Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 39
Текст из файла (страница 39)
148 ГЛАВА 4 БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ 4.1. Введение В главах 1 — 3 были рассмотрены замкнутые системы, т. е. системы„заключенные в определенные границы, причем энергия системы локализована в этих границах. Было показано, что свободные колебания замкнутой системы могут быть представлены супер- позицией стоячих волн илн мод и что установившиеся вынужденные колебания могут быть описаны суперпозицией стоячих волн, которые представляют собой вклады от каждой моды. Характер входящих в суперпозицию мод определяется граничными условиями. Открытые системы.
В этой главе мы будем рассматривать вынужденные колебания открытых систем, т. е. систем, не имеющих внешних границ. Например, если кто-то играет на трубе, находясь на воздушном шаре высоко над землей, то воздух можно считать открытой системой, если пренебречь эхом, т. е. отражением от земли к трубе. Если труба звучит в комнате с полом из твердой древесины, стенами и потолком, явление будет протекать совершенно по-другому.
В этом случае воздух в комнате представляет собой замкнутую систему, и прн соответствующих условиях возбуждения он будет резонировать на частотах его мод. Покроем стены комнаты звукопоглощающим материалом. В этом случае звуковые волны от стен не отражаются и комната ведет себя как открытая система, т. е. система без внешних границ.
Из этого примера видно, что бесконечная протяженность среды не является необходимым условием для того, чтобы систему можно было считать открытой. Волны, образованные внешним воздействием, приложенным к открытои среде, называются бегущими волнами: они «бегут» от создающего их источника. Важное свойство бегущих волн заключается в том, что оии переносят энергию и импульс. Так, например, капля, упавшая на спокойную поверхность водоема, вызывает распространение круговых волн, которые могут сообщить кинетическую энергию 149 плавающему в отдалении насекоьиому или увеличить потенциальную энергию прутика, одна половина которого находится в воде, а другая — на песчаном берегу. Если внешняя сила (приложенная к открытой среде) совершает гармоническое колебание, то вызванные ею волны называются гарлюническими бегущими волналш. В установившемся состоянии все движущиеся элементы системы совершают гармоническое движение с частотой внешнего воздействия.
Амнлил!блудные соотношения. Если волна распространяется в двухмерной или трехмерной среде, то амплитуда движения будет тем меньше, чем дальше от источника находится движущийся элемент (предполагается, что источник мал). С другой стороны, если среда одномерная (например, натянутая струна, к одному концу которой приложена внешняя сила, а другой конец простирается до бесконечности нли подсоединен к устройству, которое поглощает волну), то амплитуда движущихся элементов, совершающих гармоняческое колебание, не будет уменьшаться с увеличенйем расстояния от источника (предполагается, что среда однородна).
Это может быть справедливо не только для одномерных волн, но и в случае двухмерных «прямых волн» (зыбь на поверхности океана от далекого шторма) и трехмерных «плоских волн» (радиоволны от далеких звезд). Фазовые соотношения. Относительная фаза двух различных движущихся элементов открытой среды, по которой распространяются гармонические бегущие волны, не совпадает с относительной фазой для стоячих волн в замкнутой системе. В случае стоячей волны, которая может быть либо нормальной модой свободных колебаний замкнутой системы, либо ее вынужденным колебанием, все движущиеся элементы колеблются в фазе друт с другом (с точностью до возможного изменения знака смещения). Иначе обстоит дело для бегущей волны.
Если движущийся элемент бесконечной струны Ь находится дальше от внешней силы, чем движущийся элемент а, то он будет совершать то же движение, что и а, но в более поздний момент времени. Это запаздывание равно времени, необходимому, чтобы волна пробежала расстояние от а до Ь. Таким образом, фаза элемента Ь отлична от фазы элемента а на величину, равную произведению частоты на время запаздывания. 4.2. Гармонические бегущие волны в одномерном пространстве и фазовая скорость Предположим, что наша одномерная система является непрерывной однородной струной, простирающейся от г=О до бесконечности. В точке г=О струна присоединена к выходным зажимам устройства («передатчика»), которое может ее «трясти» и таким образом вызывать распространение бегущих волн вдоль струны.
Предположим, что смещение на выходе передатчика является гармонической !50 функцией времени 0(~) =-А соя в(. (1) Мы хотим найти смещение ф(г, 1) движущегося элемента, координата г которого лежит где-то между г=О и бесконечностью. Легко написать выражение ф(г, () для я=О. Так как струна присоединена непосредственно к выходу передатчика, то смещение струны в я=О равно 0(~): ф (О, () = () (~) =- А соя м~. Фазовая скорость. Из повседневного опыта нам известно, что бегущие по воде волны распространяются с постоянной скоростью, пока свойства среды (например, глубина воды) не меняются. В случае гармонических бегущих волн эта скорость называется фазовой скоростью оь. Мы также знаем, что смещение элемента с координатой г в момент времени г равно смешению элемента с координатой г=О в более ранний момент времени ('.
Разность между г и г' равна времени, которое нужно волне, распространяющейся со скоростью о, чтобы пройти расстояние ьч (3) Ов" Поэтому уравнение бегущей синусоидальной волны имеет вид ф(г, ~) =ф(0, г')=Асояю('= 2 "41 = А соя о> ( г — — = А соя (ьяг — '— ' ). (4) Заметим, что для фиксированного г смещение ф(г, г) является гармонической функцией времени. Лналогично, для фиксированного времени г функция ф (г, ~) представляет собой синусоиду в пространстве.
Конечно, оба зти утверждения справедливы и для синусоидальной стоячей волны, уравнение которой имеет, например, следующий вид: ф(г, 1) =- В соя сот соя(сс — кг), (5) где а — константа. Для фиксированного момента времени бегущая волна, определяемая выражением (4), имеет такую же форму, что и стоячая волна (5).
Если уравнение бегущей волны переписать в виде ф (г, () =- А соя (сь г — йг), (6) то мы сможем использовать понятие волнового числа й (и длины волны Х) точно так же, как это было сделано в случае стоячей волны. Сравнивая уравнения (4) и (6), мы видим, что для синусоидальной бегущей волны в фиксированный момент времени скорость возрастания фазового угла на единицу длины (это и есть величина й) равна (7) 1я! Это значит, что фазовую скорость можно выразить формулой (8а) или, так как ы=2аа и и=-2я!) пли, так как ч=!,7, (8в) Фазовая скорость спнусоидальной бегугцей волны является очень важной величиной.
Мы специально привели различные формы уравнении (8), которые рекомендуем выучить наизусть. На рис. 4.1 показана синусоидальная бегущая волна. Выражения (8) имеют большое значение, и мы получим их другим способом. Определим фазовую функцию Ч~ (г, г) синусоидальной бегущей волны, распространяющейся в направлении +г, как аргумент волновой функции соз (ы! — йг): ~р (г, 1) =- ы! — йг.
(9) Прн данном г фаза линейно растет со временем (член ы(). Для заданного г опа линейно уменьшается с ростом г (член — йг). Увеличение г уменьшает фазу, так как большего значения г достигает волна, испущенная раньше. (Выбранная нами система знаков не может считаться универсальной. Иногда имеют дело с фазой йг †) Если мы хотим следить за каким-нибудь гребнем волны [максимум сезар(г, !)1 или за ее впадиной [минимум сов фг, г)] при распространении волны, то должны по мере увеличения времени переходить ко все большим значениям г, с тем чтобы фаза гр(г, Г) была постоянна.
Беря полный дифференциал от ~р(г, 1) и полагая его равным нулю, легко найти соотношение между г и !для точек постоянной фазы. Полный дифференциал от фг, !) имеет вид (10) Он равен нулю, если аг м в! ь (11) Мы получили равенство (8а). Совладают ли дисперсионные соотношения для бегущей и стоячей волны? В главе 2 было показано, что дисперсионное соотношение, определяющее зависимость частоты ы от волнового числа й (или й от ы) для стоячих волн свободных колебаний в данной среде, не 152 зависит от граничных условий, хотя реализующиеся частные значения А зависят от них.
В главе 3 мы нашли, что стоячие волны вынужденных колебаний замкнутой системы удовлетворяют тому же дисперсионному закону, что и стоячие волны свободных ко- урслвлв Лллгувла лебаиий с определенными знзчеипями А, зависящими от ~ граничных условий. (Мы открыли также волны нового типа, а именноэкспоненциаль- .'=— а%У. ные волны, которые появля- * гу ются при воздействии на систему с частотой, большей или уг меньшей частоты максималь- Т ной или минимальной моды.) Теперь, при рассмотрении д. бегущих волн в открытых си- г= в ---.
тку граничное условие, относящееся к концу, соединенному с ?=у передатчиком. Можно думать, что, как и раньше, дисперсионное соотношение не будет ~=~~ зависеть от граничных условий. Однако бегущая волна отличается от стоячей волны ~ Вг' (свободных или вынужденных колебаний) тем, что различные движущиеся элементы си- т? стемы имеют разные фазы, У тогда как в стоячей волне (трением пренебрегаем) все движущиеся элементы имеют игла одинаковую фазу.
Не может ли зто обстоятельство изменить дисперси- Рис. 4.1. Выиуждающая сала )в точке а=0) сов- оннОЕ сООтнОШениЕ? КаК МЫ дает гармоническое движение с периодом т. в Свйяае ПОКажеМ, дненсрСИОН. "ВпРавлении +а Распростраияется бегущая волна. ное соотношение остается не- длива валам М Фааоваи скорость равна Чт= = тем=.кж Каждая точка струны повторяет в изменным. более поадиий момевт времеви гармоническое Дисперсианноесоотнои)ение движевие точки г=О. для линейной последовательности связанных л)ватников. Рассмотрим частный случай (имеющий, однако, достаточно общее значение), который покажет нам, что дисперсионное соотношение имеет одну и ту же форму как для бегущих, так и для стоячих волн.
Мы начали рассмотрение бегущих волн, выбрав в качестве модели непрерывную струну. Однако бегущие волны можно изучать, подобно стоячим волнам, на моделях с сосредоточенными параметрами. Весьма общие результаты можно получить, рассмотрев уже знакомую нам систему связанных маятников. Мы будем искать дисперсионное соотношение для бесконечной линейной последовательности связанных маятников, на которую в точке г=О действует внешняя сила. Вернемся к рис. 3.10 из п. 3.5, на котором показано взаимное расположение трех связанных маятников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
