Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 42
Текст из файла (страница 42)
2 В низкочастотном пределе (когда яжО) или в пределе непрерывной линии (ажО) мы можем заменить з!и ау',йа на т)вуза, Тогда фазоьая скорость будет равна в озв ! Ьа (Сга) (Е)а) ' Здесь Сса — шунтируюшая емкость на единицу длины, а ьуа— последовательная индуктивность на единицу длины *). Таким образом, для непрерывной передающей линии (такую лпипю может составить любая пара проводников) в вакууме фазовая скорость обратно пропорциональна квадратному корню из произведения погонных емкости и индуктивности. Фазовая скорость постоянна и не зависит от частот!>1. Таким образом, в рассматриваемом пределе волны напряжения и тока — недиспергируюшие волны.
Может ли фазовая скорость в рагслютрсяной псргдающей линии превышпть скорость света с? Из примера 3 (распространение радиоволн в ионосфере) нам известно, что фазовая скорость этих волн может превышать скорость света с и что в этом нет противоречия с теорией относительности. Мы видим, что наличие граничной частоты озр позволяет иметь, по крайней мере в этом случае, практически л!обую фазовую скорость.
Даже в системе связанных маятников можно иметь фазовую *) Будем называть зти величины погонной емкостью и погонной ипдуктивностыо соответственно. 163 (50) а а сь Таким образом, грозовая скорость бегущих волн тока (или напрявкения) в передающей линии, образованной двул~я прямьсми и параллельными проводами, равна скорости свеи|а в вакууме. П р и м е р 5. !лередаюи(ая линия из параллельных пластин. Система, показанная на рис. 4.4, состоит из двух параллельных проводящих пластин.
Ширвна пластин иг, а расстояние между внутренними поверхностями д. По пластинам в направлении г течет ток. Мы хотим вычислить погонные емкость и индуктивность в направлении оси г. Предположим, что потенциал между пластинами в точке г=О постоянен. Тогда имеем постоянный ток. (Можно считать, что пластины соединены в точке г=-оо, т.
е. цепь замкнута. Мы могли бы предположить, чта обе пластины простираются до бесконечности, не соединяясь. Результат не изменился бы.) Будем считать, что нижняя пластина заряжена положительно, а верхняя — отрицательно. Электрическое поле в этом случае направлено по оси +х (см. рис. 4.4). Допустим, что ш велико по сравне- 164 скорость, превышающуюскорость с. В случае низкочастотного фильтра нет соответствующей частоты, аналогичной граничным частотам этих примеров.
Зто объясняется отсутствием возвращающей силы, действующей на токи в индуктивностях, помимо той, которая обусловлена присутствием емкостей. Поэтому мы не можем ожидать, что фазовая скорость будет больше с. Рассмотрим уравнение (48). Постараемся получить максимально большую фазовую скорость.
Зто значит, что погонная индуктивность 5 и погонная шунтирующая емкость С должны быть предельно малыми величинами. Из рис. 4.3 мы видим, что для индуктивности это условие можно выполнить, заменив ее прямым проводникам, а для емкости — просто убрать емкость. Теперь вы можете предположить, что величины С!а и Л!а будут равны нулю и фазовая скорость будет равна бесконечности. Однако это не так. Мы должны помнить, что два проводника (направления токов в проводниках противоположны) имеют вполне определенную, не равную нулю, погонную индуктивность и погонная емкость между проводниками также не равна нулю.
Вы можете сами показать (вспомннв соответствующие места из тома П), что погонная емкость и погонная индуктивность для двух бесконечно длинных, прялгых и параллельных проводников соответственно равны (задача 4.8) 1з+, ед, СГСЗ, (49) 4!и — ) ("'> г г'. 4 Л тЗ+ г'~ — = —, 1п ( — ) ед. СГСЗ. а е' (, г Здесь г — радиус провода, а !л — расстояние между проводами (от поверхности одного провода до поверхности другого). Перемножая уравнения (49) и (50), получаем замечательный результат: (51) нию с у, и поэтому пренебрежем краевыми эффектами. Пусть (1— заряд, расположенный на площади, ограниченной шириной ливии пз и длиной а вдоль оси г (см. рис. 4.4).
Пусть С вЂ” емкость этой части системы. В этом случае справедливы следующие соотношения (если вы забыли их, посмотрите во П томе п. 3,5): 1',! =- С(У, )г = дЕ„, Е„= —. Выражения (52) и (53) записываются в единицах СГСЭ или в единипах СИ. Выражение (54) представляет собой произведение 4п па (52) (53) (54) Рис. Са. Передающая лиана из нарыл" еьвык пластин. Вынуждающая сила 1не показана) создает разность потенциалов Убг) между пластинами в тачке г=б и ток упх который (в данный момент) направлен по -~-г в одной птастнне и по — г в другой: о — произвольная длина вдоль оси г, малая по сраннению с длиной бегущей волны.
166 заряд, приходящийся на единицу площади, и определяет электрическое поле в единицах СГСЭ. Решая эти уратзеиия относительно С, получим погонную емкость нашей передающей линии: С щ а 4дд' (55) Теперь найдем 1.!а — значение погонной индуктивности. Считаем, что нижняя пластина подсоедипена к положительному зажиму источника питания, а верхняя — к отрицательному. Поэтому положительный ток 1 по нижней пластине течет в направлении +г и в направлении — г по верхней пластине.
С помощью правила правой руки и рис. 4.4 легко убедиться, что лйогнигпное поле между пластинами направлено по положительноа оси у. Вне пластины магнитное поле равно нулю. Пусть Š— самоиндукция части пластин, указанной на рис. 4.4. Магнитный поток через сечение да равен Ф = В»уа. (оп 6) Магнитное поле В» определится из условия шВ» 4пг' (57) С (См.
том П, п. 6.6; поверхностная плотность тока, введенная там, соответствует нашей величине 1~а.) Самоиндукция Е определяется равенством (см. том П, п. 7.8, формулы (7.53) и (7.54)1 аг' 1 ЫФ 1.— = — —. ем' с см' Для постоянного тока 7 7.7 = — Ф. ! с (58) Решая уравнения (56), (57) и (58) относительно 7., найдем, что погонная самоиндукция равна й 4пд а с'Ь ' (59) Возможно, вас несколько смущает наше вычисление самоиндукцип с помощью постоянного тока, тогда как уравнение Максвелла, из которого следует уравнение (57) для постоянного тока, имеет внд (том 11, п.7.13) 'РХВ = —, 1+ —,—.1 . (60) Мы пренебрегаем током смещения, определяемым членом (1/с)дЕ(дй Оказывается (задача 4.10), что такое пренебрежение законно, пока толщина а, каждой пластины удовлетворяет условию й,(<1„ (61) Будем считать, что это условие выполняется. Фазовая скорость бегущих волн равна (используем равенства (48), (55) и (59)1 1 оь = =с.
е (Ца) (С/а) Мы нашли, что в двух различных примерах передающих линий из проводов и пластин фазовая скорость равна с. Поэтому кажется правдоподобным и более общий результат: (оазовая скорость для любой передающей линии, состоящей из двух изолированных, одинаковых, прямых и параллельных проводников, в вакууме равна с. 4.3. Показатель преломления и дисперсия Если все пространство между параллельными пластинами передающей линии заполнено диэлектриком с диэлектрической постоянной е, то емкость увеличивается в е раз (см.
том П, п. 9.9). (То же справедливо и для передающей линии из двух проводников, только в этом случае мы должны заполнить диэлектриком все пространство. В случае параллельных пластин электрическое поле вне области между пластинами равно нулю н поэтому не имеет значения, есть ли диэлектрик вне пластин, или его там нет.) Аналогично, если магнитная проницаемость среды равна р, то погонная самоиндукция Ь возрастает в р раз. (Мы будем рассматривать такие материалы, как стекло, вода, воздух или им подобные, для которых магнитная проницаемость равна единице.
В дальнейшем при общих выводах мы будем учитывать р, а при рассмотрении частных примеров будем полагать р равным единице.) фазовая скорость бегущих волн напряжения и тока, распространяющихся вдоль !б6 передающей линии из параллельных пластин (или вдоль любой другой передающей линии, образованной прямыми и параллельными проводниками), находящихся в пространстве, заполненном веществом с диэлектрической постоянной е п магнитной проницаемостью р,, равна / а а 1 Оф = ~Л 7 с = )л — Оа (ВаКУУХ!) г' аг т. е с ф (63) Выражение (63), полученное для специального случая бегущих волн напряжения или тока в передающей линии, на самом деле имеет весьма общее значение. Оно справедливо для распространяющихся в веществе электромагнитных волн любого типа, например для видимого света, распространяющегося в стекле или в другом диэлектрике. Убедимся в общности выражения (63).
Мы показали, что оно справедливо для волн тока и напряжения в передающей линии, В пространстве между пластинами передающей лннни сосредоточено электрическое и магнитное поля. (Электрическое поле определяется напряженнем на пластинах, а магнитное поле — током, текущим вдоль них.) Поэтому магнитное и электрическое поля должны распространяться вдоль линии стакой же скоростью, с какой распространя!отся волны тока и напряжения. (Поля представляют собой те же волны: они изменяются в пространстве и времени н имеют все характеристики, соответствующие волне.) В случае, когда среда— вакуум, скорость равна с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
