Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Рассмотрим в качестве примера два связанных маятника (рис. 3.3). Предположим, что на вход системы (маятник а) действуют с частотой большей, чем частота ы„которая соответствует моде 2. Маятник а непосредственно связан с внешней силой, поэтому для этого маятника возвращающая сила в установившемся режиме имеет некоторый вклад от внешней силы. Однако для маятника Ь это уже несправедливо. Его возвращающая сила образуется только натяжением пружины и силой тяжести, как и в случае свободных колебаний. При свободных колебаниях наибольшая возмущающая сила на единицу смещения, которую пружина и сила тяжести могли обеспечить, соответствовала конфигурации самой высокой моды.

В нашем случае это соответствует маятникам, движущимся в противоположные стороны. Единственный способ для маятника Ь иметь то же, что у маятника а, отношение возвращающей силы к массе и смещению — зто иметь меньшее смещение: )В ! ~ ! А!. Чем больше ы по сравнению с ым тем меньше должно быть соответствующее смещение маятника 6 по сравнению с а. Иначе говоря, маятник 6 может двигаться вместе с а лишь при меньшем смещении. Аналогичная ситуация возникнет для системы из нескольких связанных маятников, если частота внешней силы, приложенной к одному концу системы, превысит частоту самой высокой моды. Конфигурация в установившемся режиме будет соответствовать высшей моде, т.

е. каждый маятник будет двигаться с фазой, противоположнои фазе своих соседей. При этом для каждого маятника будет обеспечено самое большое значение Возвращающей силы, приходящейся на единицу смещения и на единицу массы. Равенство ыа для всех ! маятников приводит к тому, что каждый следующий маятник (от входа) должен иметь меньшее смещение.

Таким образом амплитуда смещения каждого следующего маятника будет уменьшаться по 1 л(ере удаления от конца, к которому при- Пй) ложена внешняя сила. тппттб с~ , 'а Срезание высоких частот. Мы рассмотрели прил(ер механического фильтра. Если на вход системы действует больше иастотй самой высокой моды. Относительные фалы ма- СИЛВ Г СОЗ йй(, ТО ВМПЛИТУДа ДВИЖЕНИЯ ятников совпадают с фазами этой На ВЫХОДЕ (Т. Е. ВМПЛИТуда дВИЖЕНИя в~оды. Амплитуда «на выходе» (маятник с( меньше амплитуды ПОСЛЕДНЕГО »ШЯТНИКВ) ЗНВЧИТЕЛЬНО МСНЪ- *на входе» (маятник яи ше, чем иа входе, если только йу много больше частоты самой высокой моды. При этом конфигурация системы будет той же, что у самой высокой моды, за тем исключением, что амплитуда маятников постепенно убывает к выходному концу системы.

Частота, соответствующая самой высокой моде (свободных колебаний), называется граничной частотой вынужденных колебаний. Если частота внешней силы на входе больше граничной частоты, то движение, передаваемое на вход этой силой, не проходит через фильтр, оно «срезается». На рис. З.б показана система из трех маятников, на которую действуют с частотой, большей граничной частоты.

(Такую систему легко сделать с помощью «пружины» и трех банок консервов; см. домашний опыт 3.!6.) Срезание низких частот. Посмотрим, что произойдет, если на вход снстел(ы действовать с частотой меньшей, чем самая малая собственная частота (т. е. частота, соответствующая первой моде свободных колебаний). Покажем, что если частота на входе много меньше этой частоты, то амплитуда на выходе (т. е. амплитуда последнего от входа маятника) много меньше входной амплитуды. Таким образом, часпюта самой низкой моды также является граничной частотой. Рассмотрим нашу систему из двух связанных маятников (рис.З.З).

При конфигурации, соответствующей первой моде, все маятники колеблются в фазе н с одинаковой амплитудой. Пружина не деформирована, и возвращающая сила создается только силой тяжести, 123 Таким образом, частота колебаний ейз равна )Уф1. Теперь предположим, что на вход системы действует сила с частотой йз, которая меньше„чем йь,. Тогда в установившемся режиме возвращающая сила, приходящаяся на единицу смещения и на единицу массы, должна быть меньше, чем дД, для каждой гири маятника. Возвращающая сила, действующая на маятник на входном конце системы, образуется внешней силой. На второй маятник будет действовать возврашающая сила, образованная силой тяжести и пружиной.

Единственная возможность, чтобы возвращающая сила на единицу смешения и на единицу массы для этого маятника была меньше д/), заключается в том, что вклад пружины в величину возвращающей силы должен быть обратного знака по сравнению с вкладом от силы тяжести. Легко показать, что в этом случае смещение маятника Ь будет меньше, чем маятника а, ГИ/ но того же знака. (Пружина растянута.) Таким образом, оба маятника колеблются, имея разность Рис. З,т.

Механический фильтр. фаэ, СООТВЕТСТВУЮЩУЮ Парной МОЧастоте выиумдашшей силы меньше дЕ, НО раЗНЫЕ амнпнтудЫ, (КО«ТЕ. частоты первой моды. Относительные фазы маятников совпадают с фазами бания маятника Ь имеЮт меньшую первой моды. Амплитуда «на выходе» »маятник«) меньше амплитуды «на вхо амПЛИТуду, ЧЕМ МаяТНИКа П,) де» <иа тникох Такой же результат будет и в случае системы из трех или более связанных маятников, находящихся под внешним воздействием, частота которого меньше частоты самой низкой моды.

Относительные фазы колебаний маятников будут те же, что и в первой моде, а амплитуда будет уменьшаться с удалением от входа системы. Это показано на рис. 3.7. Лучший способ понять рнс. 3.7 — это считать, что частота внешней силы равна нулю. Если сила постоянна, то маятники не будут двигаться, и интуиция немедленно подсказывает нам, что расположение маятников получится таким же, как на рис. 3.7. Терминолоаия.

Диапазон частот, заключенный между нижней и верхней граничными частотами, называется полосой пропдскания фильпйра. Для частот внешнего воздействия, находящихся в пределах полосы пропускания, амплитуда на выходе сравнима с амплитудой на входе. Для частот внешнего воздействия вне полосы пропускания амплитуда на выходе меньше амплитуды на входе. Поэтому такая система называется полосовым фильтром. Если граничная частота со стороны низких частот равна нулю (т. е.

если самая низкая мода имеет нулевую частоту), то система называется фильтром низких частот. Например, если в системе связанных маятников нити подвеса гирь сделать бесконечно длинными, то можно считать, что положение маятника всегда вертикально и возвращающей силы не возникает. (Действие нитей подвеся будет эквивалент- 124 но действию поверхности стола без трения.) В этом случае частота самой низкой моды равна нулю. Такая система представляет собой фильтр низких частот.

Он пропускает частоты от нуля до верхней граничной частоты. Если частота самой низкой моды отлична от нуля, а частота самой высокой моды бесконечно велика„то система называется фильтром высоких частот. Например, если в системе связанных маятников отношение К/М стремится к бесконечности, то мы получим фильтр высоких частот. Пружины в этом случае настолько жесткие (или массы настолько малы), что они всегда обеспечивают значительную величину возвращающей силы на единицу массы и единицу смещения, без постепенного уменьшения амплитуд, независимо от того, сколь велика частота вынуждающей силы. Система из двух, трех или большего числа маятников, возбуждаемая с помощью проигрывателя, может быть хорошей иллюстрацией свойств полосового фильтра.

(См. домашний опыт 3.16.) П р и ме р 4. Механический паласовой фильтр. Система из двух связанных маятников, возбуждаемая с одного из концов (рис. З.З), представляет собой простой механический полосовой фильтр. Покажите (задача 3.28), что отношение входной и выходной амплитуд (затуханием пренебрегаем) равно (66) М'а ш»+ в~1 — 2ы« где е «е /с Т' ' Г м' Заметим, что, когда частота в равна одному из резонансных значений (ы, либо ы,), отношение амплитуд такое же, каким оно' было бы для соответствующей моды: ф,/~р,=+1 для ы=ы, и ~>ь/«р,.= — 1 для ь»=«ь,. Когда «ьстановится меньше частоты самой низкой моды, отношение амплитуд остается положительным и уменьшается от +1 при ы=ьз, до (ь»,*— в,')/(о4+«ь,') при «ь=О.

Таким образом, колебания с частотой много меньшей, чем нижняя граничная частота, сильно ослабляются при прохождении через фильтр, если ширина полосы пропускания мала по сравнению со средней частотой полосы пропускания. Если ь» больше ь»„отношение амплитуд будет оставаться отрицательным. Оно уменьшается по величине с возрастанием ь» и становится равным — («ь,' — о',)/2ы» для существенно ббльших частот. Таким образом, частоты, болыпие верхней граничной частоты, сильно ослабляются.

П р и м е р 6. Механический фильтр низких частот. Рассмотрим систему из двух связанных маятников (рис. 3.3). Будем увеличивать высоту точек подвеса и длину струн (так чтобы гири остались на месте). Когда струны станут «бесконечно длинными», их можно считать вертикальными для любого конечного смещения масс. Сила тяжести не создает в этом случае возвращающей силы, и наша система эквивалентна системе связанных масс, находящихся 12З на поверхности без трения. Частота, соответствующая самой низкой моде, г«,'=-дЛ, будет стремиться к нулю. Таким образом, мы получаем фильтр низких частот, который пропускает частоты в диапазоне от нуля до верхней граничной частоты г«',=-2К)М. (Этот результат справедлив и для системы из двух связанных пружиной масс, лежащих на поверхности без трения, к одной из которых приложена гармоническая сила.) Отношение амплитуд ф,1ф, определяется из уравнения (56) при г«„равном нулю: и» К,'М (58) й» м — зи» (Юд!) и Это отношение равно +1 для нулевой частоты.

Характеристики

Список файлов книги