Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Однако это не вызывает путаницы, и мы по-прежнему будем называть х коэффициентом пог- 134 равняться нулю. Это значит, что член В ехр (+хг) в уравнении (74) должен исчезнуть, т. е. В должно равняться нулю. Это правильная догадка. (См. задачу 3.30.) На рис. 3.11 показан пример, соответствующий такому случаю. Заметим, что в этом примере не так уж важно, привязан ли конец в точке г=Ь. Если хЕ))1, то амплитуда колебаний станет равной нулю раньше, чем мы достигнем точки г=Е.
Таким образом, мы лощения. В случае общего решения Аехр ( — хг)+Вехр (+хг) мы оставим то же название для х, несмотря на то что для некоторых интервалов г амплитуда А (г) может возрастать, а для некоторых — уменьшаться. Величина, обратная х, представляет собой длину 6, на которой амплитуда ехр ( — хг)==ехр ( — г!6) уменьшается в е=2,718 раз. Она назь1ваегся глубиной проникновения алтлипуды или просто глубиной проникновения: 1/х = 6. (78) й4ожно провести некоторую аналогию между коэффициентом поглощения х для экспоненциально убывающих волн и волновым числом я для синусоидальных волн.
В первом случае х — это относительное ослабление амплитуды на единицу длины, во втором случае й — это число радиан на едшпщу длины. Точно так же есть некоторая аналогия между глубиной проникновения 6 и длиной полны 7' 6 — это расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е раз, а Х вЂ” это расстояние, на котором фаза увеличивается на 2п. Дисперсионньм соогпношения.
Если частота «о больше нижней граничной частопип то мы имеем синусоидальные волны, для которых частота и волновое число связаны уравнением (69), Перепишем его в виде (79) ~ М,1 Для «в, меньцшх нижней граничной частоты а„, сннусоидальных волн нег. (Они «срезаются».) В этом случае вместо синусоидальных волн имеем эксповенциальные волны.
Частота ы и коэффициент ослабления х связаны соотношением (71), которое запишем в виде — шо ~ )х (80) Выражения (79) и (80) представляют собой полное дисперсионное соотношение для системы (в непрерывном приближении). Для частотного диапазона, в котором вынужденные колебания синусоидальвы, дисперспонвое соотношение (79) совпадает с дисперсиониым соотношением для мод свободньш колебаний. [См. п. 2А, уравнения (2.90) — (2.92).[ Это не случайно. При выводе дисперсионного соотношения в обоих случаях мы находили уравнение движения груза и затем предполагали, что все движущиеся элементы совершают гармоническое движение с одной частотой ь» (в одном случае с частотой моды, в другом — с частотой установившихся колебаний) и с одинаковой фазовой постоянной.
Таким образом, это общий результат: дисперсионнос соотношение для вынужденных синусоидальнык колебаний то же, что и для свободнык колебаний. Дисперсивная и реактивная среда. В рассматриваемом нами примере «среда», в которой возникают волны, представляет собой систему связанных маятников, Если в среде могут существовать 135 это происходило для радиостанций с амплитудной модуляцией.
Передача оказывается возможной лишь на расстояния, ограничен. ные «лучом зрения». Ионосфера является дисперсивной средой и для частот видимого света чж101> ги. Если бы она была реактивной средой для этих частот, мы пе видели бы ни звезд, ни Солнца. В следующей главе мы выведем дисперсионное соотношение для ионосферы (уравнение (81) ). Проникновение волн в реактивную область. Когда ионосфера находится под воздействием радиостанции, частоты которой ниже граничной частоты, радиоволны полностью отралсаются назад к Земле. Но отражение не происходит, так сказать, в одной точке, сразу.
Рассмотрим аналогичную задачу для связанных маятников (у этой системы такое же дисперснонпое соотношение, что и у ионосферы) в непрерывном приближении. Предположим, что на гирю первого маятника (в точке г=-0) действует вынуждающая сила ф, (г)=-А,созсьй В области между г=О и г=й находится некоторое количество связанных маятников, длина каждого из них 1„причем .- ы» » в »в (82) Таким образом, область, занимаемая этими маятниками (мы будем ее называть областью 1), дисперсивна. (Внешняя сила — это «радиостанция».
Область от г=-0 до г=(.— «обычный воздух», а не «плазма».) При г=Т. нити подвеса маятников внезапно становятся короче. Каждая нить имеет теперь длину 1,, так что сьо ) сь (83) » Зта область (область 2) реактивна. (Область 2 — зто «плазма>.) Пусть она простирается до бесконечности (г=оь). Описанная система показана на рис. 3.12. Найдем функцию ф (г, с), которая для г=О равна А,созюй Для любого г будем иметь ф (г, ») = А (г) соз ос, (84) где А (г) подлежит определению. Амплитуда А (г) для реактивной области (область 2), т. е. для г между В и бесконечностью, должна иметь вид А ( ) Се-хн — ы (85) где С вЂ” неизвестная константа, а к определяется равенством (86) где са»( йЛ».
В дисперсивной области между г=О и г=~ А(г) имеет вид А, (г) = А з)п й (г — Ц + В соз Iс (г — Т.), (87) 137 где А и  — неизвестные константы, а и дается соотношением (88) ПРИЧЕМ О!я)д/1!. ВВЕДЕМ тЕПЕрЬ ГраНИЧНЫЕ уСЛОВИя. Прн г=-Е. функции А, (г) и А, (г) должны гладко соединяться, т. е. должны а) в г Л ! ву г~ !у !г ву А(г~1 Рнс. 3 !". Система связаннык маятников с внезапнын изменением юаз в точке г=м о) системз. маятник в точке г=.й связан с вынуждающей силой, о! График зависимости Ют От г. ДЛя ВмяуждаЮщяя Чаетст В ИятсрзаЛЕ От УОУт, де 1ОЮ!, ОбЛаетЬ ! !От г=й дО гг— .-Е! является днсяерсианой, а область 2 !от гс Ь до г= ! — реактивной.
а! Графин зависимости вьтлвтуды А от г, когда»астота вынуждаюньен силы близка к самой низкой резонансной частоте системы. быть равны их значения и производные (наклоны) в точке г=й. Приравнивание значений обеих функций в точке г=Ь дает  †-С. Приравипванис производных дает яА= — хС. Таким образом, для области 1 имеем А, (г) = С ~ —, з!и а (г — В) + соз тс (г — В)~ . (89) Граничные условия для г=-О: А, (г)=А„в г= — О, и из уравнения (89) получаем Ао (90) — и!и й!'.+сон И. й !зв Полное решение определится уравнениями (84), (85), (89) и (90) н днсперсионными соотношениями (8б) и (88). Резонанс. Знаменатель в уравнении (90) обращается в нуль для ряда значений Ы, что дает бесконечное значение для С.
(Если учесть затухание, мы не получим бесконечно большой амплитуды.) Эти значения яь' определяют резонансные частоты системы. Для нахождения резонансных частот можно воспользоваться и дисперсионным соотношением. (См. задачу 3.31.) Амплитуда А (г) для частоты »», близкой к частоте первого резонанса, показана на рис. 3.12. Здесь С было взято большим, но не бесконечным. «Ограниченные в пространстве» моды. Из рнс. 3.12, в следует, что реактивная (поглощающая) область последовательности маятникон (она лежит между г=(. и г — — оо) действует подобно «мягкой стенке>.
Маятник, расположенный в точке г=(., ие закреплен, но, несмотря на это, на расстоянии нескольких глубин проникновения, за г=Е, смешение маятников пренебрежимо мало. Этот результат позволяет предположить, что, ограничив дисперсивную область с обеих сторон реактивными областями, мы получим в дисперсивной области почти такие же моды (свободных колебаний), что и в последовательности маятников, ограниченной двумя стенками, Такое предположение верно. Назовем этн моды «ограниченными».
Они возникают на частотах, примерно равных резонансным частотам системы, показанной на рис. 3.12. Интересным свойством «ограниченных» мод является то, что число пх конечно, даже если число маятников в дисперсивной области сколь угодно велико. Дело в том, что частоты «ограниченных» мод имеют в качестве верхнего предела частоту р д~~, Для в»») )дЛ«внешняя область становится дисперсивной, и колебания не будут больше ограничены центральной (дисперсивной) областью между дву«ш «стенками». В квантовой физике волны де Бройля для электронов в атоме ведут в себя в определенном смысле подобно «ограниченным» модам рассматриваемой системы маятников. Такие состояния электронов называются стационарными состояниями.
Пример квантовой системы со стацнонарньпш состояниями (их называют еще связанными состояниями электрона) рассмотрен в дополнении (см. Д.3). 'Точное решение для вынужденных колебаний системы связанных лиятников. Мы рассматривалн свойства вынужденных колебаний связанных маятников в непрерывном приближении. Найдем теперь точное решение уравнения движения маятника, находящегося в ряду связанных маятников.
Перепишем уравнение (62): ф. = — ы~1Ф. -г д (ф. » — 2ф.+ф. — ) . (91) Предположив, что все движущнеся элементы совершают гармо- ническое движение с одинаковой частотой и фазой ф„= А „соз в»(, (92) 139 получим — а'А„= — а,'˄— — А„+ — [ 2К 2К /Аи»г+Аи-г г т. е. » < 2К гг ! Н»(А»»г+Ал-г1) М( А„ тогда А„, = А яп (нпа-[- )га) + В соя (йгга+ )га), А„, = Л я1п (йпа — (га) + В соя ()ггга — йа) и А„, + А„, = 2Л яп йгга соя )га-[-2В соя йпа соя 7га = — 2 соя /га (А яп )гпа -р В соя )гпа) = (2 соя )га) А „. Подставляя этот результат в уравнение (93), получим а' = а, '+ — (1 — соя )га), (96) (97) т. е а' = а*-~- — яп' —. 2 » ~ лг 2 Уравнение (98) представляет собой закон дисперсии для дисперсивной области частот, Оно определяет частоты от а»=-а, 'до а'=гв',+ +4К/М, что соответствует значениям )га от )га=0 до )га=п.
Уравнение (98) — точно такое же дисперсионное соотношение, которое было получено для системы свободно колеблющихся маятников [см. уравнение (2.90) и. 2.4!. Нижняя реактивная область. Используя наш опыт нахождения решений в случае непрерывного приближения, предположим, что общее решение для частот, меньших нижней граничной частоты а„имеет вид вксггоненг[иальной волны: А Ле-м»а г Ве»х»< (99) Тогда А„„+А„, = (е*"-1-е "') А„.
Из уравнения (93) получаем закон дисперсии 2КГ 1 '= '+ — !! —,(е" +е "")1. — о М ~ Уравнение (101) можно привести к виду„похожему на уравнения (97) и (98). Используя гиперболические синусы и косинусы [см. приложение 1, уравнения (11) и (13)), находим а' = а,*+ — (1 — с)г ха) (102) (100) (101) 140 лгисперсивнагг область частот.
(В радиотехнике она называется <полосоГг пропускания».) В дисперсивпой области колебания синусоидальны в пространстве. Предположим, что решение имеет вид А„= А я!и (гпа+В соя йпа, (94) или 4К ! б)з = б),' — — з))з — ха. 2 (103) При б)=б)о уравнение (98) дает й=О и уравнение (103) также дает х=-О. Зто соответствует плоским волнам, и, таким образом, мы получили совпадение характера волн на границе. Верхняя реанп)ивная областес Зта область включает в себя частоты, бблыпие верхней частоты б),„, где б)з,„=б)',+4К!М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
