Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Мы познакомились с этой областью при изучении фильтров с двумя с) в)~ Ю л в) д ~Яд/К)/а Рнс. Х)Х Полное дисперсионное соотношение для снязаннык маятников. о) Частота больше высокочастотного порога. волны являются зигзагообразными зкспоненциельными волнами; б) область дисперсионнык частот: синусондальные волны; в) частота меньше низкочастотного порога: зкспоиеицнальиые волны. степенями свободы. Мы нашли, что вынужденные колебания с частотой большей, чем верхняя частота, имеют <зигзагообразную» форму, подобную той, которую имеют самые высокие моды, и что они также уменьшаются по амплитуде с удалением от входа системы.
(См. рис. 3.6.) Предположим, что форма А„определяется зкспонен!!иальной <зигзагообразной» волной: А — - ( 1)л (Ае-ала ! Ве+япо) (104) Тогда мы получим результат, отличающийся от уравнения (100) только знаком: А„„+А„,=- — А„(е"'+е- ). Уравнение (93) даст закон дисперсии о)з = б), '+ — 4 1+ — (е"'+е "') р = го, '-1- — (1+ с)) ха), (105) б)' = б)вз+ — С))з — Ха. 2 (10б) 141 При к=0 ш>=ш>+4К»А4=ш„„„. Таким образом, точно на верх- 2 ней граничной частоте ш ,„ у нас нет ослабления. На рис.
3.13 показано полное дисперснонное соотношение для всех частот в соответствии с уравнениями (98), (103) и (!06). Задачи и домашние опыты 3.1. Выполните алгебраические действия, необходимые для получения равенства (1О): Е=Е>е Г?т 3.2. С помощью подстановки покажите, что смещение хг (!), определяемое уравнением (3), является решением уравнения (2) двнженйя гармонического затухающего осциллятора. 3.3.
Покажяте, что если хт (!) является решением уравнения (!) для вынуждающей силы Р, (Г) и х. (Г) — решением для другой вынуждающей силы Р, (!), то силе Р (!)=Р> (Г)+Р, (Г) соответствует решение х (!).=х» (!)-) х«(Г) при условии, что начальные условия к (О) и х (О) для суперпозиция определяются суммой начальных условий, т. е, х (О) — х> (О)+х> (О) и х (О)=-хг (О)+х> (О).
3.4. С помо»цью подстановки покажите, что уравненвя (! 5), (16) и (! 7) определяют решение уравнения (!4). 3.3. Опыт. Установление биений (переходные биения). Для этого и некоторых последующих опытов понадобится проигрыватель, вращающийся диск которого используется для периодического воздействия на маятник. В качестве гири маятника можно взять любой груз, например банку консервов. Удобно работать с диском, вращающимся со скоростью 45 об?л»бн. (Чему равна соответсгву»ошая этому числу оборотов длина нити маятника?) Укрепите иа диске проигрывателя легкую картонную коробку, а к коробке прикрепнте карандаш в вертикальном положении. Наденьте на харандаш веревочную петлю, к петле привяжите конец 2 — 3-метрового резинового жгута, Другой конец жгута прнкрепите к нити маятника, Измерьте с помощью часов с секундной стрелкой частоту свободных колебаний маятника.
Измерьте частоту биений, когда на маятник действует вынуж»та>ошая сила со стороны вращающегося диска. Сделайте это для различных длин маятника. Виедите в систему затуханвя, заставив тереться обо по-либо нить маятника. (Можно использоиать щель между двумя предметами, например кингами.) Боль. шая длина резинового жгута взята для того, чтобы ослабить его действие как пружины. Лучше всего привязать резиновый жгут к нити маятника вблизи точки подвеса, так чтобы амплнтуда движения нити в этой точке была значительно меньше амплитуды движения карандаша (на вертушке), даже для больших амплитуд маятника. Это обеспечит независимость воз»»ущающей силы от амплитуды дввжения маятника. 3.6.
Докажите справедливость выраисенвя (22) для потерь мощности па трение. Докажите, что эти лагери равны входной мощности 1выражепие(2!)1. 3.7. Опыт. Резонанс в «пружине» с затихая»щ»«. Растяните «пружину> при. мерно на 2,5 м н закрепите концы. Один конец должен быть закреплен так, чтобы его мо»кцо было легко освободить и закрепвть снова после нзл»епспия числа витков между закрепленными концами. (Мы можем таким образом мен»ггь натяжение «пружиаы>, не меняя ее длины.) Будем действовать на «пружину> с помощью вращающегося диска проигрывателя, соединенного с нею длинным резиновым жгутом (см.
опыт 3.5). Пусть скорость вращения диска равна 45 об!мия. Измерьте частоту свободных колебаний «пружины>. Зту частоту можно изменять, меняя число витков между закрепленными концамн (см. опыт. 2.1). Озмерьте среднее время затухания т. Увеличьте затухание, натянув вдоль «пружины> длинную ленту, таи, чтобы в результате получить время затухания в пределах от 10 до 20 сек. Постпройше резонансную кривую, т. е. график зависимости 1 А 1' от ю> при фиксированном ю, равном 45 об!мин.
Наблюдайте за фазовыми соотношениями и убедитесь в том, что вы их понимаете. Величину )А) можно измерить с помощью источника света, дающего резкую тень (точечный источник света). Определите 142 положения тени (на полу или стене) ат кусочка ленты, прикрепленного к «пружине». Вычислите ожидаемую ширину резонансной кривой на уровне половины максимума. (Вы мажете изменить время затухания, если резонанс получается слишком узким или слишком велико время исчезновения переходных биений.) Ваэмажнмв источники трудностей, Если резиновый жгут, соединяющий один конец «пружины» и карандаш на диске проигрывателя, полностью расслабляется в одном из положений диска и затем резко натягивается, та сила, действующая со стороны резинового жгута (вспомните о фурье-анализе), будет содержать гармоники частоты 45 об)мин, а не только эту частоту. Соответственно будут возбуждаться гармоники <пружины». Это затруднение весьма интересно н поучительно.
Другая трудность. Тряхните резиновый жгут и наблюдайте за его колебаниями. Убедитесь в том, что частота его колебаний гораздо больше 45 аб)мин. В противном случае в нашем опыте возникнут неожиданные препятствия. Вы можете столкнуться и с другими проблемами. Интересно заметить исчезновение дисперсионной амплитуды и появление амплитуды поглощения вблизи резонанса. Для этого нуя«но наблюдать за относительной фазой диска (т. е. за карандашом) и <пружины». Чему равно произведение полной резонансной ширины на среднее время затухания? Согласуется ли ваш результат (если принять во внимание ошибки опыта) с уравнением (28)? 3.8.
Опыт. Вь«нужденн»1е колебания систе»см из двух связанных маятников. Система показана на рис. 3.3, а соответствующая теория разобрана в пп. 3.3 н 3.4. Нити, на которых подвешены грузы, можно наматывать на горизонтально расположенную палку. Это дает воззюжность менять частоты маятников, Палки могут быть закреплены на столе, книжном шкафу нли другим образом. Нужно иметь возможность менять длину веревок в пределах 30 — '70 см.
Меняя длину нитей, вы меняете м; "и м', -таким образом, что их разность остается постоянной. Поэтому изменение длннм нити при постоянной частоте возмущающей силы почти эквивалентно изменению частоты возмущающего воздействия при постоянных ам и ю«. Для данных длин нетей измерьте частоты обеих мод (при отсоединенном 1 2 жгуте).
Затем подсоедините маятники к диску, вращающемуся со скоростью 45 абД«ин, и возбудите продольные колебания «пружины». Легко заметить, что продольные и поперечные моды имеют одинаковые наборы частот. Это может создать помехи для опыта, особенно вблизи резонанса, но наблюдать такие помехи поучительно, Имеется нять представляющих особый интерес частот. Это две резонансные частоты, частота, лежащая посередине между ними, и области частот значительно больших, чем резонансные, и значительна меньших.
Вспомните характеристики фильтра выше и ппже грани1ной частоты. Изучите и поймите фазовые соотношения. При отсутствии затухания переходные биения могут длиться очень долго. Лучше всего внести затуханве, заставив нити тереться оба чтолнбо. Вероятно, наблюдение резонансных кривых потребует много времени.
(Можете это не делать, если вы выполнили опыт 3.7.) Вместо этого измерьте времена затухания для обеих «юд и определите ожидаемую ширину резонанса Г, оспользуя соотношение йчт= 1. Совпадает ли вап1 резулешат с свтуацией, разобранной на рис. 3.4? Справедливы ли здесь уравнения для механического фильтра (и. 3.4)? Другой способ изменения частоты заключается, очевидно, в использовании различных скоростеи вращения диска, которые могут принимать значения 78, 45, 33 и 1б аб?мин. К сожалению, скорость вращения диска нельзя менять непрерывно. 3.9. Отбойный молоток бьет асфальт с частотой 20 гя. Рукоятка малотха воздействует на руки рабочего с такой же частотой.
Разработайте низкочастотный фильтр и, соединив его с рукояткой, уменьшите амплитуду ее вибраций в 1О раз. Один способ заключается а десятикратном увеличении массы той часта молотка, которая испытывает отдачу. Поскольку молоток и без этого весит около 20 кГ, попытайтесь воспользоваться пружинами и массами. 3.!О. Докажите, чта среднее во времени значение запасенной энергии для установившихся колебаний определяется выражением (23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
