Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Перепишем точное уравнение (3.62) движения для и-го маятника; Ф.=-- — —,Ч.+М(Ф...— Ф.) — МИ.— Ф.— 1). (12) В установившейся бегущей волне (так же как и при вынужденных установившихся колебаниях замкнутой системы) все движущиеся элементы совершают гармоническое движение. Поэтому, какой бы ни была фазовая константа, для яр„должно выполняться условие (13) Подставляя уравнение (13) в уравнение (12) и деля на ~Р„(1), получим и -) 2К К (4„',+4:„,) (!4) 11ы яР„=Асов(в1+<р — йг), г Легко показать, что в этом случае я)Ф„~, + я),„, =- 2Ф„соа /га и уравнение (14) принимает вид вя =. — -'; — (1 — соз lга) д 2К (15) или в- '= — -+ — 3!П2 — йа.
4К 44' 2 (16) Это соотношение в точности повторяет дисперсиопное соотношение [уравнения (3.91) — (3.98), п.3.5) для вынужденных колебаний. Мы видим, что диапазон частот у синусоидальных волн одинаков для бегущих и для стоячих волн и простирается от ьь ы до ьз,„, где Е, 4К втак— (17) 2 в,в,= — = в, Экспоненциальные волны в открытой системе.
Можно думать, что для открытой системы при частотах возмущающего воздействия, меньших граничной частоты в ы — — в„дисперсионный закон имеет тот же вид, что и для замкнутой системы. Это предположение верно. Для открытой системы связанных маятников, простиракяпейся от г=О до +со (внешнее воздействие приложено в точке г=О) и Синусоидальнал бегущая волна. Предположим, что мы имеем синусоидальную бегущую волну вида г=па, возбуждаемой в точке г=О частотой ь»(ь»„имеем ф(г, !)=Ае созе»г, 4К 1 ь» « .— — ьь» — — з)!» — ха.
= о м з (18) (18) Экспоненциальные «зигзагообразные» волны. Аналогично, если частота возмущающего воздействия больше верхней граничной частоты, то мы имеем зкспоненциальньы «зигзагообразные» волны: ф(г, Г)=А( — 1)" е»»созе!г, г=па, 4К ! «ь» =- <о'+ — с)!» — ха. М 2 Таким образом, экспоненциальные волны в открытой системе, находящейся под внешним воздействием, отличаются от тех же волн в закрытой системе лишь отсутствием члена с ехр хг, который обращается в бесконечность при г — оо.
Заметим, что в эксноненциальной волне все движущиеся элементы колеблются с одинаковой фазой 1см. уравнения (18) и (20)1; поэтому здесь уже нет такого пояятия, как фазовая скорость, так как нет нн волны, которая распространялась бы без изменения формы, ни волны, распространяющейся с изменением формы, но с различимыми гребнями и впадинами. Мы показали на примере связанных маятников, что закон дисперсии для данной среды, связывающий ы и )ц одинаков как для бегущих волн, так и для стоячих волн, обусловленных либо свободными колебаниями, либо установившимися вынужденными колебаниями замкнутой системы, Диспергирующие и недиспергирующие синусоидальные волны.
Волны называют недиспергирующил«и (или волнами без дисперсии), если закон дисперсии имеет вид о(я) =- — = константа (не зависит от я), ы !/г) я (22) В противном случае волны называют диспергирующил«и (или волнами с дисперсией). Символ я в выражении (22) напоминает нам, что мы имеем дело с синусоидальными волнами. Диспергирующая волна, представляющая собой суперпозицию бегущих волн с различными волновыми числами, будет менять свою форму по мере распространения в пространстве, так как составляющие с различными длинами волн распространяются с разной скоростью.
Таким образом, различные по частоте составляюшие расходятся («диспергируют») в пространстве. Диспергирующижи волналш или волнал«и с дисперсией называются синусоидальные волны, для которых фазовая скорость оь -— «о(И изменяется с длиной волны. Реактивные зкспоненциальные волны. Когда частота возмущающего воздействия ы не лежит в полосе пропускания между нижней и верхней граничными частотами (в некоторых случаях первая из этих частот может быть равна нулю, а вторая — бесконечности), то, как мы только что видели, волны имеют в пространстве экспонен- циальную форму. Такой тип волны иногда называют «реактивной» волной.
Иногда говорят о «дисперсивной» среде и о «реактивной» среде, имея в виду прозрачную н непрозрачную среду соответственно (см. главу 3, стр, 135). Очевидно, что одна и та же среда может быть дисперсивной в одном частотном диапазоне (полоса пропускания или прозрачности) и реактивной в другом диапазоне (полоса погло!цения или непрозрачности). В приведенных ниже примерах мы будем иметь дело с фазовыми скоростями дпспергирующих волн. П р и м е р 1.
Поперечные волны в струне с грузалги. Дисперсионное соотношение») для поперечных волн в струне с грузами имеет впд [см. уравнение (2.70), п. 2,4) ш'= — «з[п» вЂ” йа, 0(й( —, 4Т« . 1 и (23) где Т, — натяжение в равновесном состоянии, М вЂ” масса грузика и а — расстояние между грузиками. Отсюда следует, что фазовая скорость поперечных бегущих волн в этом случае равна „! я ы» 4Т„2 а» гиа я» (24) для 0(й(п.
Для частот, болыпих граничной частоты ы, =)л 4Т,~Ма, имеем экспопенцпальные «зигзагообразные» волны, и в этом случае не существует понятия фазовой скорости. Для частот между нулем и ш» имеем диспергирующие волны, так как фазовая скорость ие постоянна, а зависит от й. Для больших длин волн (или маленьких расстояний между грузиками), когда а ).(<1, фазовая скорость перестает зависеть от длины волны и волны приобретают характер волн без дисперсии. Это можно показать, разложив з!и '/,йа в ряд Тей- лора: + -'") (-"") А( 1 24 = 1~ — ' ! 1 — — (йа») +... ~ .
(25) Введя понятие средней массы на единицу длины (в состоянии рав- новесия), т. е. Р»=М)а, получим для непрерывной струны (26) и,= *) Прекрасная демонстрация дисперсионного соотношения [см. уравнение (23)]данавстатье: Л.М. Рог»!ег, Я.Т. Вгооха, Е. Р. 1.ашЬе, Опе-61- шеп«юпа! Фате Решен«!га!(оп (Опыты с одномерными волнами), Аш.
д, РЬуа, 36, 1066 (1967), 166 Таким образом, фазовая скорость поперечных бегущих волн для непрерывной струны постоянна и не зависит от частоты. Уравнение (26) аналогично результату, полученному в главе 2 для отношения й»г)г в случае стоячих волн в непрерывной струне [уравнение (2.22), п.2.21.
П р и м е р 2. 7?родо «бные волны в струне с грузами. Закон дисперсии в этом случае можно получить из закона дисперсии для поперечных волн, если заменить натяжение Те произведением коэффициента жесткости К пружины на расстояние между грузами а (см. уравнение (2.78), п.2.4). В непрерывном приближении получим (подставляя в уравнение (2б) Ка вместо Те) (2?) Ро Ра Обозначение Ка=-К Л должно напомнить, что если вы добавите последовательно еще несколько пружин и полная длина пружин станет равной Е, то коэффициент жесткости всей пружины К, будет Цъо ъо Л цц ццтъц ъц цц'Топ Л оо оо Л цц я>яд ! ~=7 — ~=П7Й Л'~3 3 К Л Г3 ГГЛ 3 3 6 3 ~~У.
»=8 ц б Ъ 'б ~4!ДДб б б б () б б б б б б б бяд>д ! в=о Цб~бб Ъ' !~' б аДД()()~о~«1Я~иргд. с ! цтъь ГЪ ~?ат Ъ ъ ! Ъ«Ъъ Ъъ ъ а ! = -бттгл ~;гпъ-гъ-ъ-ъ-ъ-ъ ъъъъь-. Рис. «гй Продольные бегущие волны сжатия (с! и разрежения «Н в пружннв. Шестой антон спирали отмечен, что позволяет следить за его движением.
равен произведению а'Г. на К, где К вЂ” коэффициент жесткости для одного элемента пружины длиной а. В соответствии с уравнением (27) продольные волны в непрерывной струне не имеют дисперсии. На рис. 4.2 показан бегущий «волновой пакет», состоящий из областей сжатия и разрежения. Фазовая скорость звука. Модель Ньютона. Ньютон первым вывел уравнение, позволяющее определить скорость звуковых волн в воздухе. Однако его формула дала неверный результат — около 157 280 ж)сек, в то время как измеренная на опыте скорость звука равна 332 мосек (при нормальных температуре и давлении, т.
е, при давлении в ! атмосферу и температуре 0' С). Вывод формулы Ньютона чрезвычайно прост, а причина ошибки достаточно интересна. Рассмотрим этот вывод. Если воздух находится в замкнутом сосуде, то он создает определенное давление на его стенки: воздух ведет себя как сжатая пружина, которая стремится выпрямиться. Предположим, что сосуд представляет собой цилиндр, плотно закрытый неподвижной стенкой с одной стороны, а с другой — невесомым поршнем, способным перемещаться. Воздух, подобно пружине, стремится вытолкнуть из цилиндра поршень, действуя на него с силой Р.
В равновесии внешняя сила, действующая на поршень, уравновешена силой, с которой воздух действует па поршень. Для пружины, начальная длина которой Е„а длина в сжатом состоянии Е (Ь~'.1,,) и коэффициента жесткости Кх, сила Р равна Р=Кг(7,— Е). Изменение силы Р при изменении длины пружины Е мы получим, дифференцируя это выражение: (28) Аналогично, воздух действует на поршень с силой Р=РА, где Р— давление, а А — площадь поперечного сечения цилиндра. При смешении поршня от положения равновесия на небольшую величину ЫЕ объем изменяется на сУ=А 87.. Соответственно сила меняется иа величину (ЗО) дР=АИР=А Я) АЫ., (29) !о где индекс нуль означает, что производная йр/Л' взята при равновесном объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
