Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(Мы пренебрегаем затуханием.) Действительно, вычисляя потоки энергии с выходного зажима передатчика, мы могли бы рассматривать вместо точки г=О любую точку на оси г. Единственное требование к среде заключается в том, чтобы в ней могли распространяться бегущие волны. Повторив сделанные ранее вычисления для любой точки струны г, мы обнаружим, что «испущенная» мощность, переносимая бегущими волнами мимо точки г !84 в направлении +г, определяется выражениями, аналогичными (105) и (105), за исключением того, что поперечная скорость даР/д1 и возвра- щающая сила — Т„дг(>/дг должны быть взяты в точке г вместо точки г=0. Таким образом, для бегущих волн в струне получаем Р(, /)=г ['~(; "~' Р(г, Г) =- — г — Т, ~ " (107) или (1081 П р и м е р 9. Бегущие продольные волны в пружине.
Перейдем к рассмотрению продольных волн сжатия и растяжения в пру>к>4не. Мы попытаемся применить полученные результаты к описанию излучения звуковых волн. Для этого мы используем модель Ньютона, с теми улучшениями, которые были сделаны в п. 4.2. Исследуемая нами система показана на рис. 4.9. Величина Ка входит в уравнение для продольных колебаний пружины с грузами точно так же, как равновесное натяжение Т,— У в га г К К >~ >>>>>>>не НВН>арра ! ! ! ! ! ! ! ! Рис. 4.9.
непускание пролольннх бегущих волн. н> Равновесие; б> «овфягурания в обще« случае. в уравнение движения для поперечных колебаний такой пружины (см. уравнение (2.77), п. 2.4 и последующее обсуждение). Поэтому величина фазовой скорости получается простой заменой 7, на Ка (см. уравнение (27), п. 4.2). Точно так же мы найдем выражение для характеристического импеданса и потока энергии в случае продольных волн, если заменим в соответствующих выражениях для поперечных колебаний Т, на Ка. Окончательно из выражений (103), (104), (107) и (108) получаем для продольных волн о~=- 1/ —, Л=)г Каре.
(109) 4>о Для мо>цности, переносимой бегущей волной, имеем (в эрг/сек) Р(г, Г) =Е[' ' ~ = — [ — Ка " ~ . (110) Величина ф(г, 1) представляет собой смещение от положения равновесия точки г на струне. Она положительна, если смещение происходит в направлении +г. Соответствующая этому смещению скорость равна д!р(г, 1)/дй Величина — Када(>(г, !)/дг представляет 185 собой силу, действующую на пружину в направлении +г и приложенную справа от точки г. Если к этой силе прибавить силу Р„ определяемую начальным натяжением, мы получим полную силу, действующую иа точку г в направлении +г (см.
задачу 4.29): Р,(1., Я)=Р',— Ка ~л,' (111) Сила Рв в выражении (111) возникает из-за сжатия или растяжения пружины в положении равновесия. Она не дает вклада в волну. Действительно, в выражение (!10) входит лишь избыток полной силы над Р„а именно — Кад>р/дг. П р и м е р 1О. Звуковые волны. Для рассгютрения звуковых волн мы воспользуемся моделью Ньютона (см. п.
4.2). Система показана на рис. 4.10. а) ,' ф/46 Рнс. Ч,!В Иснусканве наскальных науковых волн. а> Равновесве; 6> кокфнгураннв в обасек> случае. В п. 4.2, используя предложенную Ньютоном аналогию ме>кду внуковы«ш волнами и продольными волнами в струне, мы нашли фазовую скорость звука.
Из модели Ньютона следует, что равновесную линейную плотность для струны следует заменить на равновесную объемную плотность воздуха, а произведение Ка для струны— на произведение равновесного давления р, на константу у. Теперь нам нетрудно написать выражения для нцпеданса и э»ергнн звуковых волн.
Для этого нужно в соответствуюшнх выражениях для продольных воли в пру>кипе заменить Ка на ур,. Из равенств (109) н (110) мы получаем оф=' )/ г =)' урвйо. (112) Величина потока энергии в бегущей звуковой волне (в единицах ОРгдсм'" с«к)1 равна /(г г) =~~ лу 1 = н ~ уРо о 1 (119) Величина а)>(г, /) представляет собой смешение «неболыпого объема воздуха» (в направлении г) от равновесного положения г. Величина д>(>(г, /)/0/ — это соответствующая скорость рассматриваемого объема.
Величина — Урод>Р(г, /)/дг Равна силе, действУющей иа единицу площади в направлении +г. Это сила, с которой воздух слева от г действует на воздух справа от г. Суперпозиция этой силы с силой р„действующей в равновесном состоянии, определяет ре- 186 зультирующую силу в направлении +г (напомним, что координата г соответствует равновесному, а не мгновенному положению): Р,(ь, и) з4!г, !) = Ро — Уро Это выражение следует из (!11) при замене Р, иа р, и Ка на ур,. Равновесное давление р, никак не влияет на волну. Мы будем называть величину — ур,дфдг звуковым давлением: Рви = — Уро зг вц~(г, 0 (115) Для воздуха при нормальных условиях имеем р,=1 атм=1,01х х!0' дан/см' и р,=1,29.10 ' г/ем*. Тогда из выражений (112) получаем о, = 3,32 10' см/сек, (116) Я= 42,8 (!! 7) Единица интенсивности звука. Интенсивность бегущих звуковых волн определяется как энергия, переносимая через единичную площадь в единицу времени. Обычно за единицу интенсивности звука принимают величину /, = 1 мквт/см' = 10 врг/(см' сек), (118) где 1 мквт=10 ' вт, а 1 вт=-10' зрг/сек.
Речь, ведущаяся в умеренном тоне, соответствует испусканию около 100 эре/сек звуковой энергии. Площадь отверстия рта во время речи близка к 1О см'. Поэтому, если вы говорите в один конец трубы, так что вся энергия переносится в направлении г„то интенсивность звука будет близка к (100 эрг/сек)/10 см'=/,. Чтобы почувствовать эту величину, послушайте что-нибудь через короткую трубу.
(В длинной трубе звук будет ослабляться из-за трения о стенки и из-за испускания звуковых волн боковыми поверхностями трубы.) Если кричать в трубу как можно громче, то интенсивность будет порядка 100 /,. При интенсивности между 100 /, и 1000 1, возникают болезненные ощущения в ухе. Интенсивность самого слабого звука, который может быть услышан, зависит от частоты.
При частоте 440 гц порог слышимости «среднего человека» близок к 10 " 1,. Таким образом, человеческое ухо работает в колоссальном динамическом диапазоне интенсивности, занимающем !2 порядков (от 100 /, до 10 " 1,). Терминология; децибел. Когда интенсивность звука возрастаег в Рд раз, то говорят, что она возросла на 1 бел. Таким образом, динамический диапазон человеческого уха близок к 12 бел. Увеличение интенсивности в 10" раз означает увеличение в 0,1 бел, или 1 децибел. Таким образом, 1 дб — изменение интенсивности в 10"' = 1,26 раза, (119) 1 бел — изменение интенсивности в 10 раз. !87 Люди с нормальным слухом могут обнаружить увеличение громкости, не меньшее 1 дб.
Ниже даны задачи (а — д) на вычисления звукового импеданса и потока. а) Среднеквадратичное значение звукового давления при болезненных ощущениях. Интересно получить представление о величине звукового давления (в атмосферах), вызывающего у человека болезненное ощущение, и выяснить, имеет ли оно ту же природу, что и боль в ухе, возникающая при погружении в воду на глубину около 5 м. При погружении на 10 м давление увеличивается на 1 атм, соответственно на глубине 5 л«давление возрастет на '/»атм. Сравним с этой величиной давление звука, вызывающего болезненные ощущения. Р е ш е н и е.
Будем считать, что болезненные ощущения возникают при интенсивности 1.=1000 1,. В соответствии с уравнением (113) имеем (р' >'н = (П)ч ~ = (100021 )'н = ((1000) (42,8) (10)] ч =- 650 дин)см'. Эта величина в 1500 раз мспыпе давления в 1 атм=-1,01 10' дин1см'. Из нашей оценки видно, что болезненные ощущения не являются следствием большого давления.
Давление 600 дин)см» равно бх Х 10 ' атм н «соответствует» погружению на глубину около 0,5 см. б) Амплитуда звука при болезненных ощущениях. Вычислим амплитуду колебаний молекул воздуха для болезненно громкого звука. Пусть «Р(г, 1)==Асов(М вЂ” йг). Тогда производная дф1дй возведенная в квадрат и усредненная по одному циклу (прн фиксированном г), будет равна '1» св»А». Используя уравнение (113) и предполагая, что частота равна 440 гц, имеем ооо ) о~лг 8) — 2 5 10— (6,28) (440) ' " 4 в) А~иплитуда едва сльииилюго звука. Вычислим амплитуду колебаний у порога слышимости.
Положим интенсивность звука равной 10 "' 1,. Амплитуда пропорциональна корню квадратному из 1. Для частоты 440 г») искомая амплитуда будет равна коршо квадратному из 10 ", умноженному на результат, полученный в предыдущем приложении, где мы считали 1 — --10001,. Имеем А=-10 "'(2,5 10»)= ' -10 ' ели Это — величина порядка диаметра атома. Таким образом, наше ухо настолько чувствительно, что может воспринимать смещения барабанной перепонки, равные диаметру атома! г) Мощность на выходе высококачественного громкоговоршпеля. Оценим величину мощности на выходе высококачественного громкоговорителя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
