ось г н после пересечения меняет знак кривизны и снова пересекает ось и т. д., колеблясь в пространстве. В противоположность этому плюс в правой части уравнения (72) означает, что функция А (г) постоянно удаляется от оси г. Поэтому, если решение А (г) положительно и имеет положительный наклон (нли отрицательно, с отрицательным 132 наклоном), то оно никогда не вернется на ось г. Если А (г) положительно и имеет отрицательный наклон, оно будет приближаться к оси г все более медленно с возрастанием г.

Если А (г) в конце концов пересечет ось г, имея отрицательный наклон, то с ростом г отрицательное значение А (г) будет расти и А (г) больше не пересечет оси г. Общее решение уравнения (72) представляет собой суперпозицию двух экспоненциальных функций: А (г) =-Ае "'+Ве+"'. (73) Чтобы убедиться в этом, продифференцируем это решение: йА (») — яАс-»» хВе»»» аг а»Л (г) = ( —,х)» Ае "'-',-(х)» Ве+" =х'А (г). Мы видим, что решение (73) удовлетворяет уравнению (72).

Постоянные А и В определяются из граничных условий. Таким образом„для ь»»(«ь«' общее решение ф (г, 1) имеет вид ф(г, 1)=(Ае»+Ве'"*)соз(ь»(+~р). (74) Связанные маятники как фильтр высоких частот. Уравнение (74) дает общую форму экспоненциальной волньи Частота ь»',=йВ представляет собой граничную частоту для низких частот. Этого можно было ожидать, поскольку для простой системы из двух маятников было получено такое же выражение.

На частоте самой низкой моды все маятники колеблются в фазе друг с другом и возвращающая сила образуется только за счет силь«тяжести. Пружины не сжаты и не растянуты. Длина волны «бесконечна», т. е. и равно нулю. Если к системе приложена внешняя сила с частотой, меньшей граничной частоты, то в системе не могут поддерживаться синусоидальные пространственные соотношения для относительных амплитуд колеблющихся грузов.

В этом случае относительные амплитуды маятников будут экспоненциально зависеть от расстояния, как это следует из решения (73). Таким образом, система будет вести себя как высокочастотный фильтр. (В действительности она будет паласовым фильтром, но, пользуясь непрерывным приближением, мы не можем изучить отклик системы на колебания больших частот, в которых участвучот высокие моды с пх «зигзагообразной» конфигурацией.) Предположим, что сила приложена в точке г=-О и что система простирается от г=О до г=7. и в этой точке (г=7.) она привязана к жесткой стене.

Интуитивно ясно, что, если воздействовать на систему с частотой, меньшей граничной частоты, амплитуда А (г) должна уменьшаться с увеличением расстояния г от точки приложения силы. Если система имеет очень большую длину, т. е. Ь велико, то в точке г=7. амплитуда должна быть очень малой. В пределе, когда г'. бесконечно велико, амплитуда в точке г=7. должна Агу) Рис. 3.11. Связанные ыаятнвкв, на которые слепа нсйствуст вен~угада~авгия сила с частотой. ысныпей порогонов настая ы ы„.

н) Мгновенная канфигураиия систены, б) график Л(а1. можем экспериментально осуществить «бесконечную» длину при конечном Е, сделав В значительно больше 1,гх. (См. домашний опыт 3.16.) Терлшнолпгпя для экспоненциальных волн. Постоянная х называется коэффп11 центом поглощения. Она характеризует относительное уменьшение амплитуды на единице длины. Рассмотрим амплитуду А (г), образованную внешней силой на левом конце системы, достаточно длинной для того, чтобы иметь только убывающую экспоненту смещения: тР (г, 1) = А (г) соз М, (75) где А(г) =Ае 1 бА 1п) — — — =-относительное уменьшение амплитуды Л (и) нп (76) па единице длины. (77) Зто выражение равно х, если А (г) задано выражением (76). С другой стороны, когда А (г) равно В ехр (+хг), амплитуда уменьшается при уменьшении г, а не при возрастании.

Характеристики

Список файлов книги