Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 30
Текст из файла (страница 30)
С л у ч а й 2. Отсутствие затухания и бесконечные биения. Положив Г=О, получим А„=О и о/М о о ооо где А 52 !" В/ ! — ")г) (43) Амплитуда колебаний изменяется.с частотой модуляции '/, (го,— го). Запасенная энергия Е (!) колеблется относительно среднего положения от нуля до максимального значения Е,: Е(!) =Ео з)п' ('1»(го« вЂ” го) !) = У»Е«(1 — соз(гоо — ы) (] ° (44) Таким образом, энергия колеблется с частотой биений, равной раз- ности между частотой внешней силы и собственной частотой.
Чтобы наблюдать «почти бесконечные» биения, подвесьте банку консервов на струне длиной около 45 см. Свяжите полученный ма- ятник с помощью резинового жгута с краем диска проигрывателя, включенного на скорость 45 об!мин. Для особого случая а=со, из равенства (43) следует, что ампли- туда быстрых колебаний линейно растет со временем; это соответ- ствует бесконечному периоду биений: х(!) =- !ь — — ~ ыпы,(, г ! л«г1 (45) ~мо Амплитуда станет бесконечной через бесконечно долгое время. С л у ч а й 3.
Процесс уегпаноеления биений. Для слабо зату- хающих колебаний и для частоты го, близкой к «о„нетрудно пока- зать, что величина запасенной энергии приблизительно равна (задача 3.24) Е (!) = Е (1+ ехр ( — Г!) — 2 ехр ( — '/, Г!) соз (го — го,) !), (46) где Š— энергия в установившемся режиме. (Если положить го=гоп то получим случай 1, рассмотренный выше; если положить Г=О, получим случай 2.) Отсюда следует, что если процесс начинается при 1=-О с отсутствия в осцилляторе запасенной энергии, то она ие будет плавно увеличиваться до своего установившегося значения (если только о» не равно частоте свободных колебаний е»,).
Вместо этого энергия будет совершать колебания с частотой го — ыо Эти биения обусловлены тем, что осциллятору «больше нравится» совершать колебания со своей собственной частотой гоо когда на него действуют с частотой сь Поэтому вынуждающая сила иногда оказывается в фазе с совершаемыми колебаниями, что увеличивает их амплитуду, а иногда в противофазе, что уменьшает амплитуду.
Если нет затухания, то эти биения будут соответствовать случаю 2. Однако из-за затухания фаза колебаний осциллятора постепенноприспособится к фазе внешней силы и примет определенное значение. По истечении довольно долгого промежутка времени осциллятор будет совершать установившиеся колебания с частотой возмущающей силы го без биений.
Относительная фаза колебаний осциллятора и внешней силы примет постоянное значение, при котором величина энергии, получаемая осциллятором в каждом цикле колебаний, !!з будет в точности равна потерям энергии на трение за цикл. Теперь энергия осциллятора будет постоянна и относительная фаза колебаний осциллятора и внешней силы будет также постоянной. Переходный процесс для энергии показан на рис.
3.2. ~ у г г .т 6/г Рис. 3 2. Переходные бненнямй)ы выбралн период биений, разный времени затухания т.) Запасенная энергия ЕСО растет от нуля и испытывает затухающие колебания с частототг биений (равной разности частот вынуждающей силы и свободных колебаний), постепенно приближаясь к энергии Е устаиовивщегося состояния. Качественная оценка формы резонансной кривой. Теперь, зная характер переходного процесса, попытаемся оценить отношение амплитуды в установившемся режиме при частоте резонанса к амплитудам при других частотах.
Пусть осциллятор, сначала неподвижный, подвергается действию вынуждающей силы на резонансной частоте. Если иет затухания, амплитуда колебаний будет линейно возрастать в соответствии с уравнением (45). В действительности же оиа будет возрастать линейно лишь вначале, потому что в первый момент средняя скорость мала и соответственно затухание незначительно.
Однако в конце концов рост амплитуды прекратится на уровне, которого оиа достигнет за время порядка т. Из-за затухания амплитуда будет поддерживаться на этом уровне. Мы можем оценить эту амплитуду, имея в виду, что максимальная сила г„действующая иа массу М, за время т сообщит ей максимальный импульс силы г",т. Но по второму закону Ньютона максимальный импульс равен произведению массы М иа максимальную скорость й),А (й),).
Таким образом, Р,тжМй),А (о>,) и (47) Это — оценка амплитуды в установившемся режиме, когда й)=й)в. Пусть теперь частота вынуждающей силы й) сильно отличается от в)о. Если нет затухания, то амплитуда будет колебаться с частотой модуляции з)з (в)в — й)), а энергия осциллятора будет колебаться с частотой биений й), — в). «Включим» затухание.
Потери энергии на трение пропорциональны квадрату скорости. Поэтому, когда энергия максимальна, затухание самое большое. Когда энергия равна нулю, затухания нет. Таким образом, затухание стремится «обре- 116 зать вершины холмов» на графике зависимости энергии от времени. (Затухание стремится также «засыпать долины».) В конце концов биения будут погашены.
Допустим, что амплитуда при налвчии затуханий равна половине амплитуды, которая существует при биениях, и поэтому заменим ып 1'!» (»»,— «») 1] в уравнении (43) на»7». Тогда для частоты, сильно отличающейся от частоты ы,, имеем согласно выражению (43) А (ы) — — ' (48) рр» Нетрудно догадаться, что амплитуда А (»») может быть связана с максимальным импульсом, который получен от силы Ер за некоторую часть 7 одного периода биений. Этот импульс силы равен произведению массы на амплитуду А (»») и на среднюю угловую частоту '!р (»»,+р»). Период биений Т равен 2я~(ыр — р»). Таким образом, имеем 7'р! 2л " - 7)4А ( ) — (»», + ). 1 Если положить 7=1/(4рч), мы приходим к равенству (48).
Из точного решения нам известно, что при резонансе амплитуда колебаний равна А„(»»,), так как амплитуда А» в этом случае равна нулю. В самом деле, наша «угаданная» амплитуда А (ы,) равна А„(»»,), что легко видеть, сравнив уравнения (47) и (!6). Мы также знаем, что вдали от резонанса точное решение дает для амплитуды колебаний значение А, (н). Наше «угаданное» значение амплитуды А (в) вдали от ы, совпадает с А„(ы), что видно из уравнений (48) и (17).
З.З. Резонансы в системе с двумя степенями свободы В главе 1 было показано, что поведение каждой моды свободно колеблющейся системы со многими степенями свободы похоже на поведение простого гармонического осциллятора. Основное различие заключается в том, что система, а следовательно, и соответствующий «гармонический осцилляторрр занимают определенную область пространства, а не сосредоточены в точке.
Таким образом, в случае многомерной системы каждая мода характеризуется определенной геометрической формой. В главе 1, изучая моды свободно колеблющихся систем, мы пренебрегали трением. Можно предполагать, что с учетом трения каждая мода становится подобной затухающему одномерному осциллятору. Действительно, каждая мода имеет свой собственный механизм затухания и, соответственно, свой собственный коэффициент затухания Г и свою собственную постоянную времени т.
В некоторых системах механизм затухания может быть связан с определенными «движущимися элементами», и поэтому все моды могут иметь приблизительно одинаковую постоянную затухания и одинаковые постоянные времени. Примером такой ситуации является система 117 из двух одинаковых маятников, связанных пружиной, в которой затухание существует либо для каждой нити подвеса, либо для каждой массы. Так как в каждой моде движения обоих маятников одинаковы, то обе моды такой системы будут иметь одинаковую постоянную времени.
В других системах механизм затухания может зависеть от моды. Например, пружина, связывающая два маятника (см. пример 13, глава 1), может иметь трение, возникающее при смещении ее витков, что будет создавать затухания для колебаний, связанных с растяжением или сжатием. Если это единственный механизм затухания, то мода 2 (мода, при которой пружина сжимается и разжимается) будет иметь значительно ббльшую постоянную затухания, чем мода 1, когда длина пружины постоянна, т. е. Г,>)Г„ и поэтому т,(<то Когда система, имеющая несколько мод, находится под действием внешней силы, то резонанс наступает всякий раз, когда частота внешнего воздействия становится равной частоте моды.
Оказывается, что амплитуда поглощения и амплитуда дисперсии для данного двизкущегося влеменгра являются суперпозииией вкладов амплитуд от каждого резонанса (отвечающего определенной моде свободной системы). Каждый из этих вкладов имеет форму, подобную найденной нами в и. 3.2 для системы с одной степенью свободы. Медленно меняя частоту возмущающего воздействия и измеряя мощность, поглощаемую данным движущимся элементом, как функцию частоты ы, мы обнаружим резонанс всякий раз, когда со находится вблизи частоты моды.
(Мы будем использовать выражения «резонансная частота» и «частота модьм как взаимозаменяемые выражения, хотя первое относится к случаю вынужденных колебаний, а второе — к свободным колебаниям.) Каждому резонансу соответствует ширина резонансной кривой [см. (28)) Лв =- Г =- 1/т. Здесь Л⻠— полная ширина, соответствукицая половине максимального значения поглощаемой мощности, а Г и т — соответственно постоянная затухания и постоянная времени для свободных колебаний отдельной моды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
