Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Приведем соответствующее место *) из произведения Ньютона <О системе мира», повидимому, представляющего собой предварительный вариант третьей книги <Математических начал натуральной философии» [см. немецкий перевод Вольферса (Д. Р. %011егз «<Ма()теша((зс)те РНпсзр(еп г(ег Ха(нг1е)!ге, Вег1!п, 1872), стр. 5511: 1 «На диск Сатурна падает около 2 „части солнечного света а*). Во столько же раз поверхность этого диска меньше сферической поверхности, радиус которой равен радиусу орбиты Сатурна.
Предположим далее, что Сатурн отражает '/< этого света. Тогда 1 отраженный полусферой Сатурна свет будет составлять 4 часть света, испущенного полусферой Солнца. Уменьшение света обратно пропорционально второй степени расстояния до светящегося тела. Поэтому, если Солнце было бы на расстоянии от Земли в 10 000 р'42 раз большем, чем Сатурн, оно оказалось бы таким же ярким, каким кажется Сатурн без своего кольца. Такое свечение немного превосходило бы свечение неподвижной звезды первой величины. Таким образом, расстояние, с которого Солнце светило бы, как неподвижная звезда, приблизительно в 100 000 раз больше расстояния до Сатурна.
При этом его угловой диаметр был бы равен 7'» 16», а параллакс, созданный годичным движением Земли, составил бы 1Зн'. Таковы расстояния, угловой диаметр и параллакс звезд первой величины, которые равны нашему Солнцу по величине и свету>. К этому замечательному отрывку из книги Ньютона остается добавить перечень расстояний до нескольких ярких и сравнительно близких к нам звезд. Выраженные в расстояниях от Солнца до Сатурна, они приведены в таблице: Таким образом, не выходя из комнаты, по сравнению освещенностей Ньютон правильно оценил порядок расстояния до звезд. *) Редактор благодарен И.
Ю. Кобзареву, от которого он узнал об этой оценке. ) В таблицах физических и химических констант (К э й и Л э б и, 4>нзматгиз, 1962) вы найдете, что диаметр Сатурна равен г)=1,21 10«км, а его среднее расстояние от Солнца я=1,43 10« км. Таким образам, Сатурн, рассматри- 1 юг ! ваемый с Солнца, занимает — — = 4 4и)1> 2 240 000 000 часть сферы. Это число близко к приведенному Ньютоном. 201 Задачи и домашние опыты 4.1. Конец струны в точке г=.О под действием гарьюническай силы колеблется с частотой !О гц и амплитудой ! гм. Второй конец струны находится достаточно далеко, т.е. система открыта (или нагружена на нагрузку, ве дающую отражения). Фазовая скорость равна 5 мгсек.Напицьите выражения для движения точек струны, расположенных на расстояниях г=325 слг и г=350 с»< от выходных зажимов передатчика (г=О).
4.2. Понятие фазовой скоростя ав было введено при описании бегущих волн, для которых пв==Ы Понятия длины волны й и частоты ь' сохраняются и для стоячих волн. Поэтому мы можеьь найти фазовую скорость ой, рассматривая стоячие волны вместо бегущих. а) Рояльная струна длиной 1 м имеет частоту первой моды (А440), равную 440 гц. Найдите фазовую скорость волны, бег) щей по этой струне. б) Покажите, что для струны скрипки или рояля, закрепленной на концах, период Т первой моды определяется временем распространения импульса от одного конца струны к другому и обратна, если импульс распространяется с фазовой скоростью.
Чему равны периоды более высоких мад? н) Объясните результат, полученный в б), считая, чта молоточек рояля ударяет струну у одного из концов и таким образом генерирует «волновой пакет» нли «и»<пульс», распространяющийся по струне с фазовой скоростью. Подумайте, как произвести фурье-анализ движения любой данной точки струны. Вспомните, что было сказано о фурье-анализе в главе 2. г) Рассмотрим струну, закрепленную в точке г= — 0 и свободную в точке г=-5. Покажите, что период первой моды равен времени прохождения импульсом расстояния <туда — обратно> и опять «туда — обратно», т.
е, расстояния 4Л с фазовой скоростью. 4.3. Предположим,что диаметр струны рояля (задача 4.2, часть а)) равен! мм и что струна сделана из стали, плотность которой 7,9 г?смз. Найдите натяжение в динах и кГ. О т в е т. Около 500 кГ. 4.*4. Опыт. ч азовая скорость аалн в «пружине». а) Измерьте фазовую скорость с помощью стоячих волн (см. задачу 4.2). б) В ы ч и с л е и и я. Покажите «теоретически», что фазовая скорость для «пружины» (состоящей из фиксированного числа витков) пропорциональна ее длине.
Если вы удвоитс длину <пружины», растянув ее, то фазовая скорость возрастет в два раза. в) Докажите эта экспериментальна с помощью стоячих волн. г) Пошлите вдоль «пружины» короткий импульс плп волновой пакет. В то же время заставьте «пружину» колебаться в самой низкой паперс шой моде. Равно лк в этоьь случае время распространенна ььмпючьса туда и обратно периоду самой низкой моды? 4.5. Опыт. Затуканиг в лучке резинок.
Соберите пучок резинок длиной БΠ— !00 си, связав вместе несколько резиновых нитей. Попробуйте показэть, чта фазовая скорость для продольных волн больше, чем для поперечных. Вы обнаружите, что продольные ыоды сильнее затухают. Расположите одну из резиновых нитей у губ. Неожиданно растяните ее. Подождите немного и затем ослабьте натяжение. Что говорят вам результаты этого опыта о затухании? Почему продольные моды затухают значительно сильнее поперечных? Как при таком большом затухании »<ажно полу гить хорошие продольные колебания? 4.6. Опыт. Измерение скорости гаука с по»гощью галио«э>к пакетов.
Рассмотрим два способа. а) Для первого способа необходим помощник, который поджег бы «хлопушку» примерно в километре от вас. Увидев вспышку света от разорвавшейся хлопушии, включите секундомер и остановите его, когда услышите звук взрыва. Измерьте шагами расстояние. Проделайте этот опыт для двух расстояний, отличающихся в два раза. Изобразите графически зависимость времени прихода звуковой волны от расстояния (по двум точкам). Пересекает ли прямая линия, проведенная через обе точки, начало координат? Если нет, то почему? Если линия ие проходит через начало координат, можете ли вы тем не менее определить скорость? б) Найдите школьный двор или площадку для игр, которые представляли бы собой широкое плоское пространство, ограниченное с одной стороны каким-лабо строением, так чтобы можно было услышать чистое эхо, хлопая в ладоши на расстоянии примерно пятидесити метров от стены.
Время прохождения звуком расстояния туда и обратно будет порядка двух-трех десятых секунды. Его трудно измерить точно даже с помощью секундомера. Покажем, как это сделать с помощью обычных часов (с секундной стрелкой). Положите часы на землю, чтобы видеть их при хлопках. Начните ритмично хлопать; вначале медленно, прислушиваясь к хлопку и к эху. Увеличивайте темп до тех пор, пока эхо не будет приходить точно в момент хлопка. Такой тел1п может соответствовать примерно двум хлопкам в секувду. Поддержинайте его примерно в течение 10 сгя, наблюдая за часами и одновременно считая хлопки.
(Несколько минут у вас уйдет на практику.) Измерьте шагами расстояние до вертикальной стены, которая давала зхо. Теперь дело за арифметикой. 4.7. Коаксиальная передающая линия. Покажите, что погонная емкость Суа для коаксиальной передающей линии с раднусами внутреннего и внешнего проводников соответственно г, и га и вакуумом между проводниками равна (в единицах СГСЭ, т. е.
в ся емкости, отнесенных к ся длины линии) С 1 а 2)п (гз!гг) ' Покажите, что погонная самонндукция Еуа равна (в ед. СГСЭ) !. 2 га — = — 1п —. а сз г1' Чтобы получить величину С1а, воспользуйтесь тем, что г)=-СУ, и законом Гаусса (см. том П, п.3.5), Чтобы получить величину Е1а, вспомните, что Е=(11с)ФН, где Ф вЂ” магвнтный поток, образованный током 1 [см. том П, п.7.8, уравнения (7.53) и (7.54)]. 4.8. 7)ередающая линия из парпллельяых проводов.
Начните с задачи 4,7, н которой люжет быть использована симметрия линии. В данной задаче такая симметрия отсутствует,но ее легко решить с помощью принципа суперпозиции.Вычислите вклад в поле от отдельного провода. Затем умножьте полученный результат на 2. Покажите, что Суа и Е)а равны С 1 !. 4 с+Е1 а 41п [(г —;Е))/г) ' а с' г где г — радиус каждого из проводов, а (г+1)) — расстояние от оси одного провода до поверхности другого. Заметьте, что вычисления очень похожи на вычисления в задаче 4.7, за исключеннем того, что здесь появляется множитель 2. Объясните его происхождение.
4.9. Покажите (например, при помощи простых рассуждений, основанных ва симметрии задачи), что электрическое и магнитное поля равны нулю снаружи внешнего проводника коаксиальной передающей линии и внутри внутреннего проводника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
