Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Некоторые физические предположения, сделанные нами, не выполняются в действительности, и дисперсионное соотношение имеет более сложный вид, чем выражения (86) и (87), Например, для существенно низких частот электрон в среднем испытывает несколько соударений с ионами за один цикл колебаний. В этом случае необходимо учитывать затухание, мы же пренебрегали ил1. Далее, при некоторых частотах, отличных от сор, в плазме возникают резонансы.
Например, для низких частот становятся важными колебания плазмы, обусловленные движением ионов. (Частота таких колебаний плазмы близка к 100 кгц.) Нужно также учитывать «циклотронную частоту» со„которая соответствует круговому движению электронов в магнитном поле Земли. (Это поле порядка 0,5 ге*).) Качественное объяснение граничной час«лот»и Мы знаем, что для любой системы (например, для системы связанных маятников) частота первой моды свободных колебаний является также самой низкой частотой синусоидальных волн, когда система находится под действием внешней силы.
Таким образом, частота первой моды является также граничной частотой вынужденных колебаний. Для частот внешнего воздействия, меньших этой частоты, волны экспонеициальиы. Точно на частоте порога длина волны синусоидальных волн бесконечна (в этом случае все маятники колеблются в фазе). Таким образом, если мы хотим узнать дпсперсиоииое соотношение для граничной частоты, нам следует положить й=О. Частота, полученная из дисперсианного соотношения при 7«=-0, н будет граничной частотой.
Эту частоту будем обозначать со,р. В нашем примере коэффициент преломления равен (см. уравнение (78)] сей' 4ннд» 1 и»= —,= — 1+ О) н4 ы» ы» Полагая 7«=0, получим значение граничной частоты: О"т» О е+ 14 е, 4нмо» (88) Теперь вспомним, что сое — это возвращающая сила, приходящаяся на единицу массы и единицу смещения.
В соответствии с тем, что говорилось выше для ионосферы, возвращающая сила (на единицу массы и единицу смешения) для свободных колебаний электрона в ионосфере равна сор — — 4пЖде)М. Это первая нормальная мода колебаний для электронов, которая имеет бесконечную длину волны (т. е. все электроны колеблются в фазе). Очевидно, что если теперь к каждому колеблющемуся заряду приложить связывающую силу с помощью «пружины с коэффициентом жесткости» Мо»'„то мы про- *) Интересное обсуждение экспериментальных данных можно найти в статье: Ут'.
С а! н е т 1, й. К н е с )т 1, Т. У а н Е а п б 1, Б«!енсе 146, 391 (19б4). 17б сто увеличим возвращающую силу (на единицу массы и единицу смещения), действующую на каждый заряд, на в,'. В этом случае заряды опять колеблются в фазе и Й равно нулю, так что поведение системы соответствует первой моде свободных колебаний.
Теперь мы видим, что правая часть уравнения (88) определяет возвращающую силу на единицу массы и на единицу смещения для первой моды свободных колебаний. Поэтому это — граничная частота. Таким образом, уравнение (88), так же как и неравенство (79), справедливо для реактивной области частот, где волны экспонеициальны. Приведем еще одно физическое обьясненне существования граничной частоты.
Для простоты положим р»«=0. В этом случае наша «модель» — это ионосфера. Нас интересует причина существования граничной частоты, равной 4пчч» «ргр =— (89) Заметим, что ионосфера (илк наша модель ионосферы) во многих отношениях похожа иа металлический проводник. В обоих случаях существуют свободные электроны, которые могут создавать электрический ток, если приложено электрическое поле. Далее, если металлический проводник находится в статическом электрическом поле (когда заряды внутри проводника неподвижны, а приложенное поле постоянно во времени), то поле внутри проводника равно нулю, так как внешнее поле уравновешивается полем, образованным зарядами, которые под действием внешнего поля продвинулись к поверхности металла. Если внешнее поле внезапно изменится, то электронам потребуется определенное время, чтобы занять новое положение равновесия и образовать иоле, которое уравновесит внешнее поле внутри проводника. Поэтому в первый момент времени, пока электро;и, не заняли равновесного положения, поле внутри проводника пе равно пулю.
Среднее время, которое нужно электронам, чтобы за. нять равновесное положение, назовем временем релаксации и обозначим через т. Если время изменения внешнего поля будет меньше т, то поток зарядов не успеет образовать поле, противоположное внешнему. Таким образом, мы можем сказать, что граничная частота системы порядка т '. Для электромагнитного излучения с частотой большей, чем 1/т, электроны не успевают занять такое положение, при котором созданное ими поле уничтожит внешнее поле. Поэтому можно сказать, что наша среда прозрачна для частот, больших пороговой частоты 1/т. В случае «бесконечно большой» частоты электроны вообще не будут двигаться и вещество, подобно вакууму, будет прозрачно для излучения. Если же один конец системы возбуждается с частотой, меньшей граничной частоты, то система будет аналогична фильтру высоких частот, находящемуся под внешним воздействием с частотой, меньшей граничной частоты.
В точках среды, близко Расположенных к концу, находящемуся под внешним воздействием, поле будет равно внешнему полю. В более далеких точках у электРонов будет достаточно времени, чтобы занять положение, при кото- 177 ром внешнее поле внутри среды уничтожится. Таким образом, по мере удаления от места приложения внешней силы (излучения) мы будем наблюдать экспоненциальное уменьшение поля внутри среды с ростом расстояния. Аналогичную картину мы наблюдали для фильтра высоких частиц, составленного из связанных маятников. Оценим время релаксации т.
Предположим, что в момент времени 1=0 возникает поле Е,. В результате электроны начинают двигаться с ускорением, равным а= уЕ,1М. Если в течение времени 1 это ускорение остается постоянным, то электроны пройдут расстояние, равное '/, а(«. Для наших грубых оценок мы можем опустить '/,. Тогда получим (90) Предположим, что движение зарядов ограничено поверхностями плазмы (ионосферы) или металла. В этом случае избыток заряда на одной поверхности (и уменьшение заряда на другой поверхности) равен ~=УдяА, где У вЂ” плотность числа зарядов, А — площадь поверхности и х — смещение. Заряд Я на одной поверхности и — 11 на другой образуют поле Е, равное Е = 4п Л = 4пУЧх ж 4пАГЧ Чс«1« (92) Если время 1 достаточно, чтобы поле Е (уравновешивакнцее поле) смогло достичь значения Е„, наступает равновесие.
Поэтому время релаксации получается из (92) заменой 1 на т и Е на Е,. Имеем « -«4пм«« «в«р а это согласуется с точной формулой (89). Качественное обсуждение поведения показателя преломления в дисперсивной полосе частот. Изолированная заряженная частица, колеблющаяся в вакууме, излучает электромагнитные волны, которые распространяются в вакууме со скоростью света.
Поэтому заряд, совершающий под действием падающего света установившиеся колебания, испускает электромагнитное излучение, распространяющееся в вакууме со скоростью с. Вследствие суперпозиции первичного ноля с полем, образованным колеблющимся зарядом, возникает некое результирующее поле. При большом числе зарядов (кусок стекла или ионосфера) каждый из ннх находится под действием электрического поля, существующего в окрестности заряда.
Зто локальное поле является суперпозицией «первичного поляэ, которое имело бы место при отсутствии зарядов, и поля, образованого всеми колеблющимися зарядами. Каждый колеблющийся заряд (в куске стекла, например) испускает волны, распространяющиеся в данной среде с той же самой 17В скоростью с, что и скорость света в вакууме. Каким же образом суперпозиция волн, имеющих одинаковую скорость с, одинаковую частоту и и поэтому одинаковую длину волны с(т, дает длину волны Х, отличную от сИ, и фазовую скорость, отличную от с? Оказывается, что «дело в фазе». Все зависит от соотношения фаз поля, образованного зарядом, и внешнего поля, действующего на заряд, Если поле, образованное зарядом, находится в фазе с внешним полем, то в некоторой удаленной точке оно будет увеличивать внешнее поле (будет иметь место, как говорят теоретики, конструктивная интерференция), по не изменит фазу общего поля, и поэтому фазовая скорость не изменится.
Аналогично, если излучаемое поле сдвинуть по фазе на 180' относительно внешнего, то суперпозиция этих двух полей даст результирующее поле меньшей величины, чем внешнее поле (деструктивная интерференция), однако фаза снова не будет изменена. Для того чтобы фаза результирующего поля изменилась, необходимо, чтобы поле, излучаемое зарядом, было сдвинуто па .+.90' относительно внешнего поля. Предположим, что в определенной точке, куда приходит волна, при отсутствии стекла существует внешнее поле Е«соз ыд Это поле может быть вызвано, например, световым излучением лампы. Если поместить между наблюдателем и лампой стекло, то поле от лампы будет по-прежнему равно Е, соз ы( и будет распространяться через стекло со скоростью с.
Теперь предположим, что колеблющаяся молекула стекла дает вклад в поле, равный 4'з(п ыГ, где б" очень мало и (например) положительно. Это излучение также проходит через стекло со скоростью с, но имеет 90'-ный сдвиг относительно внешнего поля, Результирующее поле в точке наблюдения равно Е (() = Е, соз ыГ + 8 зш Ы; для 8((Е, это равносильно равенству Е (~) =- Е«соз (е( — 8) 6 = =— э — (( 1 до Таким образом, наличие стекла вызывает в точке наблюдения результирующее поле Е(1), сдвинутое по фазе на угол б. Наблюдатель в этой точке должен ждать дольше, чем, допустим наблюдатель вие стекла, чтобы фаза Е(1) приобрела заданное значение, т.
е. он должен ждать до тех пор, пока величина М вЂ” 8 достигнет значения ыт вне стекла. Поэтому он считает, что фазовая скорость меньш с. Заметим, что если бы вклад от молекулы стекла был пропорционален соз ы~, то не было бы сдвига фазы результирующего поля Е (1) = (Е, + 8) соз ы( и скорость равнялась бы скорости света в вакууме с.
Опыт, однако, показывает, что фазовая скорость результирующего излучения отлична от с, несмотря на то что каждое слагаемое суперпозиции оаспространяется со скоростью, равной с. Это означает, что излучение молекул стекла в момент времени «сдвинуто по фазе относительно внешнего излучения в этот же момент времени на ~90'. 1гз Нам осталось показать, как возникает такой сдвиг.
Предположим, что внешнее поле равно Е, соз ь»Е Тогда смещение заряда будет х(1)=А„соз ыг, если частота ьс далека от резонансной. В главе 7 мьс увидим, что излучение колеблющегося заряда пропорционально «запаздывающему ускорению». Это значит, что поле на расстоянии г пропорционально ускорению, которое заряд имел в более раннее время 1 — (асс). Для гармонического движения ускорение равно произведению — ьс» на смещение. Таким образом, мы получаем «ужасный» результат, из которого следует, что излучение от каждого колеблющегося заряда пропорционально соз сь1, тогда как для получения фазовой скорости, отличной от с, необходимо, чтобы оно было пропорционально з!п сь11 Объяснение заключается в следующем. Предположим, что плоская волна излучения распространяется в направлении г. Тогда в данный момент времени мы должны рассматривать вклад не только от одной молекулы, но и от всех молекул, заключенных в тонкой пластинке стекла, перпендикулярной направлению распространения волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
